為有源頭活水來—2018年高考數(shù)學(xué)全國III卷理科第16題探究

湖北省監(jiān)利縣實(shí)驗(yàn)高中(433300) 萬平方

題目(2018年全國III卷理科第16題)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若∠AMB=90°,則k=____.

此題取材平實(shí),表現(xiàn)樸實(shí),題干清晰,設(shè)問簡潔,形式常見,但若對此題進(jìn)行深入研究,細(xì)致品析,則會感覺它猶如一杯陳年老酒,淺嘗平淡,深酌而顯深厚蘊(yùn)藉,余味綿長.

1.解法探究

本題有3個條件：

I.A,B在拋物線y2=4x上;

II.AB過焦點(diǎn)F(1,0);

III.∠AMB=90°.

條件I可有3種表現(xiàn)形式：①設(shè)四個參數(shù)A(x1,y1),B(x2,y2);②設(shè)兩個參數(shù)利用拋物線的定義.

條件II可有4種表現(xiàn)形式：①AB在過焦點(diǎn)F的直線x=my+1上;②A,F,B三點(diǎn)共線;③利用拋物線的定義;④∠AFx=α.

結(jié)論可有3種表現(xiàn)形式：①直線形式x=my+1(或y=k(x-1));②斜率公式;③定義式k=tanα.

1.1 條件I采用設(shè)四個參數(shù)、條件II用AB在過焦點(diǎn)F的直線x=my+1上.

因?yàn)橹本€AB經(jīng)過焦點(diǎn)F(1,0),且,故設(shè)其直線x=my+1,設(shè)AB與拋物線交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立得.由根與系數(shù)的關(guān)系有y1+y2=4m,y1y2=-4.則

解法1因?yàn)椤螦MB=90°,所以.則,所以.結(jié)論用直線形式,有.結(jié)論用斜率公式,有.

由此可知,直線方程設(shè)為x=my+1不是無意之舉.如果條件III用斜率形式kMA·kMB=-1并結(jié)合(?)可得：

解法2因?yàn)椤螦MB=90°,所以kMA·kMB=-1.,即(y1-1)(y2-1)=0,下面同解法1.

評析解法1、2的核心思想是利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換,是解析幾何解題的一種常規(guī)方法.

1.2 條件I采用設(shè)兩個參數(shù)條件II采用A,F,B三點(diǎn)共線

解法3因?yàn)椤螦MB=90°,所以,則利用(??)有,所以a+b=1,從而k=2.

條件III用斜率形式kMA·kMB=-1與解法3類似,此處從略.利用條件III的幾何意義1—兩個直角三角形相似并利用 (??)式有：

圖1

解法4如圖1,設(shè)A,B兩點(diǎn)在準(zhǔn)線x=-1上的射影分別為C,D,因?yàn)椤螦MB=90°,所以Rt△ACM～Rt△MDB,則,而AC=AF=a2+1,BD=BF=b2+1,CM=2a-1,MD=1-2b,故,化簡得,2(a+b)2-2(a+b)+1=0,所以a+b=1,從而k=2.

利用條件III的幾何意義2—勾股定理并且利用(??)式,便有：

解法5因?yàn)椤螦MB=90°,所以|AB|2=|AM|2+|MB|2,則(a2+1)2+(2a-1)2+(b2+1)2+(2b-1)2=(a2-b2)2+4(a-b)2,化簡得：(a+b)2-2(a+b)+1=0,所以a+b=1,從而k=2.

利用條件III的幾何意義3—M在以為AB直徑的圓上,并且利用 (??)式,便有：

解法6因?yàn)椤螦MB=90°,所以M在以為AB直徑的圓上,而為AB直徑的圓的方程為：(x-a2)(x-b2)+(y-2a)(y-2b)=0,則(-1-a2)(-1-b2)+(1-2a)(1-2b)=0,化簡得：(a+b)2-2(a+b)+1=0,所以a+b=1,從而k=2.

評析從解法3至6可以清楚看到,條件I與II組合得到AB兩點(diǎn)坐標(biāo)的一個關(guān)系式ab=-1,條件III與II組合得到AB兩點(diǎn)坐標(biāo)的另一個關(guān)系式a+b=1,再用結(jié)論的斜率公式表現(xiàn)形式得到答案.整個解答過程就是尋找兩個參數(shù)的積與和.從解答過程中可以看到AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1與M的縱坐標(biāo)相同.則可繼續(xù)尋找新的組合.

1.3 條件I、II都采用用定義.

利用條件III的幾何意義4—直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,便有：

圖2

解法7如圖2,設(shè)A,B兩點(diǎn)在準(zhǔn)線x=-1上的射影分別為C,D,E為AB的中點(diǎn).因?yàn)椤螦MB=90°,則 2ME=AB=AF+BF=AC+BD.由梯形中位線定理可知,ME為梯形ABDC的中位線,則M,E的縱坐標(biāo)都為A,B縱坐標(biāo)和的一半,即a+b=1.從而k=2.

利用條件III的幾何意義5—直角三角形全等,便有：

解法8如圖2,由解法7知,ME為梯形ABDC的中位線,從而ME=AE,∠AME=∠EAM,又∠AME=∠CAM,所以∠EAM=∠CAM,所以△ACM～=△AFM,即MF⊥AB.而,從而k=2.

評析解法8可以看到平面幾何在解析幾何中的威力,直觀想象核心素養(yǎng)體現(xiàn)得淋漓盡致,思路的得到緣于前面的鋪墊,緣于拋物線定義的運(yùn)用與平面幾何性質(zhì)的挖掘.

1.4 條件I采用用定義、條件II采用∠AFx=α.

解法9設(shè)∠AFx=α,則|FA|=|FA|cosα+p,所以.同理,把α換成π+α有：.

條件III采用向量形式與斜率形式都可得到：sinα=2cosα(過程略),從而k=tanα=2(結(jié)論的第3種表現(xiàn)形式).

說明解法9沒有展開的原因是后面只是應(yīng)用條件III的幾種表現(xiàn)形式求值.

至此,我們可以看到,從審視題目條件入手,厘清條件的表現(xiàn)形式,再追蹤到題目結(jié)論,明晰結(jié)論的呈現(xiàn)方式,然后將兩者組合,進(jìn)行對照分析,就能找到解決問題的方法.這樣的方法不是“從帽子里變出一只兔子”,也不是解法的瑣碎堆砌,這樣的解法探究更不是無源之水,而是從題目出發(fā)的追本溯源,題目的條件和結(jié)論提供了解題思路的活水源頭,對兩者的表現(xiàn)形式進(jìn)行多角度的有效性探究分析,可以完善知識系統(tǒng)的建構(gòu),有利于思維的訓(xùn)練.這樣的解法探究著眼于知識要點(diǎn),注重知識聯(lián)系,從而拓展知識廣度;這樣的解法探究運(yùn)用思想方法,拓展解題思路,凸顯數(shù)學(xué)高度.

2.背景探究

2013年大綱卷理科第11題與本題幾乎一模一樣,可以說本題是13年題的重現(xiàn).

題目(2013年大綱卷理科第11題)已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M(-2,2),過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若,則k=()

本題有著豐富的高等幾何背景,極點(diǎn)極線是高等幾何的重要概念,本題中,點(diǎn)M(極點(diǎn))對應(yīng)的極線正好是AB,依據(jù)高等幾何的結(jié)論：若拋物線y2=2px(p＞0),則點(diǎn)P(x0,y0)對應(yīng)的極線方程為：y0y=p(x0+x).因此,AB的直線方程為1·y=2(-1+x),即y=2x-2,故k=2.此題可以“秒殺”!

從數(shù)學(xué)史的角度看,本題中的△MAB是阿基米德三角形.拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形稱為阿基米德三角形.

有了這些背景認(rèn)識,利用GeoGebra動態(tài)數(shù)學(xué)軟件可以探究出阿基米德三角形的許多有趣性質(zhì).

圖3

如圖3,設(shè)焦點(diǎn)為F的拋物線y2=2px(p＞0)的弦為AB,△MAB為其阿基米德三角形.

由高等幾何的極點(diǎn)極線知識有：

性質(zhì)1弦AB繞著定點(diǎn)P(m,0)轉(zhuǎn)動,則其所對頂點(diǎn)M落在直線x=-m上,特別地,當(dāng)時,定點(diǎn)為焦點(diǎn),M點(diǎn)落在準(zhǔn)線上.

由解法7推廣到一般有：

性質(zhì)2若AB的中點(diǎn)為E,則ME平行于拋物線的對稱軸.

探尋ME的中點(diǎn),發(fā)現(xiàn)ME的中點(diǎn)在拋物線上.

性質(zhì)3若AB的中點(diǎn)為E,則ME的中點(diǎn)H在拋物線上.

由解法8推廣到一般有：

性質(zhì)4直線MP、AB斜率之積為定值,且當(dāng)P為焦點(diǎn)時,斜率之積為-1,即MP⊥AB.

本題條件為∠AMB=90°,推廣到一般有：

性質(zhì)5直線MA、MB斜率之積為定值,且當(dāng)P為焦點(diǎn)時斜率之積為-1,即MA⊥MB.

證明中發(fā)現(xiàn)：

性質(zhì)6直線MP、AB斜率之積=直線MA、MB斜率之積

圖2中,∠MFA=∠MFB,|MF|2=|AF|·|BF|推廣到一般有：

性質(zhì)7∠MFA=∠MFB.

性質(zhì)8|MF|2=|AF|·|BF|.

研究直線MA、MP、MB斜率,發(fā)現(xiàn)：

性質(zhì)9直線MA、MP、MB斜率成等差數(shù)列.

性質(zhì)1–9的簡證因?yàn)橹本€AB經(jīng)過定點(diǎn)P(m,0),且斜率不為0,故設(shè)其直線x=ty+m,設(shè)AB與拋物線交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得y2-2pty-2pm=0.由根與系數(shù)的關(guān)系有y1+y2=2pt,y1y2=-2pm.則