對多條代數(shù)曲線光滑連接問題的探究

加入圖形計算器社團后，我嘗試用繪制多個函數(shù)圖形的方法制作出一條魚的形狀.第一幅圖繪制完成后我非常開心，因為這是我第一次成功用圖形計算器做出東西，但是這條魚看起來總感覺有一點別扭.仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，是因為使用了多段二次函數(shù)的圖象，但是在連接處并不平滑，造成圖形看起來十分生硬.

問題：怎樣完美處理多條二次函數(shù)曲線端點處的平滑？

為了能讓圖形看起來更加流暢連貫，我想能否使用三次函數(shù)來減少函數(shù)的連接次數(shù)，使函數(shù)圖象看起來更加流暢呢？因此我開始著手研究三次函數(shù).

探索1：二次函數(shù)y= ax2+ bx +c乘上（x+d）得到三次函數(shù)

把二次函數(shù) f（x）=ax2+bx+c乘以（x+d）得到三次函數(shù)g（x）=（ax2+bx+c）（x+d）.我發(fā)現(xiàn)當(dāng)二次函數(shù)、f（x）的△=0時，三次函數(shù)g（x）一定和二次函數(shù)f（x）相交在f（x）的頂點處（圖1）；當(dāng)二次函數(shù)f（x）的△>0時，三次函數(shù)g（x）和二次函數(shù)f（x）有三個交點，有一個是x+d =1時對應(yīng)的點，另外兩個點是二次函數(shù)f（x）和x軸的交點（圖2）；當(dāng)二次函數(shù)f（x）的△<0時，三次函數(shù)g（x）和二次函數(shù)f（x）僅有一個交點，即x+d=1時三次函數(shù)對應(yīng)的點（圖3）.然而這些發(fā)現(xiàn)，并不能完全幫助我快速地通過圖象寫出對應(yīng)的三次函數(shù).我就繼續(xù)上網(wǎng)查找有關(guān)三次函數(shù)的各類資料.

探索2：利用圖形計算器定點求出三次函數(shù)表達式

通過網(wǎng)絡(luò)上關(guān)于三次函數(shù)的自學(xué)，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)是一片廣大的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這在我未曾接觸前，是無法想象的.它帶給了我震撼和全新的感覺，我開始認真地學(xué)起來，了解三次函數(shù)的圖象性質(zhì)、對稱中心、盛金公式、卡爾丹公式.在看盛金公式時，我看到第二步用導(dǎo)數(shù)化簡，我就琢磨導(dǎo)數(shù)義是什么，好奇心驅(qū)使下我義查了許多關(guān)于導(dǎo)數(shù)的資料，更是讓我進入了另一片奇特的世界.經(jīng)過不斷的學(xué)習(xí)我終于對三次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識有了一定的了解.

但是具體作圖時，在使用幾個點模擬曲線的過程中，還是遇到了不少的困難.比如俞超同學(xué)他要做蓮花需要在好幾個地方作圓，但是他用r=a作圓只能以原點為同心，無法移動.這也讓我意識到魚的眼睛只能做在原點而不能移到其他地方去.共同的問題，可以共同解決，老師在得知這個情況后，為我們補講了網(wǎng)的參數(shù)方程，我們才知道只要用圓的參數(shù)方程，就能把圓的圓心移到任何想要的地方去.說也奇怪，平時學(xué)新知識，總不會那么快接受和順利運用，但這次在圖形計算器的幫助下，很快地，我們都能得心應(yīng)手地面出需要的圖形了.我也把我遇到的問題拿去和同學(xué)交流.施同學(xué)認真耐心地一步一步教我如何用圖形計算器的統(tǒng)計功能得出函數(shù).先在圖形中找到函數(shù)經(jīng)過的幾個點，然后記錄下來，用統(tǒng)計中的calc功能選擇想要模擬的函數(shù)（如圖5）.

學(xué)會這個以后，簡直如虎添翼，我以前十幾分鐘才能得到的函數(shù)，用圖形計算器的統(tǒng)計方法，只要幾分鐘就算出來了.在不斷努力下我成功用三次函數(shù)改進了圖形，做出來的圖形看起來果然比一開始用二次函數(shù)做的流暢許多（如圖6）.

探索3：利用端點處兩側(cè)導(dǎo)數(shù)逼近相等處理曲線的光滑度問題

前面使用三次函數(shù)來減少函數(shù)的連接次數(shù)，使函數(shù)圖象看起來更加流暢，雖然起到了一定的效果，但是并未從根本上解決多個曲線連接時端點處的光滑度不夠的問題.老師了解后提示我用導(dǎo)數(shù)方法來處理，就是利用端點處兩側(cè)導(dǎo)數(shù)逼近相等，可以讓端點兩側(cè)曲線的斜率分別左右逼近相等，那么在圖形上的表現(xiàn)就是光滑的.

因為在制作圖形時經(jīng)常使用二次函數(shù)，所以先從如何使二次函數(shù)連接處導(dǎo)數(shù)相等開始探究.

開始我以為這個問題很簡單，只要求導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)相等就可以.但在實際操作中，發(fā)現(xiàn)要使想要的圖形導(dǎo)數(shù)相等很困難，因為很可能出現(xiàn)圖形是我想要的但其連接處導(dǎo)數(shù)不相等，連接處導(dǎo)數(shù)相等的圖形卻不是我想要的情況.一開始我的思路是先使得連接點處的導(dǎo)數(shù)相等，再以此來調(diào)整函數(shù)的圖形，可是用這個方法令導(dǎo)數(shù)相等不難，但要使圖形變成我想要的就只能硬湊，不斷調(diào)整，不僅麻煩，而且效率低.

為了尋找更簡單易行的方法，我思考能否先把想要的圖形大致求出，然后通過導(dǎo)數(shù)相等對圖形進行微調(diào)，最后達到連接處導(dǎo)數(shù)相等的目的.

在具體的操作過程中，兩個函數(shù)明顯變量過多，不易于操作，我們首先可以用圖形計算器的統(tǒng)計功能得出函數(shù)，先在圖形中找到函數(shù)經(jīng)過的幾個點，然后記錄下來，用統(tǒng)計中的calc功能選擇想要的函數(shù)，圖形計算器就可以快速地算出你想要的函數(shù)表達式.這樣就可以利用圖形計算器定點求出二次函數(shù)表達式功能，再利用（*）式，對已知的函數(shù)進行微調(diào)，從而使端點處導(dǎo)數(shù)值相等.

收獲：圖形計算器讓我愿意主動挑戰(zhàn)未知

對圖形計算器的研究，激發(fā)了我對數(shù)學(xué)的興趣，漸漸讓我對它愛不釋手了.我從以前的被動學(xué)習(xí)變?yōu)楝F(xiàn)在的主動學(xué)習(xí)，也很愿意向未知的領(lǐng)域探索.這讓我想起了我一個初中的同學(xué)，他非常喜歡數(shù)學(xué).初三時，大家都在緊張復(fù)習(xí)，他則在找高中的數(shù)學(xué)書和各種關(guān)于數(shù)學(xué)的課外書看.每天都會向其他同學(xué)講述他昨天學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，當(dāng)時我覺得他傻傻的，但現(xiàn)在我明白了他是為了喜歡而學(xué)習(xí)，而我是為了學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí).在圖形計算器社里我對此深有體會，當(dāng)自己喜歡和好奇時，就會不由自主地去學(xué)習(xí).

點評 張賓心同學(xué)寫這篇論文時，尚未接觸導(dǎo)數(shù)這一內(nèi)容.端點處光滑問題的處理，涉及微分的知識，是有較大難度的，但是，使用圖形計算器研究圖形讓他對學(xué)習(xí)產(chǎn)生了巨大的興趣，為了能夠找到方法解決問題，他從學(xué)過的知識入手，對問題進行初步探究，并通過搜索網(wǎng)絡(luò)知識和詢問老師，自學(xué)三次函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識，較好地解決了這一問題.問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂；興趣，是支撐我們前行的動力.讓我們時刻懷抱一顆好奇心，去探知我們未知的世界.