基于案例的“數(shù)學(xué)模型演繹”教學(xué)與反思

☉浙江省臺(tái)州市黃巖區(qū)城關(guān)中學(xué) 林秋萍

建立模型思想能夠幫助學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)和外部世界之間的聯(lián)系，建構(gòu)基本的數(shù)學(xué)模型、推廣已有的數(shù)學(xué)模型、演繹更多的數(shù)學(xué)模型其實(shí)都是包含在模型思想范疇內(nèi)的具體環(huán)節(jié)，教師有意識(shí)、有計(jì)劃的訓(xùn)練能幫助學(xué)生獲得以一當(dāng)十的數(shù)學(xué)建模與演繹能力.本文結(jié)合具體的例題，對數(shù)學(xué)模型的演繹展開思考，以期促成學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的增強(qiáng).

一、數(shù)學(xué)模型的演繹概述

個(gè)體因?yàn)閮?nèi)源、外源的需要，往往會(huì)產(chǎn)生建構(gòu)模型的需要，以及模型建構(gòu)的目標(biāo)體系，在目標(biāo)達(dá)成中進(jìn)行有意義的加工與選擇，并對已有模型進(jìn)行反復(fù)分拆、重組與變化，直至新的符合目標(biāo)要求的模型形成，以及新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的獲得.由此可見，數(shù)學(xué)模型的演繹一般會(huì)經(jīng)歷“源驅(qū)動(dòng)—已有模型—條件變換—建立新模型”這一過程.個(gè)體在已有模型的反復(fù)分拆、交叉、重組、變換中對模型進(jìn)行存儲(chǔ)、變換和重組，并因此順利建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型.

二、案例研究

例1 如圖1，正方形ABCD的邊長是4，E為AB邊上一點(diǎn)，且AE=3，點(diǎn)Q是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則△BEQ的周長最小應(yīng)為______.

解題分析：因?yàn)镋B為定值1，要求△BEQ的周長的最小值，也就轉(zhuǎn)化成了求EQ+BQ的最小值，因此確定點(diǎn)Q的位置成為解決此題的關(guān)鍵.點(diǎn)Q在AC上，是運(yùn)動(dòng)的，EQ和BQ無法直接求得，所以聯(lián)想對稱性這一性質(zhì)，并添加輔助線將EQ和BQ轉(zhuǎn)化成一條線段并確定點(diǎn)Q的位置.如圖2，正方形ABCD中，B、D兩點(diǎn)關(guān)于直線AC對稱，則DE的長即為EQ+BQ的最小值，利用勾股定理即可求得其值為5，則△BEQ的周長的最小值6很快求出.

模型演繹分析“：牧童飲馬”這一問題是此題的模型原型，解決此題時(shí)應(yīng)該明了正方形是本題的背景圖，將正方形的一條對角線AC作為定直線，動(dòng)點(diǎn)Q在對角線AC上，定點(diǎn)E、B在對角線AC同側(cè)，正方形為軸對稱圖形等條件綜合起來，即可利用對稱性特點(diǎn)將“兩線段之和”轉(zhuǎn)化成“一條線段”.

例2 如圖3，已知直線a、b，且a∥b，若a、b之間距離為4，點(diǎn)A至直線a的距離和點(diǎn)B至直線b的距離分別是2、在直線a、b上分別找出一點(diǎn)M、N，滿足MN⊥a，并能令A(yù)M+MN+NB最小，此時(shí)AM+NB=______.

圖3

圖4

解題分析：想要AM+MN+NB最小，MN為直線a、b之間的距離且為定值，因此，只要滿足AM+NB的值最小即可解決問題，如圖4，首先作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)A′，連接A′B與直線b相交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NM⊥a，連接AM，此時(shí)可判斷出四邊形AA′NM為平行四邊形，因此可得AM=A′N，由兩點(diǎn)間線段最短這一性質(zhì)可得此時(shí)AM+NB的值最小.過點(diǎn)B作BE⊥AA′，與AA′相交于點(diǎn)E，在Rt△ABE中，求出BE，在Rt△A′BE中，求出A′B，即可求得AM+NB.

模型演繹分析：平行線是解決此題時(shí)所運(yùn)用的背景圖，a、b為定直線，M、N兩動(dòng)點(diǎn)分別在定直線a、b上，由題意可得A、B兩定點(diǎn)在定直線a、b的兩側(cè)，以定直線a或b為基礎(chǔ)確定動(dòng)點(diǎn)N或M并因此構(gòu)建“牧童飲馬問題”的模型，利用對稱性、平行四邊形等性質(zhì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可尋得此題的突破口.

三、幾點(diǎn)思考

1.重視模型建構(gòu)和演繹

一種數(shù)學(xué)形式向另一種形式的轉(zhuǎn)化，實(shí)際上正是數(shù)學(xué)杠桿在起作用的過程，作為數(shù)學(xué)思維支撐點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型同樣是數(shù)學(xué)知識(shí)的附著點(diǎn)及數(shù)學(xué)應(yīng)用的突破點(diǎn).學(xué)生對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行觀察、歸納、類比與思考，往往需要對數(shù)學(xué)模型中承載的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行獲取、分析、歸納與綜合，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心活動(dòng)也正在于此.教師應(yīng)看到學(xué)生建構(gòu)模型在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中產(chǎn)生的價(jià)值，著眼于學(xué)生思維發(fā)展設(shè)計(jì)出適合學(xué)生能力與水平的數(shù)學(xué)模型，幫助、指導(dǎo)學(xué)生對模型進(jìn)行理解、表征、建構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)操作與推理.因此，數(shù)學(xué)教育、模型構(gòu)建、模型演繹應(yīng)被有機(jī)結(jié)合并落實(shí)到具體的數(shù)學(xué)操作與推理中，教師應(yīng)著眼于學(xué)生模型構(gòu)建意識(shí)的培養(yǎng)，并不斷引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行觀察、分析與解決，使學(xué)生能夠在實(shí)際問題的分析與解決中，積極構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并因此由知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)變.

2.正確處理模型構(gòu)建和演繹之間的關(guān)系

在具體數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程中，第一步應(yīng)要求學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活、具體情境中進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的抽象，第二步則要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號對問題中的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律進(jìn)行表達(dá)，方程、不等式、函數(shù)等都是一般的表達(dá)方式.先直觀后邏輯是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)必須遵循的過程，這是一個(gè)需要運(yùn)用邏輯檢驗(yàn)、駕馭數(shù)學(xué)直覺的階段.對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行反復(fù)分拆、交叉、重組、變換的演繹過程應(yīng)建立在客觀事物的數(shù)學(xué)抽象與已有模型之上.值得教師注意的是，這兩者既不是“母子關(guān)系”，也不是很多學(xué)生誤解的“包容關(guān)系”，事實(shí)上，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)和演繹應(yīng)該說是一種“基礎(chǔ)和拓展”的關(guān)系，已有數(shù)學(xué)模型或原有圖式是演繹新模型的基礎(chǔ)，新模型的演繹是已有模型或原有圖式的拓展，具備一定層次關(guān)系的模型鏈和模型系統(tǒng)由此建立.

3.教學(xué)注意

（1）數(shù)學(xué)邏輯和直覺相結(jié)合

將數(shù)學(xué)模型建構(gòu)和演繹之間的“基礎(chǔ)和拓展”關(guān)系進(jìn)行簡單的套用是無法令學(xué)生理解和掌握的，教師在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)將數(shù)學(xué)直覺和邏輯、合情推理和邏輯推理結(jié)合起來，并引導(dǎo)學(xué)生逐步進(jìn)行模型的分拆、變換與重組.對模型的直觀想象、分拆、重組、變換是數(shù)學(xué)直覺對數(shù)學(xué)信息進(jìn)行加工的重要階段，對模型形成進(jìn)行邏輯檢驗(yàn)與建構(gòu)關(guān)系的過程則是數(shù)學(xué)邏輯參與的重要階段.因此，教師在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分的直觀感知，并進(jìn)行分拆、重組與變換操作，使學(xué)生能夠在觀察、歸納、類比中建構(gòu)模型特征與模型之間的猜想、合乎邏輯的理性思考與檢驗(yàn)、模型的修改等數(shù)學(xué)操作.

（2）做到循序漸進(jìn)

學(xué)生思維發(fā)展的高度價(jià)值往往在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)和演繹活動(dòng)中得以完全展現(xiàn)，數(shù)學(xué)直覺和邏輯并用、合情推理和邏輯推理有機(jī)融合才能令學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中展現(xiàn)出更高層次的思維活動(dòng)與個(gè)性化想法.學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的深度參與和積極思考，才能令數(shù)學(xué)活動(dòng)展現(xiàn)出高層次思維參與的價(jià)值與魅力.因此，教師不能對建構(gòu)數(shù)學(xué)模型抱有“一步登天”的妄想，而應(yīng)該循序漸進(jìn)地設(shè)計(jì)出適合學(xué)生的模型建構(gòu)和演繹活動(dòng)，以幫助學(xué)生達(dá)成深層次的思考.不僅如此，任何模型的建構(gòu)和演繹都需要基礎(chǔ)模型的支撐，這是教師需要關(guān)注的，因此，教師應(yīng)盡量啟發(fā)學(xué)生在基礎(chǔ)模型的建構(gòu)與掌握中形成更多、更豐富的體驗(yàn)，使學(xué)生能夠在自身認(rèn)知基礎(chǔ)上，結(jié)合更多個(gè)性化的想法順利從模型的建構(gòu)向演繹過渡，使學(xué)生能夠在直觀感知與已有經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合中，順利實(shí)現(xiàn)邏輯建構(gòu)，并實(shí)現(xiàn)合情推理和邏輯推理的綜合運(yùn)用.

（3）注重動(dòng)態(tài)生成

適合學(xué)生的模型建構(gòu)與演繹活動(dòng)往往能令學(xué)生思維品質(zhì)的靈活性、創(chuàng)造性，以及智力、能力都獲得發(fā)展.不過，強(qiáng)制要求學(xué)生記“模型”、背“模型”的做法是極不合適的，這種“模型化”的機(jī)械操作往往無法令學(xué)生對模型建構(gòu)與演繹之間的聯(lián)系產(chǎn)生深刻的領(lǐng)會(huì)和感悟.因此，教師要清楚認(rèn)識(shí)已有數(shù)學(xué)模型多元表征的含義與價(jià)值，并引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)行新模型的分拆、變換與重組，使學(xué)生能夠不斷獲得新知識(shí)與新觀念，并在模型構(gòu)建與演繹的活動(dòng)中展現(xiàn)出令人驚喜的潛能.