一道高考題的探究與思考—以2018年高考全國I卷理科第21題為例

廣東省東莞市第八高級中學(523620) 林茂發(fā)

經典的函數導數試題,總是給人以啟迪,或給人以思考,散發(fā)著其獨特的魅力,研究高考題自然就成為我們教學研究的一個常規(guī)工作!縱觀2018年高考新課標I卷,試卷結構與去年一致,整體難度有所降低,函數導數部分約占14.67%.近幾年的全國卷中與導數相關的解答題得分率并不高,筆者以2018年高考全國I卷理科數學第21題為例(下面簡稱“試題”),通過對本題的解析,探討函數導數蘊含的教育價值,談談導數部分的復習思路,期望能對2019年高考復習有所幫助.

1.“試題”再現

例1(2018年高考數學全國卷理科第21題)已知函數.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明：.

導數在高考中有著重要的作用,它信息量大、綜合能力強、靈活度高,能比較全面的考查學生的核心素養(yǎng).本題以函數為背景,主要考查了學生的數學運算、數學抽象、邏輯推理等能力,體現了分類討論、數形結合、函數與方程、轉化等思想方法.

2.“試題”的探究

2.1 分類討論和數形結合的數學思想方法

本題是對數函數與反比例函數的組合,考查了帶參數的函數單調性判斷、函數的極值和零點、不等式證明構造等問題.直接求導解決第(1)問,由于導函數中含有參數a,可能要進行分類討論.這是在解答前的思考,解題過程中還會遇到新的困難,需要較強的分析能力和解決問題的能力.

解(I)f(x)的定義域為(0,+∞),且.對于二元一次方程,Δ=a2-4.

①當Δ＜0時,即-2＜a＜2時,-x2+ax-1=0無解,有x∈(0,+∞)時,f′(x)＜0,則f(x)在(0,+∞)上單調遞減.

②當Δ=0時,即a=2或-2時,有x∈(0,+∞)時,f′(x)≤0,則f(x)在(0,+∞)在上單調遞減.

③當Δ＞0時,即a＜-2或a＞2時√,-x2+ax-1=0有解,令,則,.

(i)當a＞2時,x1＞0,x2＞0,則f(x)在上單調遞減,在上單調遞增;

(ii)當a＜-2時,f(x)在(0,+∞)上單調遞減.

綜上所述,當a≤2時,f(x)在(0,+∞)上單調遞減.當a＞2時,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增.

上述用到了分類討論和數形結合思想,導數是二次函數這類問題的突破口是：二次函數開口方向→判別式Δ的情況→兩個極值點的大小→極值點與定義域的關系,從而化繁為簡;分類討論是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數學思想,這種思想不僅對發(fā)展學生的思維有著重要的幫助.,也體現了學生邏輯推理、數據分析等數學核心素養(yǎng).

數形結合即數形滲透,兩者相互推進,層層深入,這樣就能使復雜問題簡單化,抽象問題直觀化,是中學數學中常見的解題思想和方法,經常應用在研究函數、解析幾何等問題中.在應用數形結合思想方法時往往體現了數學模型建構、直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養(yǎng).

2.2 轉化與化歸的數學思想方法

轉化與化歸的思想就是將未知解法或難以解決的問題,通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程,選擇恰當的方法進行變換,化歸為在已知范圍內已經解決或容易解決的問題的數學思想.本題第(2)問考查不等式的證明,考生在讀懂題、審準題的基礎上,構造新函數證明不等式是本題的難點,本題可以將結論進行等價轉化,結合第(1)問的結論,利用函數的單調性加以證明,會大大降低運算量.

3.近四年導數試題特點

導數是一種特殊的函數,一直高考的熱點和重點.它已經成為分析和解決問題不可或缺的工具,它有助于學生更好的掌握函數思想方法.筆者深入研究近四年高考數學全國I卷理科數學試題,發(fā)現考查的知識點和數學思想方法有很多相似之處,見表1和表2.

表1

表2

通過上表可知,這幾年試題重點考查函數單調性、極值最值問題和函數零點等問題,試題難而不偏,新而不怪.試題中應用了分類討論、數形結合、函數方程和轉化與化歸等數學思想方法,考查學生運用知識和方法的能力,邏輯推理能力及分析和解決問題的能力等.全國卷試題符合《考試說明》的“三基”考查,即突出對數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查,具備高信度、效度,必要的區(qū)分度和適當的難度等特點.

4.對函數與導數復習備課的啟示

從近四年的全國I卷數學導數試題來看,試題有穩(wěn)中求變,變中求穩(wěn).試題的特點是重視雙基,整合性、應用性、文化性和創(chuàng)新性.試題加大了以函數為載體的多種方法、多種能力(甚至包括閱讀能力、理解能力、表述能力、信息處理能力)的綜合程度.這類試題或者是函數與其他知識的糅合,或者是多種數學思想方法的滲透,每道考題都具有鮮明的特色,這也給2019年高考理科數學復習備考有所啟示.

4.1 重視教材,回歸課本

教材是命題的依據,很多題目解題的切入點都是書上的基礎知識.要學會總結,學會運用知識的交匯.對于函數與導數,全國卷往往以函數概念、定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性、極值、最值、函數的零點等基本知識為載體,考查學生多種數學的能力.這啟發(fā)我們高考復習時要注重研究課標與考綱、鉆研教材,深刻感受概念、方法的形成過程,深入挖掘函數與導數相關概念的本質,打好解決相應數學問題的知識與方法基礎.

例2(2013年高考廣東文科卷第21題)設函數f(x)=x3-kx2+x(k∈R).

(I)當k=1時,求函數f(x)的單調區(qū)間;

(II)當k＜0時,求函數f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

教材原型(人教A版高中數學教材選修2-2第26頁練習1(4))判斷函數f(x)=x3-x2-x的單調性,并求出單調區(qū)間.

演變過程例2是上述教材原型題的改編題,將二次項系數-1改為參變量-k,一次項系數-1改為+1.例1的第(I)問實質上就是教材習題中的求函數的單調區(qū)間,第(II)問是在第(I)問的基礎上增加對參數的討論,求三次函數在給定區(qū)間上的最值問題,需要我們熟練掌握含參數討論求最值問題.從以上的分析中我們可以看出,教材在高考復習中占據著不可替代的地位.教材的例題和習題蘊含著豐富的知識點、數學思想方法和解題技巧,我們若能對一些典型的例題、習題進行認真的深究,歷年的各地高考試題很多都源于教材.因此,在高三復習中應以教材為根本,重視教材中例題、習題蘊含的基本方法和基本技巧,并適當加以延伸、拓展,不要讓考生留有任何知識漏點.

4.2 強調能力立意,注重通性通法

《考試大綱》提出對數學能力的考查,強調“以能力立意”,這就是以數學知識為載體,從問題入手,把握學科的整體意義,用統一的數學觀點組織材料.數學學科高考以數學基礎知識、基本能力、基本思想方法為考查重點,注重對數學通性通法的考查,以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中去的能力,從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能.

近幾年高考數學對導數的要求：“重點考查利用導數的方法研究函數單調性、極大(小)值、最大(小)值,研究方程和不等式.”在導數問題的解決中,邏輯推理能力和數學運算能力貫穿始終.

函數單調性與極值最值問題,通性通法就是求導,通過導數圖像從而確定函數的圖像,根據邏輯推理確定函數的單調區(qū)間和極值最值;含參數的取值范圍問題,其通性通法就是直接求解或分離參數.當參數對運算沒有造成影響時可以直接求解.

如 2016全國 I卷理數第 21題,已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點,求a的取值范圍.本題直接求導后f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).直接分類討論a=0和a＞0即可;但當參數在式子中多次出現阻礙了運算的正常進行時,便要分離參數了,例如2017全國I卷理數21題,已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.第一種方法是分離參數,構造不含參數的函數,研究其單調性、極值、最值,判斷y=a與其交點的個數,從而求出a的取值范圍;第二種方法是直接對含參函數進行研究,研究其單調性、極值、最值,注意點是若f(x)有2個零點,且函數先減后增,則只需其最小值小于0,且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點.

要關注考試大綱,注重在復習備課中總結規(guī)律,提煉每一類題型的通性通法.比如利用導數證明不等式恒成立問題時,已知x∈(a,b),求證：u(x)＞v(x)破解此題的關鍵：一是“構造函數”,通過觀察所給的導數等式的特點,聯想到導數的乘法或除法的法則,構造新函數;二是“用好性質”,利用導數法判斷所構造函數的單調性,即可利用其比較函數值的大小.2018全國I卷理數21題第(2)問用到的就是這個通性通法,因此強調學生數學能力的培養(yǎng)和主要通性通法的總結尤為重要.

4.3 注重數學思想,培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)

數學思想方法是處理教學問題的指導思想和基本策略,是數學的靈魂,蘊含在數學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的全過程.2018年1月,教育部發(fā)布《普通高中課程方案和各科課程標準(2018年版)》,此次課程標準的修訂力度較大,并首次提出凝練“學科核心素養(yǎng)”.要求考生具備較高的數學建模、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養(yǎng),深入考查的數學思想方法包括函數與方程、數形結合、分類討論、化歸與轉化等數學思想,近幾年高考數學命題很好的詮釋了這一要求.例舉如下：

2.(2016全國 I卷理數 21題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點,求a的取值范圍;

3.(2017全國 I卷理數 21題)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調性;

4.(2018全國 I卷理數 21題)已知函數f(x)=討論f(x)的單調性;

以上四年的高考題都含有參數a,需要進行分類討論.分類討論不僅是高中重要的數學思想,也是一種解題策略,當問題所給的對象不能進行統一研究時,就需要對研究對象按照某個標準分類,然后對每一類分別進行研究,化整為零,各個擊破.

當我們遇到難以解決的問題,可以利用轉化和化歸的思想.通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程,選擇恰當的方法進行變換,化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的數學思想.如本文例1的第(2)問,可以把f(x)有兩個極值點x1,x2,轉化為-x2+ax-1=0在(0,+∞)上有兩個零點x1,x2.然后將結論進行等價轉化,等價于,構造新函數在結合第(1)問的結論,g(x)在(1,+∞)單調遞減,從而g(x)＜g(1)=0,所以,即.

本題在講解過程中,可以讓學生體會“以形助數,以數助形”的數形結合思想,根據參數a的不同取值,以圖像為依托,由圖形位置確定分類標準,觸及問題的本質,達到優(yōu)化解題的目的.

新高考數學學科提出“以能力立意命題”,正是為了更好地考查數學思想,促進考生數學理性思維的發(fā)展.知識的記憶是暫時的,但數學思想方法的掌握是長遠的,單純的解題使學生受益一時,思想方法則將使學生受益終生.高考備考是一個系統工程,每一道高考題都凝聚了命題者的智慧和心血,我們要研究解題過程的思維方法,注意考查不同思維方法的試題的協調和匹配,使考生的數學理性思維能力得到較全面的考查,在科學備考中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).