由高考題例談高中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級中學(xué) 王 赟

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題。

江蘇高考卷一直在堅(jiān)持以建模為主，“在考查基礎(chǔ)知識的同時(shí)，側(cè)重考查能力”是高考的重要意向，而應(yīng)用能力的考查又是近二十年來的能力考查重點(diǎn)。應(yīng)用題的載體很多，按考查的知識分類有：函數(shù)（一次、二次和三次函數(shù)以及分式函數(shù)、分段函數(shù)、三角函數(shù)等）型；不等式型；解三角形型；解析幾何型等。2016、2017年應(yīng)用考題是立體幾何模型，2017年應(yīng)用考題需利用空間中的垂直關(guān)系和解三角形的知識求解。

【例1】（2016·江蘇高考）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍。

（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉庫的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉庫的容積最大？

分析：本題考查柱體與錐體的體積計(jì)算方法，解題的關(guān)鍵是掌握柱體與錐體的體積計(jì)算公式，進(jìn)而化成函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識解決相應(yīng)最值問題。

解：（1）由PO1=2知O1O=4PO1=8。

因?yàn)锳1B1=AB=6，

所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積

所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）。

（2）設(shè)A1B1=a m，PO1=h m，

則0＜h＜6，O1O=4h，連接O1B1，

因?yàn)樵赗t△PO1B1中，O1B12+PO12=PB12，

【例2】（2017·江蘇高考）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32 cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm。分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12 cm。現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm。（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）

（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；

（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度。

分析：解三角形問題多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的。其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向。

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化。

第三步：求結(jié)果。

解：（1）由正棱柱的定義知，CC1⊥平面ABCD，

所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC。

如圖，記玻璃棒的另一端落在CC1上的點(diǎn)M處。

記AM與水面的交點(diǎn)為P1，過P1作為垂足，

則P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，

答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16 cm。

（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24 cm）

（2）如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心。

記玻璃棒的另一端落在GG1上的點(diǎn)N處。

則GK=OO1=32。

因?yàn)镋G=14，E1G1=62，

于是 sin ∠ NEG=sin（π-α-β）=sin（α+β）=sin αcos β+cosα

記EN與水面的交點(diǎn)為P2，過P2作為垂足，則平面EFGH，

故P2Q2=12，從而

答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20 cm。

（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20 cm）

對應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點(diǎn)方面進(jìn)行強(qiáng)化，注重培養(yǎng)將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力，強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法。應(yīng)用題體現(xiàn)綜合（在不同知識點(diǎn)交匯處編題），不斷創(chuàng)新（問題的背景、設(shè)問的方式、解題的方法方面），強(qiáng)化能力（對考生的閱讀理解能力、將實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力、運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力）。

解答應(yīng)用題關(guān)鍵是要過好三關(guān)：

（1）審（讀）題關(guān)：讀懂題意，明確問題的實(shí)際背景；審題時(shí)，抓住問題中的有用信息，理順數(shù)量關(guān)系，為建模做準(zhǔn)備。審題時(shí)要努力做到三讀：粗讀——細(xì)讀——精讀。

（2）建模關(guān)：確定問題模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，明確本小題實(shí)際上是一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問題（已知什么？求什么？）。值得一提的是，由于一個(gè)大題有若干小題，因而對于題目提供的條件，在解每個(gè)小題時(shí)，要正確判斷該用哪些條件。

（3）解模關(guān)：將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后，就要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識與方法去解決已轉(zhuǎn)化了的數(shù)學(xué)問題：與圖形有關(guān)的應(yīng)用題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；與函數(shù)有關(guān)的問題應(yīng)注意函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用，與不等式有關(guān)的問題要靈活運(yùn)用不等式知識（如解不等式、運(yùn)用基本不等式求最值等）。值得一提的是，幾乎每年的高考應(yīng)用題都有一個(gè)最優(yōu)化問題，因而在解模中要熟練掌握求最值的幾種常用方法。

通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光來觀察，用數(shù)學(xué)的思維來分析，用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)。除了通常講的分析問題、解決問題能力，我們還強(qiáng)調(diào)學(xué)生要有發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，這其中有預(yù)判、預(yù)測、推演、找到巧妙的方法的過程，這才是數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。提升學(xué)生核心素養(yǎng)，是落實(shí)教育本源的問題，也意味著教與學(xué)的方式都要轉(zhuǎn)型。關(guān)注學(xué)生身心健康，長遠(yuǎn)發(fā)展，終身學(xué)習(xí)的能力，為學(xué)生走上社會打好基礎(chǔ)，也就是“教是為了不教”。