用多種方法證明循環(huán)小數0.等于1

◎戴凡浩

自學了等比數列之后，循環(huán)小數皆可以使用無限多項的等比數列之和進行表示。例如：

等式（1）中，等比數列｛0．3，0．03，0．003，……｝的公比 q為0．1，首相a1為0．3，故此等比數列的無窮多項和S求和公式為：

通過上面的方法，可以將所有的循環(huán)小數變成分數。

一．循環(huán)小數0.的分數形式

等式（3）中，等比數列｛0．9，0．09，0．009，……｝的公比 q為0．1，首相a1為0．9，故此等比數列的無窮多項和S求和公式為：

二．證明方法2：

將分數1/3分解為循環(huán)小數為：

等式（5）兩邊都乘以3，等式左邊1/3*3，為1；等式右邊，為；即為：，證明完畢。

三．證明方法3：

將分數1/9分解為循環(huán)小數為：

等式（6）兩邊都乘以9，等式左邊1/9*9，為1；等式右邊，為；即為：，證明完畢。

四．證明方法4：

等式（7）兩邊都乘以10，則：

等式（8）減（7），得：

五．證明方法5：

等式（9）兩邊都乘以0．1，則：

等式（9）減（10），得：

從而證得0．9·＝1。

六．證明方法6：

將無限多個上面的等式累加，結果為：

證明完畢。

七．證明方法7：

將無限多個上面的等式累加，結果為：

等式左邊只會留下1，其余0．1、0．01、0．001等小數會與隨后的相反數 -0．1、-．01、-0．001所抵消，故等式左邊簡化為1；而等式右邊可以簡化為，代入等式（18），即為：

證明完畢。

八．證明方法8：

設

等式（19）兩邊都除以9，則

九．證明方法9：

十．結論：