題中有真味 乃需細(xì)品評(píng)*—以一道解析幾何壓軸題的評(píng)析為例

江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)(215004) 王 耀

在高考解析幾何復(fù)習(xí)時(shí),筆者帶領(lǐng)學(xué)生共同分析了一道題,后查到這是2017年3月份蘇錫常鎮(zhèn)四市高三二模的試題.這道橢圓壓軸題構(gòu)思精巧,命制新穎,解題入口廣,可以很好地考查學(xué)生解題的基本素養(yǎng);作為教師,筆者發(fā)現(xiàn)這道試題的結(jié)論可以從特殊到一般進(jìn)行本質(zhì)研究,也可以對(duì)解法進(jìn)行推廣應(yīng)用,對(duì)幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)運(yùn)用的能力很有價(jià)值.由此,筆者將自己的一些思考整理成文,與讀者交流.

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

圖1

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn).若直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn)P,且滿足.求證：λ+μ為定值.

2.解法探究

這類以橢圓與直線位置關(guān)系為背景的試題,廣大學(xué)生習(xí)慣于選擇通性通法—聯(lián)立方程組去解決,解法自然,過(guò)程如下：

2.1 通法展示

2.2 結(jié)論推廣及多解展示

評(píng)注3與證法2相比較還能發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過(guò)橢圓焦點(diǎn)時(shí),選擇參數(shù)方程和統(tǒng)一定義都能得到焦半徑的大小,二者實(shí)質(zhì)是一致的.若直線不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí),通過(guò)證法1的思路,還可以得到如下更加一般性的結(jié)論：

結(jié)論2已知橢圓,直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn).若直線l經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)F(t,0),t∈(-a,a),交y軸于點(diǎn)P,且滿足,則λ+μ為定值特別地,當(dāng)t=±c時(shí),.

3.解法推廣及結(jié)論展示

下面應(yīng)用證法1去解決一類橢圓中系數(shù)和相關(guān)問(wèn)題.

圖2

結(jié)論3橢圓b＞0)與直線y=kx交橢圓于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F(t,0)(-a＜t＜a)的直線AF,BF分別交橢圓于另一點(diǎn)C,D,若,則λ+μ為定值;特別地當(dāng)t=±c時(shí),λ+μ為定值.

證明設(shè),則,,代入橢圓方程后化簡(jiǎn)得,即.又,那么.同理,將代入后化簡(jiǎn)可知.所以,.

評(píng)注4若點(diǎn)F(t,0)在橢圓外時(shí),同樣有相似的結(jié)論：

圖3

結(jié)論4橢圓1(a＞b＞0)與直線y=kx交橢圓于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F(t,0)(t＜-a或t＞a)的直線AF,BF分別交橢圓于另一點(diǎn)C,D,若,則λ+μ為定值.

結(jié)論3和4中分析的是橢圓上兩個(gè)中心對(duì)稱的點(diǎn)和x軸上一點(diǎn)連線的系數(shù)比例之和問(wèn)題;當(dāng)然,也有一類問(wèn)題是關(guān)于橢圓上任一點(diǎn)與x軸兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)之間的比例系數(shù)的關(guān)系,即如下兩個(gè)結(jié)論：

圖4

圖5

圖6

4.題后啟示

(1)試題評(píng)講講什么—講思路談應(yīng)用

筆者根據(jù)自己的教學(xué)風(fēng)格,結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)積累,帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解題思維研究,無(wú)疑也是一種新的教學(xué)嘗試.

很多學(xué)生解題習(xí)慣于“點(diǎn)到即止”,題目做完很少去深入思考和體會(huì)試題考查的意圖和內(nèi)涵.由此可知,面對(duì)問(wèn)題,教師能夠認(rèn)真思考問(wèn)題所考查的重難點(diǎn),在關(guān)注學(xué)生思維的基礎(chǔ)上剖析解題思維的切入點(diǎn),把握解題的一般性思路,并探索發(fā)散性思維,追求簡(jiǎn)捷而高效的解題方法,并能提供一系列相關(guān)問(wèn)題提供學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)用的能力,從而可以有針對(duì)性地設(shè)計(jì)講解內(nèi)容,提高講解實(shí)效.

(2)試題講評(píng)評(píng)什么—評(píng)聯(lián)系探本原

試題講解目標(biāo)在于讓學(xué)生理解和掌握問(wèn)題解決的方法,而通過(guò)有效地試題評(píng)析,可以梳理和提煉數(shù)學(xué)思想方法,才能在試卷講評(píng)課上,使學(xué)生在知識(shí)、方法、能力等方面得到全面的提高和升華,因此,有效地發(fā)揮試題“評(píng)”的功能.

講評(píng)之前,教師要做的重要工作就是深入了解學(xué)生的思維過(guò)程,并在此基礎(chǔ)上充分挖掘試題中的創(chuàng)新生長(zhǎng)點(diǎn),例如文中評(píng)注1去探尋x1,x2之間的相互聯(lián)系,評(píng)注2中利用方程的觀點(diǎn)去分析問(wèn)題,這些內(nèi)容在有些試題中常被考查,是學(xué)生思維的障礙,值得與學(xué)生進(jìn)行深入探討.也通過(guò)歸類設(shè)計(jì)、變式開發(fā)等手段完善講評(píng)策略,探究解法聯(lián)系,還原問(wèn)題本原,從而引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)地矯正思維問(wèn)題,深人體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,拓寬思維的廣度,發(fā)掘思維的深度,不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).