高階無跡卡爾曼濾波算法在飛機定位中的應用

劉家學　林松巖

(中國民航大學航空自動化學院　天津 300300)

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高階無跡卡爾曼濾波算法在飛機定位中的應用

劉家學林松巖

(中國民航大學航空自動化學院天津 300300)

摘要無跡卡爾曼濾波算法(UKF)在飛機定位和跟蹤的過程中精度不夠，原因在于誤差變量的偏度和峰態(tài)在坐標轉換過程中對其分布影響很大。為了解決這一問題，將高階無跡卡爾曼濾波算法應用到QAR數(shù)據(jù)中。首先，根據(jù)高階UT變換，選取一組樣本點(sigma點)表征k時刻最優(yōu)估計值前四階矩的分布特征，通過傳遞得到k+1時刻一步預測值的先驗概率分布。然后以觀測數(shù)據(jù)作為量測值，帶入濾波算法得到k+1時刻飛機狀態(tài)的最優(yōu)估計值。最后根據(jù)計算機產(chǎn)生的模擬噪聲數(shù)據(jù)和真實的QAR數(shù)據(jù)實現(xiàn)飛機定位的仿真驗證。從仿真結果看，高階無跡卡爾曼濾波算法比無跡卡爾曼濾波精度更高，誤差更小，對QAR數(shù)據(jù)中其他類型的數(shù)據(jù)形式有一定的借鑒意義。

關鍵詞QAR數(shù)據(jù)高階UT變換高階無跡卡爾曼濾波

0引言

對民航客機進行精確的定位和跟蹤尤為重要，但是在以經(jīng)度、緯度和高度為參考的坐標系中無法有效表示飛機的運動過程，所以常常轉化到WGS-84坐標系中進行計算，再通過經(jīng)度和緯度表示出來。由于這一過程存在非線性變換，所以常常利用無跡卡爾曼濾波算法(UKF)來估計飛機的位置和狀態(tài)信息。和擴展卡爾曼濾波(EKF)相比，UKF能夠獲得非線性函數(shù)二階以上的精度[1,2,8]。

無跡卡爾曼濾波用于高維非線性系統(tǒng)時，可能會出現(xiàn)數(shù)值不收斂的現(xiàn)象，為了解決有限點后數(shù)值發(fā)散的問題，Arasaratnam等提出了容積卡爾曼濾波器CKF(Cubature Kalman filter)[3]。Jia等擴展了三階容積變換CT(Cubature transform)，得到了任意階精度的高階CKF[4]。高階CKF是高階UKF的一種特例。高階CKF和高階UKF的估計精度都取決于高階CT變換或高階UT變換中k階矩的精度[5]。但是當階數(shù)提高后，存在未知變量交叉耦合項，導致無法求出解析解。張勇剛等給出了一種高階無跡卡爾曼濾波器的解析解的近似解[6]。同時出于穩(wěn)定性的考慮，討論了自由參數(shù)k的取值，從理論上證明了，和無跡卡爾曼濾波器相比，高階無跡卡爾曼濾波器提高了非線性系統(tǒng)的定位和跟蹤的精度。

本文在這一結論的基礎上，將高階UKF算法應用到真實的飛機飛行數(shù)據(jù)中。分別使用計算機產(chǎn)生的模擬噪聲和真實飛機運行的QAR數(shù)據(jù)作為觀測值，利用高階UKF算法進行了飛機位置和狀態(tài)信息的仿真驗證。仿真結果標明，和UKF相比，高階UKF算法可以獲得精度更高的狀態(tài)信息。

1飛機在巡航階段的運動模型

飛機在巡航階段的運動可近似認為是沿地表平行的方向做勻速直線運動。在平流層，由風向和風速引起的速度變化很小，可看做高斯白噪聲；QAR數(shù)據(jù)以1 Hz的頻率記錄GPS采集的飛機的位置信息，位置誤差可能由衛(wèi)星或傳播路徑引起，也可以看做是高斯白噪聲。由大氣慣性基準系統(tǒng)(ADIRS)可知，飛機的高度信息基本維持不變，地速、空速等飛機狀態(tài)參數(shù)也保持近似穩(wěn)定。

以地球質心為原點，以WGS-84坐標系作為空間參考坐標系。帶噪聲的勻速直線運動模型和觀測模型如下：

(1)

(2)

2高階UKF算法

考慮如下系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程：

xk+1=fk+1|k(xk)+wkzk=hk(xk)+vk

(3)

其中，xk為系統(tǒng)的狀態(tài)估計，zk為系統(tǒng)的量測估計，f(·)為非線性狀態(tài)轉移函數(shù)，h(·)為非線性測量函數(shù)，vk為系統(tǒng)的模型噪聲，vk為系統(tǒng)的觀測噪聲，wk和vk為高斯白噪聲，且滿足：

E[wk]=0,

E[vk]=0,

Cov[wk,wj]=Qkδkj

δkj為狄拉克函數(shù)

Cov[vk,vj]=Rkδkj

Cov[wk,vj]=0對?k≠j

狀態(tài)和量測的一步預測[6]：

計算狀態(tài)向量xk-1|k-1的Sigma點及其權值：

第一類Sigma點及其權值：

(4)

第二類Sigma點及其權值：

(5)

第三類Sigma點及其權值：

(6)

其中：

通過非線性函數(shù)f(·)傳遞狀態(tài)向量xk-1的Sigma點，得到樣本點的傳遞值：

(7)

(8)

k時刻系統(tǒng)狀態(tài)方差的一步預測值Pk|k-1：

(9)

通過高階UT變換，得到三類Sigma點及其權值：

(10)

(11)

(12)

通過非線性測量函數(shù)h(·)傳遞預測狀態(tài)向量xk|k-1的Sigma點，得到變換的樣本點：

(13)

計算k時刻量測的一步預測值均值：

(14)

計算k時刻量測的一步預測誤差方差陣：

(15)

計算k時刻預測與量測的互相關協(xié)方差矩陣：

(16)

計算高階UKF增益，更新狀態(tài)向量和方差：

(17)

3仿真分析

實驗1仿真條件下基于高階UKF算法驗證

飛機的初始坐標為(114.8051°E，35.8702°N)，大氣壓高度為7190米。以速度(-55,162.1,-233.3)米/秒做勻速直線運動，同時以經(jīng)度，緯度作為觀測數(shù)據(jù)。模型噪聲即速度噪聲均值為0，標準差在三個方向都為1 m/s2，測量誤差均值為0，緯度和經(jīng)度誤差標準差都為0.1°，高度誤差標準差為10 m。

圖1、圖2表示模擬數(shù)據(jù)緯度，經(jīng)度的觀測值以及高階UKF的濾波值，從圖中可以看出，雖然觀測值偏離零軸即理想值較大，但是經(jīng)過濾波后的估計值幾乎和理想值重合。

采用如下定義的誤差性能指標：

(18)

圖1　緯度量測值和四階UKF估計值的誤差分布

圖2　經(jīng)度量測值和四階UKF估計值的誤差分布

在本次實驗中，以四階UKF濾波值作為基準，仿真100次，比較UKF和高階UKF的性能。從圖3可以看出，UKF的濾波誤差都高于高階UKF的濾波誤差，說明高階UKF算法總體性能要好于UKF。

圖3　兩種濾波算法的性能比較

實驗2基于QAR數(shù)據(jù)的高階UKF濾波算法驗證

QAR數(shù)據(jù)包含了大量飛機飛行過程中的運動參數(shù)，因此可以以QAR數(shù)據(jù)作為測量數(shù)據(jù)。飛機的運動模型和測量模型如式(1)、式(2)所示，觀測數(shù)據(jù)來自2014年6月10日CES5658次航班QAR數(shù)據(jù)，模型的理想值來自本次航班導航臺的導航信息。

圖4、圖5表示飛機真實的緯度和經(jīng)度的測量值和高階UKF濾波值。從圖中可以看出，GPS接收到的數(shù)據(jù)并不僅僅受高斯噪聲影響，高階UKF濾波值跟隨了測量值的趨勢，同時更平滑。但是和模擬數(shù)據(jù)相比起伏很大，這表明飛機的運動軌跡和理想的勻速直線運動差距較大。

圖4　QAR數(shù)據(jù)緯度量測值和估計值的誤差分布

圖5　QAR數(shù)據(jù)經(jīng)度量測值和估計值的誤差分布

圖6表示QAR數(shù)據(jù)中UKF和高階UKF的性能表現(xiàn)，使用式(18)來判斷性能。在圖中可以看出，帶入真實的QAR數(shù)據(jù)后，高階UKF的精確度依然高于UKF，表明高階UKF確實優(yōu)于UKF。

圖6　QAR數(shù)據(jù)中兩種濾波算法的性能比較

4結語

仿真結果表明，本文所討論的高階UKF算法，在采樣過程中提取了前一時刻估計值的前四階矩的分布特性。與常規(guī)高階UKF相比，提高了估計值的精確度，因此在雷達和精確導航與制導方面應用前景廣泛。但是與此同時增大了計算量。如果在線性條件下，還可以使用擴維或部分擴維的方法[7,9,10]，進一步簡化計算。

參考文獻

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APPLICATION OF HIGH-ORDER UNSCENTED KALMAN FILTER IN AIRPLANE LOCALISATION

Liu JiaxueLin Songyan

(SchoolofAeronauticalAutomation,CivilAviationUniversityofChina,Tianjin300300,China)

AbstractThe cause of inadequate accuracy of unscented Kalman filter (UKF) in localising and tracing an airplane is due to the very big influence of skewness and kurtosis of error variables on the distribution of coordinate during its transformation process. In order to solve the problem, we applied high-order UKF algorithm to quick access recorder (QAR) data. First, according to high-order unscented transformation (UT) we chose a set of sample points (sigma points) to characterise the distribution feature of the first four moments of optimal estimating value at time k, and obtained the priori probability distribution of one-step prediction value at time k+1 through transferring. Then we took the observation data as the measured value, and brought in the filtering algorithm to get the optimal estimation value of airplane state at time k+1. At last, according to computer-generated simulative noise data and actual QAR data we achieved the simulated validation of airplane localisation. From the simulation result it is aware that the high-order UKF algorithm has higher accuracy and less error than UKF, this has certain reference significance to the data form of other types in QAR data.

KeywordsQAR dataHigh-order unscented transformationHigh-order UKF

收稿日期：2014-10-23。民航局科技基金項目(MHRD201121)；中央高校基本科研業(yè)務費項目(ZXH2012D015,ZXH2012G004)。劉家學，教授，主研領域：信號處理，飛控算法理論研究。林松巖，碩士生。

中圖分類號TP391

文獻標識碼A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.05.064