理論的“眼睛”

蘭傳奇

費(fèi)希特說：“所有的理論法則都依賴于實(shí)踐法則.”康德也說過：“凡是在理論上正確的，在實(shí)踐上也必定有效.”今天，我想就基礎(chǔ)的立體幾何的解題方法，來和大家分享我所理解的理論和實(shí)踐的關(guān)系問題.

一個(gè)物體，離不開點(diǎn)、線、面，點(diǎn)構(gòu)成線，線構(gòu)成面，在線組成的不同形狀中，線內(nèi)即是空間.初步學(xué)習(xí)立體幾何的時(shí)候，一些同學(xué)會(huì)遇到空間想象力不足等問題，而俗話說：“車到山前必有路.”因此，我們不必因?yàn)檫@些心急如焚，也許通過實(shí)踐，我們會(huì)有意想不到的收獲，

一、紙上得來終覺淺

前段時(shí)間在做作業(yè)時(shí)遇到一道題，大概是因?yàn)楣Ψ蜻€不到家吧，所以當(dāng)時(shí)想了很久，但解出這道題后，再遇到這種類型的題目就游刃有余了.

如圖1，在Rt△ABC中，∠C= 90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CD上一點(diǎn).將△ADE沿DE折疊到△Ai DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2.求證：A1F⊥BE.

關(guān)于這道題，相信很多人在研究之后就可以有解題思路：由∠C= 90°得出 AC⊥BC，再加上DE∥BC這一條件，我們就可以推出AC⊥DE，即A1D⊥DE.而仔細(xì)觀察圖1，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)CD⊥ DE，由面面垂直的判定定理可得DE⊥畫A1DC.因?yàn)锳1F（ 面A1DC，我們可以發(fā)現(xiàn)A1F⊥DE.在題目中我們還可以得知A1F⊥CD，通過線面垂直的判定定理可以推出A1F⊥面BCDE.由于BE（ 面BCDE，我們最終可以推得A1F⊥BE.

這個(gè)問題乍一看似乎很復(fù)雜，但當(dāng)我們想通后，會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)很簡單.這道題其實(shí)是把一個(gè)平面圖形通過折疊變成立體圖形，如果我們把折疊后的點(diǎn)與點(diǎn)之間組成的線連結(jié)，用透視圖的形式展現(xiàn)出來，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)折疊后的解題其實(shí)是圍繞一個(gè)四棱錐展開的.而這個(gè)四棱錐也有些特殊，由于A和Ai是同一個(gè)點(diǎn)，DE∥BC，就可以知道∠ADE=∠CDE，從而會(huì)得到A1D⊥DE和CD ⊥DE.很多只看圖2沒有辦法發(fā)現(xiàn)的細(xì)節(jié)，通過圖1都可以找到.

這就是理論上的立體幾何.它所依賴的，是我們對公理、定理的熟悉程度和熟練運(yùn)用的能力，通過既成的理論在書面上通過透視圖解決幾何問題.

二、絕知此事要躬行

所謂實(shí)踐，就是要我們?nèi)?shí)行，也就是親白動(dòng)手，從實(shí)際出發(fā).

還是以剛才的那道題目為例，就以我自己來說，初做這道題時(shí)，我總是會(huì)忽略圖1，導(dǎo)致自己忽略題目中給我們的一些信息.而即使看了圖1，也沒有很快發(fā)現(xiàn)折疊后角與角之間的關(guān)系，在這上面浪費(fèi)了很多的時(shí)間.但如果自己剪一個(gè)直角三角形并按題目要求折疊，也許就可以更直觀地看出角與角、線與線之間的關(guān)系.

在我們平時(shí)做題的時(shí)候，我們總會(huì)遇到以棱柱、棱錐、長方體等簡單幾何體為背景的幾何題，有的時(shí)候我們可能會(huì)因?yàn)橐恍┰驘o法通過書上的透視圖想象出題目所需要的幾何體，這個(gè)時(shí)候，我們就可以通過實(shí)踐來解決問題.

如果是折疊、剪裁類的題目，我們可以用身邊的紙制作出一個(gè)小模型，直觀地感受、分析題目，更快得出結(jié)論.

比如，當(dāng)我們想知道在一個(gè)三棱柱中切去一個(gè)小三棱柱后會(huì)得到什么幾何體時(shí)，我們可以通過動(dòng)手操作的方式來直接體會(huì).通過圖3（a）和圖3（b），我們至少可以發(fā)現(xiàn)兩種答案，一種是得到一個(gè)四棱柱，一種是得到一個(gè)三棱柱，但如果從其他的角度進(jìn)行剪裁，我們還可以得到更多不同的幾何體.

事實(shí)上，很多時(shí)候單用紙來制作簡單的模型是完全不夠的，當(dāng)我們遇到包含“分別在上底面與下底面兩點(diǎn)之間有一條線段”這類條件的幾何題時(shí)，簡單的模型并不能幫助我們。但正所謂“功夫不負(fù)有心人”，這個(gè)時(shí)候，我們可以換一種方式建立模型.比如用火柴、棉簽等小棒搭建出最基本的幾何體，這樣我們就可以直觀地看到透視的幾何體，解題時(shí)思維就不會(huì)局限于書上的圖.其實(shí)也有數(shù)學(xué)建立模型專用的教具，有興趣的同學(xué)也可以買一些回來，在閑暇之余動(dòng)手做一做，做好之后從不同的角度觀察并動(dòng)手畫自己所建立的模型的透視圖，這樣可以幫助我們在腦海中形成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的幾何體.時(shí)間久了，也許一些簡單的剪裁類的題目我們通過畫圖就可以很快解答出來.

明代詩人林鴻說：“一語不能踐，萬卷徒空虛.”當(dāng)我們熟讀熟背那些公理、定理后，要做的是學(xué)會(huì)如何運(yùn)用它們.當(dāng)我們通過做一些題目來加強(qiáng)自己對所學(xué)知識的運(yùn)用時(shí)，我們其實(shí)已經(jīng)在實(shí)踐了.而在解題過程中，有時(shí)我們也會(huì)需要實(shí)踐.就如達(dá)·芬奇所說：“理論脫離實(shí)踐是最大的不幸.”通過學(xué)習(xí)立體幾何，通過比較理論和實(shí)踐上解決立體幾何問題的方式，我們知道，當(dāng)理論上有困難的時(shí)候，我們可以求助于實(shí)踐，而當(dāng)我們需要學(xué)習(xí)、鞏固某一理論時(shí)，我們更需要實(shí)踐.

請記住這樣一句話：“要想獲得一種見解，首先就需要?jiǎng)趧?dòng)，自己的勞動(dòng)，自己的首創(chuàng)精神，自己的實(shí)踐.”實(shí)踐，是理論的“眼睛”.