基于DEClu算法的均值-VaR投資組合優(yōu)化

陳 敏，趙新超

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基于DEClu算法的均值-VaR投資組合優(yōu)化

陳 敏，趙新超

（北京郵電大學(xué) 理學(xué)院，北京 100876）

投資組合問題是一個復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題，傳統(tǒng)的算法難以有效求解。本文將新提出的基于聚類的差分算法用于求解均值-VaR模型，用罰函數(shù)方法處理模型中的不等式約束，選取雅虎財經(jīng)中的50支股票作為備選股票進行實證分析，數(shù)值結(jié)果表明，該算法取得了良好的效果，解的結(jié)果既滿足了投資的目標(biāo)和約束條件，又反映了投資者之間不同的收益風(fēng)險需求，且具有較好的實踐性。

聚類分析；差分算法；投資組合；均值-風(fēng)險價值（VaR）

0 引言

自諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者 Harry.A.Markowitz于1952年創(chuàng)立投資組合理論以來,投資組合決策問題成了投資機構(gòu)和投資者關(guān)注的熱點問題之一。在Markowitz建立了一個基本的投資組合M-V[1-2]（mean-varience）模型的背景下，P.Jorion于1997年提出了一種新的風(fēng)險度量-風(fēng)險價值 VaR（Value at Risk）[3]，即在市場正常波動下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)（1天、一周或 10天等）和一定的置信水平下可能發(fā)生的最大損失。文獻[4]證明了均值-VaR投資組合有效前沿為均值-方差有效前沿的子集，即均值-VaR投資組合排除了有效前沿中期望收益率較小的一些投資組合。因此，均值-VaR投資組合實際上縮小了投資者的選擇范圍，提高了投資決策的速度和效率。

VaR是目前最為推崇的一種能全面量化復(fù)雜投資組合風(fēng)險的方法，而在各種投資組合模型中均值- VaR模型是一個高度的非線性規(guī)劃模型，傳統(tǒng)的算法難以保證得到最優(yōu)解。因此，為了克服這個NP難問題的計算困難，越來越多的研究人員采用群體智能[5]（SI）方法來解決投資組合優(yōu)化問題。近年來，Kalayci等學(xué)者運用遺傳算法[6]對投資組合優(yōu)化問題進行了分析和研究，Q等學(xué)者將改進的粒子群算法[7]引入到廣義投資組合選擇問題，D等學(xué)者采用改進的人工蜂群算法[8]求解基數(shù)約束投資組合問題，以及近年來所采用的改進的侵入性雜草算法[9]和人工魚群算法[10]等。差分進化算法[11]通過種群內(nèi)個體的合作與競爭實現(xiàn)種群的進化，可以認(rèn)為是一種基于實數(shù)編碼具有保優(yōu)思想的貪婪遺傳算法，而且差分算法具有其特有的記憶能力，可以憑借著這種記憶能力動態(tài)的調(diào)整搜索方向，因而具有更好的全局搜索能力。因此，將該算法應(yīng)用于求解證券投資組合優(yōu)化問題具有重要的理論意義和實際意義。但是這一算法本身也存在著收斂速度慢，會產(chǎn)生局部最優(yōu)解的缺陷。將差分算法與聚類分析[12-17]相結(jié)合可以相應(yīng)地改善這一缺陷。因此，本文針對中國證券市場不允許賣空的特性，將新提出的基于聚類的差分算法用來求解不允許賣空情況下的均值-VaR模型，取得了較好的效果。

1 均值-VaR投資組合模型的建立

為VaR約束。

定理1：當(dāng)投資組合中的 n 種資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布時，（1）式可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

其中，s為投資組合的預(yù)期收益率。

2 聚類差分協(xié)同算法

2.1 經(jīng)典差分進化算法

差分進化算法（Differential Evolution，DE）最初是由Storn R和Price K等人在1995年首次提出，這一算法也是群智能算法的一種，是基于群體智能理論衍生出的最優(yōu)化算法。相較于傳統(tǒng)的進化算法，差分進化算法保留了基于整個種群的全局搜索策略，采用了基于差分的簡單變異操作，以及個體之間一對一的生存競爭策略來降低遺傳操作的復(fù)雜性。同時，差分進化算法具備特有的記憶能力，可以智能地調(diào)整其搜索策略，也不需要借助問題的特征信息來求解，這些優(yōu)點使得差分進化算法能夠更好地求解復(fù)雜的優(yōu)化問題。

其中i= 1, 2,…, NP，NP是種群規(guī)模大小，G是當(dāng)前迭代次數(shù)。

rand(0,1)代表了服從均勻分布的[0, 1]區(qū)間中一個隨機數(shù)。

初始化群體之后，差分進化算法開始進行一系列的循環(huán)進化操作，包括變異（Mutation），交叉（Crossover）和選擇（Selection）。

2.1.1 變異

2.1.2 交叉

2.1.3 選擇

差分進化算法的搜索性能取決于這個算法對全局探索和局部開發(fā)能力的平衡，而這些性質(zhì)在很大程度上取決于對算法的控制參數(shù)的選擇，包括種群規(guī)模的大小、縮放比例因子的大小和交叉率的大小。而相比于其他進化算法，差分進化算法所需要調(diào)節(jié)的參數(shù)較少。

2.2 聚類分析

聚類算法有很多種，本文采用k-medoids算法對投資組合問題進行優(yōu)化。k-medoids算法作為k-means算法的升級版，在和差分進化算法協(xié)作的時候表現(xiàn)出很好的效果，不但能提高差分算法的收斂速度，還能避免陷入局部最優(yōu)解。

K-medoids算法和K均值算法相似，都是劃分類的算法（也就是將數(shù)據(jù)集切分成組），其理念都是尋求對一個類中所有元素與類中心距離的最小化。但這兩種算法的區(qū)別在于，K-medoids選擇一個類中的數(shù)據(jù)點作為中心，而K-means則選擇一個類中所有值的均值作為中心。K-medoids算法于1987年由Kaufman, L.和Rousseeuw, P.J.提出。它具有比K均值算法更強的魯棒性，可以看成是K均值算法的一種改進算法。由于K-medoids算法并不像K均值算法一樣需要利用歐式距離來計算每個數(shù)據(jù)間的距離，使得K-medoids算法的應(yīng)用范圍更廣，比如一些類型數(shù)據(jù)，事物數(shù)據(jù)等。K-medoids算法用差異矩陣（dissimilarity matrix）來規(guī)定每個元素之間的差異程度。此外，由于K-medoids算法選取的中心點是在已有的類中的數(shù)據(jù)點中獲得的，所以與K均值算法相比，K-medoids算法不會因為求均值而導(dǎo)致比較怪異的中心點的出現(xiàn)，也不會因誤差等不確定因素產(chǎn)生偏差問題。

最常用的K-medoids算法實現(xiàn)被稱為Partitioning Around Medoids（PAM），即圍繞中心點的劃分，其步驟如下：

（1）初始化：在NP個數(shù)據(jù)中不重復(fù)地隨機選取k個數(shù)據(jù)點作為聚類中心。

（2）將每一個數(shù)據(jù)點與離它最近的聚類中心聯(lián)系起來。（在此，最近的定義一般使用一種特定的距離標(biāo)準(zhǔn)，例如歐式距離、馬氏距離或者明科夫斯基距離等），并計算這次聚類結(jié)果的總體距離。

（3）對于每一個聚類中心m

I.對于每一個不是聚類中心的數(shù)據(jù)點O

II.交換m和O，把O作為新的聚類中心，并計算新的聚類結(jié)果的總體距離。

（4）比較這兩次的總體距離，并記錄最小值。

（5）重復(fù)第（2）到第（4）步，直到聚點中心不變?yōu)橹埂?/p>

通常情況下，K-medoids算法有著比K均值算法更好的性質(zhì)，比如準(zhǔn)確度會相應(yīng)地提高，而且不會受臟數(shù)據(jù)的影響。

2.3 聚類差分協(xié)同算法

為了更好地解決投資組合問題，本文針對差分算法易陷入局部最優(yōu)解，收斂速度慢等缺點，擬將聚類分析算法嵌入到差分算法的框架，設(shè)計出一種新的聚類差分協(xié)同算法（DEClu算法）。

聚類分析算法首先將種群劃分為不同的類別，然后取出每個類別中富含信息的代表元并進行運算。利用這些代表元重新構(gòu)建更優(yōu)的種群，使得整個種群逐漸優(yōu)化并最終收斂于全局最優(yōu)點。由于初始化的時候，信息比較分散，信息數(shù)量較為龐大，如果這時開始聚類則會產(chǎn)生諸如豐富的種群信息被提早削減、整個種群的早熟收斂等問題。這會增加收斂到局部最優(yōu)解的概率，甚至可能直接排除最優(yōu)解，導(dǎo)致不能得到問題的正確解。因此，聚類時機的選擇非常重要。同時聚類的計算量較大，聚類本身就是一種加速技術(shù)，所以不必頻繁地運行。這樣不但能使聚類更好地加快整體的收斂速度，并且也能在一定程度上避免種群整體信息的縮減。

聚類結(jié)束之后，首先選出每個類中的代表元，利用經(jīng)典的計算方法對這個富含信息量的代表元進行快速收斂。然后考慮如何將新算出來的個體安放到種群之中。

本文中，首先將每一個聚類中心的函數(shù)值求出，根據(jù)聚類中心對應(yīng)的函數(shù)值進行排序，然后將其與原始種群中較差個體的函數(shù)值進行比較，若聚類中心的個體優(yōu)于原種群中較差的個體，則使用聚類中心來替代那些較差解。在這種情況下種群的大小不會發(fā)生改變。這種方法可以被認(rèn)為是一種比較保守的淘汰機制，在不降低整個種群的情況下，只是把最差的一些解進行了篩選淘汰，而整個種群的大小并不改變。其優(yōu)點在于魯棒性強，避免算法陷入局部最優(yōu)。

2.4 約束處理

2.5 算法流程

下面詳細(xì)介紹融入聚類分析算法的差分進化算法的基本步驟。

Step0. 初始化

Step1. 進行和經(jīng)典的差分進化算法相同的變異操作，交叉操作和選擇操作。

Step2. 迭代一定次數(shù)之后，在某一次迭代的選擇操作結(jié)束之后，對整個種群使用K-medoids聚類分析算法，將整個種群聚集為K個類別。

Step3. 分別抽取這K個類別的代表元，并計算這K個代表元的函數(shù)值

If K個函數(shù)值<原來種群最差的K個個體函數(shù)值

利用代表元來替代原來種群中的個體

End If

Step4. If 迭代次數(shù) < 最大迭代次數(shù)

回到Step1.

Else輸出結(jié)果

3 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

3.1 資產(chǎn)選取

為了分散風(fēng)險，本文選取不同行業(yè)、不同流通盤的股票進行投資，選取的滬深股票市場的50支股票分別是：

浦發(fā)銀行（600000）、民生銀行（600016）、寶鋼股份（600019）、中國石化（600028）、南方航空（600029）、中信證券（600030）、招商銀行（600036）、保利地產(chǎn)（600048）、中國聯(lián)通（600050）、上汽集團（600104）、北方稀土（600111）、萬華化學(xué)（600309）、華夏幸福（600340）、康美藥業(yè)（600518）、貴州茅臺（600519）、山東黃金（600547）、綠地控股（600606）、海通證券（600837）、伊利股份（600887）、江蘇銀行（600919）、東方證券（600958）、招商證券（600999）、大秦鐵路（601006）、中國神華（601088）、興業(yè)銀行（601166）、北京銀行（601169）、中國鐵建（601186）、國泰君安（601211）、上海銀行（601229）、農(nóng)業(yè)銀行（601288）、中國平安（601318）、交通銀行（601328）、新華保險（601336）、中國中鐵（601390）、工商銀行（601398）、中國太保（601601）、中國人壽（601628）、中國建筑（601668）、中國電建（601669）、華泰證券（601688）、中國中車（601766）、中國交建（601800）、光大銀行（601818）、中國石油（601857）、浙商證券（601878）、中國銀河（601881）、中國核電（601985）、中國銀行（601988）、中國重工（601989）、洛陽鉬業(yè)（603993）。

3.2 數(shù)據(jù)的預(yù)處理和算法參數(shù)設(shè)置

選取五十支股票2017年3月8日至2018年3月7日共245天的收盤價作為計算數(shù)據(jù)（其中每股的缺失值用該股票的平均值代替）。用 計算股票的日收益率，其中和分別表示第i支股票（i = 1, 2,…, 50）t和t-1時刻的日收盤價應(yīng)用Matlab2016b進行編程計算，其參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模為100，懲罰因子sigma = 10^6。最大迭代次數(shù)為210，達到最大迭代次數(shù)則程序終止運行。

3.3 實驗結(jié)果分析

首先將周收益率閾值設(shè)定為s = 0.00040，在不同的置信度水平下，各風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例和風(fēng)險值的統(tǒng)計結(jié)果見表1（由于在資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布時，當(dāng)置信水平a>0.5時，VaR滿足次可加性，所以本文所采用的置信度分別為0.90，0.95，0.99均大于0.5，所以滿足VaR次可加性）。由表1可知，隨著置信度水平的增加，風(fēng)險值也在逐漸增大，因為置信水平越大對收益率的估計越是謹(jǐn)慎，估計的VaR值就越高。因此，對于保守型的投資者而言，將會選擇較高的置信度水平。

表1 不同置信水平下的計算結(jié)果

Tab.1 Calculation results under different confidence levels

置信度0.900.950.99 x10.0009215766683490.0426861395283090.025746517063343 x20.0370342090564400.0307368880429160.012705827769300 x30.0253109666176070.0236464942315890.017240727281258 x40.0074575943484170.0225180012252110.040754619812659 x50.0137345105417710.0059635057857980.036293804566877 x60.0011472940265450.0228143529792050.007254786595881 x70.0033261624586770.0081634978710980.036097210171234 x80.0181002694797340.0408328342697310.000669785293699 x90.0264051844889910.0024620601053510.002009915409716 x100.0231231071495730.0144189903517600.010675017825294 x110.0380408533014820.0015358335599910.003780406069774 x120.0013030593318620.0094318336559890.003048201588403 x130.0116595727825820.0081911687733150.004994426377596 x140.0069732246547560.0200738242883610.003377365737536 x150.0339059246549150.0458300578293020.039975315738224 x160.0333069428697100.0452286531187490.038767716266699 x170.0163590498709730.0048880661557030.001640978212879 x180.0407366436120820.0318055751049430.024474181045431 x190.0145985588067350.0182982768459550.033696860220851 x200.0005826388474150.0205135730985800.002804630459508 x210.0043288768078070.0298869185070320.026636083591838 x220.0331152025315720.0135346657519890.042356737602920 x230.0211680919251500.0210680606581240.039960893821169 x240.0081953104536740.0202566767164780.005456367604758 x250.0318375344889380.0117391269906290.031404475377661 x260.0465270065773420.0433398511517300.024581923702072 x270.0065138079404650.0021143776514740.010234263278644 x280.0072594068918930.0017848001215990.006924741456892 x290.0119489283540870.0466892076181050.024210083046984 x300.0256798270725870.0170536847279440.038336675185937 x310.0102010774989630.0023890341390780.008477723509815 x320.0397071528394340.0179987741036590.037010436483346 x330.0314674592407530.0178046711412200.001093192779964 x340.0403804497190650.0313852090365500.039094807549705 x350.0283079806261220.0264057497850790.009796340932891 x360.0152093510280730.0029243720181960.006765822412071 x370.0154612915570370.0008350679727630.021827356842549 x380.0279040585984160.0266483894285840.034930081886531 x390.0252328634990010.0091989279118490.007885581981153 x400.0036809557857650.0207954689702740.019678814402789

續(xù)表1

置信度0.900.950.99 x410.0217440186314970.0287652033756640.045623805123862 x420.0273836263818260.0059542275027410.005767216851779 x430.0112190598388060.0182475651840110.027601081650213 x440.0303578954944850.0316739595948470.031289875818281 x450.0191777994070690.0328892424145790.022408109308977 x460.0409878831558310.0471522231233090.018482044621049 x470.0101025180920630.0148065848444860.033212362650480 x480.0254045767094930.0178390508496820.024016305949323 x490.0024603966814040.0120801929583490.005279071748259 x500.0230082486027660.0066990889281210.003649429321923 Var0.0093981124005890.0118515830252560.017340304867028

在置信水平 =0.95時，表2給出了收益率閾值 s分別為0.00040、0.00045和0.00050時的投資比例和風(fēng)險價值。從此表可以看出，隨著收益率閾值的增加，投資組合的風(fēng)險也在不斷增大，這符合高收益對應(yīng)高風(fēng)險的投資事實。同時，投資比例的均勻性也符合“不要把雞蛋全放在一個籃子里”的投資策略。投資者如果對自己的投資策略不滿意，可以通過調(diào)整s選擇合適的投資策略。

圖1給出了不同的收益率閾值下，在同一置信水平下，算法運行次數(shù)為210時的效果圖。

表2 相同置信水平、不同收益率閾值下的最優(yōu)投資組合比例

Tab.2 Proportion of optimal portfolios with the same confidence level and different yield thresholds

閾值s0.000400.000450.00050 x10.0426861395283090.0245366064422810.040775600527761 x20.0307368880429160.0065314717277670.005043992002595 x30.0236464942315890.0271198837144850.035773992474752 x40.0225180012252110.0012998517233500.002025682676935 x50.0059635057857980.0083520202839830.020984517355407 x60.0228143529792050.0238144844160280.013622985303529 x70.0081634978710980.0106675663412740.005153343297132 x80.0408328342697310.0261347431263030.009588128650847 x90.0024620601053510.0164570809200270.023790004865111 x100.0144189903517600.0089896231429590.013775291096588 x110.0015358335599910.0216602009973950.023672926459028 x120.0094318336559890.0130247814472210.013957454399323 x130.0081911687733150.0036543313509360.023861523624860 x140.0200738242883610.0258267105769510.000892840739672 x150.0458300578293020.0073043376425810.018051681418924 x160.0452286531187490.0428719394193250.005161965732350

續(xù)表2

x170.0048880661557030.0379620377014070.006220485938742 x180.0318055751049430.0293821823341650.009555363096363 x190.0182982768459550.0294288298154710.005391643230018 x200.0205135730985800.0088211786581190.018918699441127 x210.0298869185070320.0169658031240850.011956411979830 x220.0135346657519890.0193476294139340.025484102231810 x230.0210680606581240.0338195775410450.047469412523611 x240.0202566767164780.0296869841170880.026303888742368 x250.0117391269906290.0084905409723510.035921224826771 x260.0433398511517300.0360665175972690.001890158357957 x270.0021143776514740.0167069392975740.022327679777993 x280.0017848001215990.0131946276025620.035340164766330 x290.0466892076181050.0053853649943360.001345176596683 x300.0170536847279440.0276589351807780.023349323584019 x310.0023890341390780.0173042099797910.001984125477601 x320.0179987741036590.0191610832680710.013730858801871 x330.0178046711412200.0186765512395260.003489183017411 x340.0313852090365500.0034259760287280.003238336600460 x350.0264057497850790.0310374364822100.039524615480987 x360.0029243720181960.0258838432828410.013550503073744 x370.0008350679727630.0347670567574000.021261516353739 x380.0266483894285840.0296622845413700.028988641003791 x390.0091989279118490.0346516879850810.017727686850708 x400.0207954689702740.0186446531734070.038796008000894 x410.0287652033756640.0220552341722050.031378588863284 x420.0059542275027410.0362009692663470.042361103685848 x430.0182475651840110.0098680578351820.010998504468755 x440.0316739595948470.0191399560533100.034199147253002 x450.0328892424145790.0266598911286280.017490843064692 x460.0471522231233090.0109577705478410.038720511265244 x470.0148065848444860.0162796090621010.010675821970247 x480.0178390508496820.0045037563025100.043753271660662 x490.0120801929583490.0221950309403500.034525219645956 x500.0066990889281210.0177621603300490.025999847742666 var0.0118515830252560.0121100411615090.012206307649279

從圖3可以看出，在相同的置信水平和預(yù)期收益下，盡管改進的差分算法收斂速度相較于傳統(tǒng)差分算法慢一些，但當(dāng)?shù)欢ù螖?shù)后改進后的差分算法所對應(yīng)的VaR值明顯小于傳統(tǒng)的差分算法下的VaR值，說明改進后的差分算法對求解投資組合問題在抵抗風(fēng)險能力方面有所提高。所以可得出結(jié)論，改進的差分算法對投資組合問題的處理效果要優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)差分算法。

4 結(jié)語

本文通過對傳統(tǒng)的差分算法進行改進，將k-medoids聚類嵌入到差分算法中得到DEClu算法，并利用該算法對不允許賣空的均值-VaR模型的投資組合優(yōu)化問題進行求解，通過多組實驗分析表明，與傳統(tǒng)的差分算法相比，本文所提出的DEClu算法能有效的避免早熟收斂，跳出局部最優(yōu)解，并且魯棒性強，是一種有效的全局優(yōu)化算法。

由于時間有限，本文的研究還不夠深入，差分算法的收斂速度有待提高，模型只考慮了不允許賣空情況下的交易市場，若考慮更多實際的限制條件，則尚待完善。

圖2 不同置信水平下算法運行效果圖

圖3 兩種算法性能比較示意圖

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Mean-VaR Portfolio Optimization Based on DEClu Algorithm

CHEN Min, ZHAO Xin-chao

(School of Science, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876)

The investment portfolio problem is a complex nonlinear programming problem, which belongs to NP-hard problem. The traditional algorithm is difficult to solve the problem effectively. In this paper, the newly proposed cluster-based differential algorithm is used to solve the mean-VaR model, the penalty function method is used to deal with the inequality constraints in the model, and 50 stocks in Yahoo Finance are selected as the alternative stocks for empirical analysis. Numerical results show that the new algorithm of this paper has achieved good results. The results of the solution not only satisfy the objectives and constraints of the investment, but also reflect the different income and risk requirements among investors, and it has good practicality.

Cluster analysis; Difference algorithm; Portfolio; Mean-risk value (VaR)

TP315

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2018.10.017

陳敏(1992-)，女，研究生，主要研究方向：遺傳算法及其投資組合優(yōu)化；趙新超(1976-)，男，教授，主要研究方向：群體智能、運籌優(yōu)化及其相關(guān)應(yīng)用。

陳敏，趙新超. 基于DEClu算法的均值-VaR投資組合優(yōu)化[J]. 軟件，2018，39（10）：79-86