題海無邊 “回頭”是岸—2018年高考全國II卷理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題分析與備考建議

廣東省廣州市第四中學(xué)(510170) 左巍波 劉運科

目前,高考經(jīng)常以函數(shù)導(dǎo)數(shù)題作為壓軸題.導(dǎo)數(shù)壓軸題在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,注重對能力的考查,注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查,具有綜合性強,思維量大,方法繁多,技巧性強等特點.本文對2018年高考全國II卷理科數(shù)學(xué)第21題進行了分析,并給出了導(dǎo)數(shù)壓軸題的備考建議,希望能高考的教學(xué)備考起到拋磚引玉的作用.

一.試題分析

高考真題(2018年高考全國II卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1,證明：當(dāng)x≥0時,f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點,求a.

第(1)問證法1當(dāng)a=1時,f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0.設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1,則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.當(dāng)x/=1時,g′(x)＜0,所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減(如圖1).而g(0)=0,故當(dāng)x≥0時,g(x)≤0,即f(x)≥1.

圖1

圖2

第(1)問證法2當(dāng)a=1時,f(x)≥1等價于ex-x2-1 ≥ 0.設(shè)函數(shù)g(x)=ex-x2-1,則g′(x)=ex-2x,g′′(x)=ex-2.

x (-∞,ln2)ln2(ln2,+∞)g′′(x)-0+g′(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以,g′(x) ≥g′(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2＞0,g(x)在上單調(diào)遞增(如圖2),故當(dāng)x≥0時,g(x)≥g(0)=e0-02-1=0,即f(x)≥ 1.

點評利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見方法是：構(gòu)造函數(shù)g(x).一般有兩個步驟.第一步是構(gòu)造,把待證明的不等式等價變形為g(x)≥0(或g(x)≤0);第二步是證明,利用導(dǎo)數(shù)求g(x)的單調(diào)性,證明g(x)min≥0(或g(x)max≤ 0).待證明的不等式有多種等價變形形式,導(dǎo)致證明方法有多種.

證法2是構(gòu)造直接作差函數(shù)g(x),證法1是作差之后再同除以ex構(gòu)造函數(shù)g(x),兩種方法各有優(yōu)劣.從構(gòu)造的過程來看,證法1的構(gòu)造過程比較復(fù)雜,證法2直接作差,構(gòu)造方法更加自然;從構(gòu)造之后的證明過程來看,證法1涉及到除法求導(dǎo)公式、判斷導(dǎo)數(shù)值恒非正,而證法2需要求二階導(dǎo)、判斷導(dǎo)數(shù)值恒為正,證法2的難度比證法1稍大.

第(2)問解法1設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)只有一個零點.

(i)當(dāng)a≤0時,h(x)＞0,h(x)沒有零點;

(ii)當(dāng)a＞0時,h′(x)=ax(x-2)e-x.當(dāng)x∈(0,2)時,h′(x)＜0;當(dāng)x∈(2,+∞)時,h′(x)＞0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.故是h(x)在(0,+∞)的最小值.

①若h(2)＞0,即,h(x)在(0,+∞)沒有零點;

②若h(2)=0,即,h(x)在(0,+∞)只有一個零點;

③若h(2)＜0,即,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一個零點,由(1)知,當(dāng)x＞0時,ex＞x2,所以.故h(x)在(2,4a)有一個零點,因此h(x)在(0,+∞)有兩個零點.綜上,f(x)在(0,+∞)只有一個零點時,(如圖3).

圖3

圖4

圖5

第(2)問解法1(別解)

①②同解法1.③若h(2)＜0,即,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一個零點,由洛必達法則可知[1],當(dāng)x→+∞時,h(x)=1-ax2e-x→1,所以h(x)＞0.故h(x)在(2,+∞)有一個零點,因此h(x)在(0,+∞)有兩個零點,不合題意.(余下同解法1)

第(2)問解法2f(x)在(0,+∞)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=0在(0,+∞)只有一個解,即只有一個解,即直線y=a與曲線在(0,+∞)只有一個交點.,

x (0,2)2(2,+∞)h′(x)-0+h(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

第(2)問解法3f(x)在(0,+∞)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=0在(0,+∞)只有一個解,即只有一個解,即直線y=ax與曲線在(0,+∞)只有一個交點.,

x＞0時,h′′(x)＞0恒成立,在 (0,+∞)上是凸函數(shù).考慮過原點O(0,0)的直線y=ax與曲線相切于點.切線斜率k=,另一方面,切線斜率由得.從而,在(0,+∞)只有一個零點時,(如圖5).

點評函數(shù)的零點問題,一般有兩種轉(zhuǎn)化思路：一種是從代數(shù)角度,轉(zhuǎn)化為解方程問題;一種是數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸的交點(或兩個函數(shù)的交點)問題.本題采用數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化思路.本題的條件有多種等價轉(zhuǎn)化形式,導(dǎo)致解題方法有多種.

解法2將其轉(zhuǎn)化為直線y=a與曲線在(0,+∞)只有一個交點,用“分離變量”的方法求解.分離變量法是處理含參函數(shù)問題的一種常見的方法.用分離變量法的難點在于：要說明在x→0+、x→+∞時的極限;h(x)在x→0+時的極限容易說明,在x→+∞時的極限需要用到洛必達法則.

解法3將其轉(zhuǎn)化為直線y=ax與曲線在(0,+∞)只有一個交點,用“切線法”求解.切線法也是處理含參函數(shù)問題的一種常見的方法[2].切線法的解題原理是凸函數(shù)的幾何性質(zhì)：凸函數(shù)的圖像在任一點的切線的上方.用切線法的難點在于：需要額外學(xué)習(xí)凸函數(shù)的相關(guān)知識.

二.備考建議

《2018年高考理科數(shù)學(xué)考試大綱》指出,數(shù)學(xué)的命題“在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查,注重對數(shù)學(xué)能力的考查”,“同時兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性”[3].本題很好地體現(xiàn)了考試大綱的要求,主要考查的知識點有：函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值、不等式恒成立問題、函數(shù)的零點問題等.本題考查了推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力,涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.

每年的高考評卷結(jié)果顯示,導(dǎo)數(shù)壓軸題的平均分極低,大多數(shù)考生基礎(chǔ)得分得不到保障,很多考生得0分;能拿到6分以上的考生少之又少,得滿分的考生更是鳳毛麟角.而在實際的備考中,大多數(shù)考生花費了大量時間來進行訓(xùn)練,為什么連基礎(chǔ)的得分都得不到保障呢?導(dǎo)數(shù)壓軸題的平均分低,一方面是因為考試時間緊張,考生缺乏足夠的時間來做壓軸題;另一方面也反映出導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)備考有待進一步優(yōu)化.如何優(yōu)化函數(shù)導(dǎo)數(shù)的備考呢?關(guān)鍵是要跳出題海,科學(xué)備考,題海無邊,“回頭”是岸.下面提出4點備考建議,供大家參考.

1.研究高考試題,結(jié)合考生實情,明確備考方向

要重視對高考真題的研究,結(jié)合考生的實際能力水平,確定備考的目標(biāo)和方向.要研究近幾年高考真題,分析試題的異同,尋找一般規(guī)律,明確考試的內(nèi)容.要分析考生的實際能力水平,確定目標(biāo),明確方向,既不能好高騖遠、眼高手低,也不要固步自封、裹足不前.

2.重視基礎(chǔ)知識,落實基本方法,確?；A(chǔ)得分

要重視函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識、基本方法,通過基礎(chǔ)訓(xùn)練,來落實基礎(chǔ)知識、基本方法.不要急于求成,一開始暫時不訓(xùn)練較難的方法,而是專注于訓(xùn)練基礎(chǔ)知識、基本方法.可以把模擬題、歷年高考真題第一問挑選出來,按基礎(chǔ)知識點或基本方法進行分類,再編排成基礎(chǔ)訓(xùn)練小專題,專門訓(xùn)練函數(shù)導(dǎo)數(shù)的第一問.根據(jù)對歷年高考題的研究,要重視下列幾個基礎(chǔ)知識、基本方法的訓(xùn)練：

(1)求導(dǎo)：兩個函數(shù)相乘、相除的求導(dǎo),復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).

(2)求切線：設(shè)切點坐標(biāo)求切線,已知切線求參數(shù)的值.

(3)簡單函數(shù)的圖像與性質(zhì)：f′(x)=0有解的函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點.

3.重視通用方法,適當(dāng)補充拓展,提升學(xué)生能力

當(dāng)基礎(chǔ)知識、基本方法訓(xùn)練落實到一定程度之后,可以進行通用方法的專練.同樣地,一開始不訓(xùn)練壓軸題,而是要訓(xùn)練常規(guī)題、中檔題,專注于通用方法的訓(xùn)練.高考壓軸題難度太大,可將其改編成簡單題、基礎(chǔ)題,進行訓(xùn)練;部分較難的導(dǎo)數(shù)壓軸選擇題、填空題,也可以改編成解答題,進行訓(xùn)練.根據(jù)對歷年高考題的研究,要重視下列幾個熱門考點、通用方法的訓(xùn)練：

(1)證明不等式：直接作差構(gòu)造函數(shù),證明不等式.

(2)簡單的分離變量法：分離變量,數(shù)形結(jié)合,求參數(shù)的值或取值范圍.

(3)簡單的分類討論：進行簡單的分類討論,求含參函數(shù)的單調(diào)性.

圖6

圖7

圖8

當(dāng)通用方法訓(xùn)練落實到一定程度之后,可以結(jié)合考生情況,適當(dāng)補充拓展,進行拓展方法的專練.此階段可以直接進行歷年高考真題、高考模擬題的訓(xùn)練.根據(jù)歷年高考情況,建議以專題的形式,補充下列幾個熱門考點、拓展方法的訓(xùn)練：

(1)證明不等式：變形構(gòu)造函數(shù),證明不等式.

(2)分類討論：復(fù)雜的分類討論的策略.

(3)恒成立問題：處理恒成立問題的策略.

(4)零點問題：零點問題的轉(zhuǎn)化求解策略.

(5)極限與洛必達法則：結(jié)合單調(diào)性、極限、洛必達法則,得到不熟悉函數(shù)的圖像.

(6)凸函數(shù)與切線法：凸函數(shù)的定義與性質(zhì),用切線法解決不等式問題.

(7)隱零點問題：虛設(shè)零點,設(shè)而不求的策略.

(9)極值點偏移問題：極值點偏移問題構(gòu)造函數(shù)的策略.

(10)雙變量問題：雙變量問題的構(gòu)造整體策略、主元法策略等.

4.重視反思總結(jié),滲透數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

2018年1月16日,教育部頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》,提出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析[4].《課標(biāo)(2017年版)》將于2018年秋季開始執(zhí)行,2018年至2020年這三年的高考,是處于過渡階段的高考.2018年仍然按舊的標(biāo)準(zhǔn)和考綱進行命題,命題人也在積極探索以素養(yǎng)為導(dǎo)向的命題工作,重視考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展,正在實現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變[5].

本題主要考查了學(xué)生的3個方面的核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象.要解決此題,學(xué)生需要理解相關(guān)概念(導(dǎo)數(shù)、極值、最值、零點),理解待證明的命題的條件與結(jié)論,理解方法規(guī)則(分離變量法)—這就是數(shù)學(xué)抽象.學(xué)生需要能夠理解和構(gòu)建知識之間的聯(lián)系(轉(zhuǎn)化與化歸);能夠用數(shù)學(xué)語言表達規(guī)則、推理和論證—這就是邏輯推理.學(xué)生需要能夠借助圖形性質(zhì)探索解決問題的思路(數(shù)形結(jié)合),體會幾何直觀的作用和意義—這就是直觀想象.

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升不是一句空話,要在教學(xué)中落實.對于解題的教學(xué),要重視解題反思,要重視方法的總結(jié),滲透數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).反思總結(jié)應(yīng)該有三個層次：回顧解題、方法提煉、思想滲透.例如,對于本題,反思總結(jié)可以按如下的思路進行：

(1)回顧解題.包括重新分析題目條件、目標(biāo),回顧解題過程,指出注意事項;

(2)方法提煉.指出問題的本質(zhì),提煉一般方法;對比多種方法,分析各種方法的優(yōu)劣;思考結(jié)論的逆命題、否命題是否成立,思考結(jié)論或方法能否推廣.

(3)思想滲透.指出問題涉及到的數(shù)學(xué)思想.導(dǎo)數(shù)問題特別要重視三個數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.例如,近幾年全國卷理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題,很多都要用到數(shù)形結(jié)合思想：

數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用

2016 II卷(1)證明：x＞0時,x-2x+2ex＞-1．構(gòu)造函數(shù)證明不等式．2017 I卷(2)a=2ex+xe2x+ex有兩解,求a的取值范圍．曲線y=g(x) =2ex+xe2x+ex與直線y=a有兩個交點．2017 II卷(1)lnx ≤a(x-1),求a．曲線y=lnx圖像在直線y=a(x-1)的下方,求a．2017 III卷(1)alnx ≤x-1,求a．曲線y=alnx圖像在直線y=x-1的下方,求a．2018年II卷,見前文分析,略．

波利亞把解題分為四個階段：“弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧.”[6]題海無邊,“回頭”是岸.回頭、回顧,就是解題之后的反思總結(jié).重視解題反思,滲透數(shù)學(xué)思想,可以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì),提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).