基于原有認知，培養(yǎng)實踐意識
——新課標(biāo)背景下初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐與反思

☉江蘇省啟東市百杏中學(xué) 浦圣妹

新課標(biāo)提出發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)更全面的人.那么，對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，我們的課堂應(yīng)該如何變化呢？筆者認為應(yīng)該更注重學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，應(yīng)該豐富學(xué)生的體驗，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的實踐意識，增強學(xué)生的過程體驗.本文以無理方程的教學(xué)為例，就如何具體地實施談幾點思考.

一、創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)中生成概念

學(xué)生都是帶著知識和經(jīng)驗學(xué)習(xí)知識的，在學(xué)習(xí)無理方程之前，學(xué)生知道方程，也會“列方程”，為此，我們我們可以從學(xué)生的基礎(chǔ)出發(fā)設(shè)置問題情境，采用實驗和師生對話的方式引出無理方程及無理方程的概念.

實驗情境：老師給每組同學(xué)提供了一根30cm長的細鐵絲，現(xiàn)在大家嘗試著將其彎折成一個直角三角形，要求有一條直角邊長為5cm.

設(shè)計意圖：這是一個實踐類的問題，學(xué)生不加思索，借助于三角板的直角是可以實踐的，但是在彎折的過程中會出現(xiàn)困難，即另外一條直角邊從何處開始“彎折”.繼而生成新的問題.

生成問題：如何求另外一條邊長？

出現(xiàn)了一個未知量，要解決這個問題，學(xué)生很自然地會想引入未知數(shù).通常情況下，學(xué)生會想到設(shè)另一直角邊長度為x cm，借助于勾股定理，學(xué)生能夠列出方程：52+x2=（30-5-x）2，即52+x2=（25-x）2（1）.

能列出方程（1）是學(xué)生的認知基礎(chǔ)，不僅如此，從該方程中學(xué)生還能夠得到斜邊長為此時，可以采用追問的方式進一步引導(dǎo)學(xué)生思考.

追問1：除了方程（1），大家還能列出怎樣的方程？

設(shè)計意圖：學(xué)生從總長度為30cm、一條直角邊長為5cm出發(fā)，很自然能夠聯(lián)系到斜邊長度應(yīng)該為30-5-x=25-x，可以得到新的方程：（2）.

追問2：大家觀察方程（2），從我們的原有經(jīng)驗出發(fā)，想一想：方程（2）的左、右兩邊分別指的是什么？猜一猜這樣的方程有什么意義.

設(shè)計意圖：追問2是將學(xué)生得到方程（2）的思維可視化，方程（2）的左、右兩邊均可以表達彎折出來的直角三角形的斜邊，繼而很自然地歸納方程的實質(zhì)，即建立等號、列方程的意義，從兩個不同側(cè)面對數(shù)學(xué)問題中同一個量進行表達.當(dāng)然，同一個數(shù)學(xué)問題的思考點可以不一樣，找到的同一個量也會不同，可以進一步追問，促進學(xué)生對上述認識的理解.

追問3：上述問題，如果我們換一個角度，你還可以列出怎樣的方程？

二、基于生成，比較中深化理解

學(xué)生的生成是課堂探究的重要生長點，通過前面的情境創(chuàng)設(shè)和引導(dǎo)，學(xué)生得到了3個方程，這里有有理方程和無理方程，我們在課堂上引導(dǎo)學(xué)生對這3個方程進一步進行比較，能夠深化學(xué)生對無理方程的內(nèi)涵的理解，自主比較得到無理方程的本質(zhì)特征，印象會更深刻.

師：觀察（1）、（2）、（3）三個方程，你覺得和我們前面學(xué)習(xí)的方程有怎樣的差別？

設(shè)計意圖：方程得到后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)含有根式且根式下的內(nèi)容是包含未知數(shù)的代數(shù)式，以前沒學(xué)過，這屬于學(xué)生感興趣的地方，如果我們直接灌輸給他們，則印象不深刻，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)更能夠深化學(xué)生對無理方程概念的理解，在學(xué)生有了初步判斷后，再拋出一些方程讓學(xué)生辨析，能夠促進概念的理解與內(nèi)化.

練習(xí)：判斷下述方程哪些屬于關(guān)于x的無理方程.

在學(xué)生在辨析的過程中有了一定認識后，再進一步引導(dǎo)學(xué)生討論前文中涉及的3個方程，將學(xué)生的思維點轉(zhuǎn)移到此類方程如何解的探尋中來.

師：我們大家再來觀察前面得到的三個方程，看看（2）和（3）之間存在的聯(lián)系，（1）和（2）之間存在什么聯(lián)系？

設(shè)計意圖：學(xué)生再一次對方程進行比較，比較的過程就是實踐的過程，而且行有所獲，最終學(xué)生會發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的變化過程，將方程（3）等價變形可以得到方程（2），將方程（1）的兩邊同時開方可以得到方程（2），在此基礎(chǔ)上，為了防止學(xué)生的思維出現(xiàn)片面性，可以進一步追問.

追問4：若a2=b2，則a=b，大家覺得這一判斷對嗎？

設(shè)計意圖：學(xué)生前面思維出現(xiàn)障礙，如果我們直接灌輸正確的結(jié)果可能印象不深，下次還是會錯，怎么辦？借助于追問4，學(xué)生在分析：如果a2=b2，有a=b或a=-b兩種情況時，很自然地就會發(fā)現(xiàn)前面的說法“方程（1）兩邊同時開方可以得到方程（2）”是有問題的.

追問5：那么應(yīng)該怎么說呢？若a=b，則有a2=b2，這樣說對嗎？

學(xué)生有了上述思考，對于如何解無理方程就清晰了：將方程兩邊平方，將其轉(zhuǎn)化成有理方程再求解.

三、實踐體悟，引導(dǎo)在應(yīng)用中感悟

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)離不開應(yīng)用過程，應(yīng)用的過程是實踐，是進一步培養(yǎng)和發(fā)展的過程，前面對概念的理解程度和思維狀態(tài)都會在概念應(yīng)用的過程中暴露出來，并有新的感悟.

1.設(shè)置例題，感悟方法

設(shè)計意圖：例2給出的是兩個不同的方程，但是最終的根是一樣的，自然地將思維轉(zhuǎn)向：這里面有怎樣的關(guān)聯(lián)呢？促進學(xué)生進一步比較與思考，很快在觀察與比較中感悟到方程的非同解變形會使方程根的范圍擴大，此時怎么辦？很自然地生成驗根的需要，這恰恰也是我們教學(xué)的重點、難點所在.

2.自主練習(xí)，比較“通法”和“巧法”

我們在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要謹防學(xué)生出現(xiàn)思維定式，同時要注意對學(xué)生發(fā)散性思維的引導(dǎo)，對于解無理方程而言，我們通常的方法是“平方法”，這樣的通法在教學(xué)中當(dāng)然要練習(xí)和鞏固，但不要將“平方法”作為唯一路徑，要滲透巧法，讓學(xué)生的思維品質(zhì)獲得有效提升.

設(shè)計意圖：上述四個方程，學(xué)生借助于平方法很快可以解決，從學(xué)生完成的情況看，我們要提醒學(xué)生對于第（2）小題，不能把“2”的平方疏忽掉；在解決（3）、（4）兩個特殊的無理方程時，學(xué)生如果進行簡單的平方就容易出現(xiàn)問題，學(xué)生在自主嘗試并解決問題后，對解決無理方程的方法會有新的感悟，這是我們幫助學(xué)生有效克服思維定式負遷移的最好辦法.

四、總結(jié)歸納，引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)想中關(guān)聯(lián)

知識之間是有聯(lián)系的，我們每學(xué)習(xí)一個概念和方法，都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將其歸納到原有的認知結(jié)構(gòu)之中，在聯(lián)想中關(guān)聯(lián)，促進數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)式發(fā)展.

1.類比分析化歸思想

這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，得出結(jié)論，如圖1所示.

圖1

2.引導(dǎo)學(xué)生在“方程”和“式”的比較中感悟知識內(nèi)在關(guān)聯(lián)，比較中得出方程的知識結(jié)構(gòu).

圖2

教育家馬登曾經(jīng)發(fā)表過學(xué)習(xí)就是鑒別的著名觀點，鑒別又必須建立在比較的基礎(chǔ)之上，學(xué)習(xí)者自身必須具備一定的認知，才能從物質(zhì)的、文化的、感知的世界中對某些特征進行辨認和察覺.筆者認為，初中數(shù)學(xué)教學(xué)，就應(yīng)該讓學(xué)生在原有認知的基礎(chǔ)上進行“比較”，這是發(fā)展學(xué)生認知和實踐意識，提高學(xué)生解決實際問題能力的不二法門.