數(shù)學(xué)建模七步教學(xué)嘗試

陳鑫海

對于多數(shù)學(xué)生來說，凡涉及生活實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，不管是中考還是高考，學(xué)生的得分率都比較低。而這與學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有密切關(guān)系。所謂數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，指的是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。

以列方程解決實(shí)際問題教學(xué)為例，日常教學(xué)中，教師通常會按照審題、設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程等步驟引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題。但如何審題呢？教師通常要求學(xué)生至少讀題三遍，頗有“讀題百遍其義自見”的味道，但其實(shí)，就算學(xué)生把整個題目都背下來了，也未必有什么效果：審題審不出個子丑寅卯，接下來的設(shè)未知數(shù)、尋找題目中的等量關(guān)系便失去了依據(jù)。于是，難題還是難題：除少數(shù)思維能力較強(qiáng)的學(xué)生之外，大部分學(xué)生只能對某些比較熟悉的題型生搬硬套現(xiàn)成的解題方法。那么，究竟該如何有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)呢？筆者進(jìn)行了下面的嘗試。

問題：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地，問A、B兩地間的路程是多少？（一元一次方程章前問題）

針對以上實(shí)際問題，筆者通過分步提問，對學(xué)生進(jìn)行了問題分析、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的思維方法引領(lǐng)，收到了較好的效果。

第一步，引導(dǎo)學(xué)生通過讀題，找出問題中的量，并弄清楚它們相互間的數(shù)學(xué)關(guān)系，對問題實(shí)質(zhì)有個直觀的了解。可如此提問：以上問題中包括了哪些量？請把這些量分別列出，并說說它們之間的關(guān)系。課堂實(shí)施情況反饋：學(xué)生通過審題，對以上實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，很快找出了問題中的量（速度、時間、路程），并厘清了它們之間的關(guān)系（速度×?xí)r間=路程），對實(shí)際問題中的問題類型建立了數(shù)學(xué)直觀的認(rèn)知。

第二步，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提取問題中相關(guān)量之間的關(guān)系及關(guān)系類型，并列出初始表格，把相應(yīng)的數(shù)量及關(guān)系表格化、條理化，一目了然地呈現(xiàn)自己對問題實(shí)質(zhì)的認(rèn)識。提問如下：問題中的量（比如速度）有哪些類型，請分別列出，并嘗試制作表格。課堂情況反饋：學(xué)生很快答出分別有客車、卡車兩種類型，稍加引導(dǎo)后學(xué)生便可以自主完成表格（如圖1）的初始制作了。

第三步，引導(dǎo)學(xué)生分清已知量和未知量，加強(qiáng)對問題的整體認(rèn)知，使學(xué)生對各數(shù)量間的關(guān)系有更加清醒的認(rèn)識。提問如下：表格中共有6個量有待填寫，其中有哪些是已知量，哪些是未知量？課堂情況反饋：學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的速度是已知量，而時間與路程均是未知量。

第四步，引導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)牧孔鳛槲粗獢?shù)，并完成表格，通過實(shí)踐操作，提升學(xué)生對等量關(guān)系的認(rèn)知，進(jìn)而明確問題中的等量關(guān)系，解決一直以來不知道什么是等量關(guān)系、不知道怎樣找等量關(guān)系的疑難。提問如下：請選擇某個量設(shè)為未知數(shù)，并完成表格。課堂情況反饋：實(shí)際問題中求的是路程，因此，大部分學(xué)生直接選擇了“設(shè)A、B兩地間的路程是[x]km”，并能把其它未知量用含有未知數(shù)的式子表示出來（如圖2）。

第五步，通過自主觀察和教師適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生切實(shí)掌握找等量關(guān)系的方法——在兩組未知量中選擇一組設(shè)未知數(shù)時，相應(yīng)等量關(guān)系一般出現(xiàn)在另一組未知量的關(guān)系上，用另一組未知量的關(guān)系可順利列出方程，切實(shí)解決學(xué)生對等量關(guān)系認(rèn)知模糊的問題?？商釂柸缦拢赫埓_定問題中的等量關(guān)系，并列出方程。課堂情況反饋：通過上述問題的引導(dǎo)，學(xué)生很快就確定了問題中的等量關(guān)系“卡車所用的時間比客車所用的時間多1小時”，并據(jù)此列出方程[x60-x70=1]，發(fā)現(xiàn)了設(shè)未知數(shù)的量與作為等量關(guān)系的量之間的聯(lián)系。

第六步，拓展提升學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考和解決問題的能力，使學(xué)生熟練掌握設(shè)未知數(shù)及確定等量關(guān)系的方法。提問如下：請思考，是否還有其他設(shè)未知數(shù)及列方程的方法？課堂情況反饋：學(xué)生通過思考，回顧上述列方程的方法，很快反應(yīng)過來，可以用其它未知量作為未知數(shù)，并很快找出相應(yīng)的等量關(guān)系。如設(shè)客車所用的時間為[xh]，則卡車所用的時間為[（x+1）][h]，客車與卡車所走的路程分別為70[x]km、60[（x+1）]km，問題的等量關(guān)系對應(yīng)的是路程，據(jù)此可列方程：70[x]=60[（x+1）]。

第七步，對列方程解決實(shí)際問題的問題解決方法進(jìn)行小結(jié)，強(qiáng)化解決問題的方法步驟，并要求學(xué)生能夠?qū)Ω鞑襟E的作用加以說明，徹底解決一直困擾學(xué)生的問題，如審題到底要審什么、怎么審，具體有哪些步驟、各步驟的作用是什么，怎么設(shè)未知數(shù)，怎么找等量關(guān)系，等等。提問如下：請小結(jié)列方程解決實(shí)際問題的一般方法、步驟。課堂情況反饋：學(xué)生通過回顧列方程解決實(shí)際問題的過程，基本能自主做出總結(jié)，包括歸納出相應(yīng)的方法、步驟并說明各個步驟的作用（如圖3）。

經(jīng)過一定題量的反復(fù)訓(xùn)練以后，大部分學(xué)生對列方程解決實(shí)際問題這一類問題雖然說不上得心應(yīng)手，但基本不再感覺困惑和迷茫，能夠做到有條理地分析問題，順暢地把實(shí)際問題抽象化為數(shù)學(xué)問題，解決問題能力得到了有效的提升。筆者以為，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)所應(yīng)達(dá)成的重要學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，亦是培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力、知識運(yùn)用能力的最好途徑。

（責(zé)編 白聰敏）