靈活運(yùn)用知識(shí)多種思路解題

數(shù)學(xué)題浩如煙海，我們不可能把所有題都做到，與其做很多題，不如把一道題做透，用多種不同的方法解決同一道題，對(duì)解題者的思維鍛煉效果極佳。下面針對(duì)一道不等式問(wèn)題采用多種不同的方法加以證明，與大家共享。

題目：設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證： .

證法一：（比較法）

左邊 右邊= ]

所以原不等式成立.

評(píng)注：只需要證明左邊 右邊 .

證法二：（綜合法）

由基本不等式得： ） c，

） a， ） b

三式相加得： . 故原不等式成立.

評(píng)注：利用均值不等式 （a>0，b>0）證明.

證法三：（利用柯西不等式證明）

=

兩邊開(kāi)方得： . 故原不等式成立.

評(píng)注：柯西不等式是經(jīng)典不等式，其基本形式為：

本題中將待證的不等式左邊配方，使之成為柯西不等式的形式，再加以證明.

證法四：（利用排序不等式證明）

式中a，b，c輪換對(duì)稱，不妨設(shè)a ，則有

a ， ，由排序不等式得：

a （順序和） （亂序和）

化簡(jiǎn)得： . 故原不等式成立.

評(píng)注：排序不等式也是經(jīng)典不等式，它具有明確的大小順序（或者大小順序不明確但具有輪換對(duì)稱性），且字母?jìng)€(gè)數(shù)相同的兩列數(shù)，在考慮它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積之和的大小關(guān)系時(shí)經(jīng)常使用，證本題的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)a，b，c具有輪換對(duì)稱性，并構(gòu)造出兩列具有明確大小關(guān)系的式子，再依據(jù)“反序和 亂序和 ”證明.

作者簡(jiǎn)介

李金蓮，女，生于1980年，于2004年畢業(yè)于西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，2008年取得教育碩士學(xué)位，現(xiàn)在古浪一中擔(dān)任數(shù)學(xué)教學(xué)工作，中學(xué)一級(jí)教師。

（作者單位：甘肅省古浪縣第一中學(xué)）