從必要性、合理性視角下談數(shù)學概念的教學策略

楊智勇

摘 要：數(shù)學概念是數(shù)學這座科學殿堂的基石，但在教學中普遍存在著輕概念重練習的現(xiàn)象，導致學生對概念一知半解，知其然，不知其所以然，達不到形成能力的要求。從數(shù)學概念的教學的合理性、必要性入手圍繞解決學習新知“三個什么”切入，即為什么要學？怎么學？學了有什么用？從知識的呈現(xiàn)、問題的設置、思維的發(fā)展三個角度著手做了一些數(shù)學概念教學的嘗試。

關鍵詞：必要性；合理性；知識呈現(xiàn)；問題設置；思維發(fā)展；概念應用

數(shù)學概念是客觀現(xiàn)象的數(shù)量關系和空間形式的本質屬性的反映，是人類認識事物的智慧結晶，是思維的基本單位。它起始于問題，最終又幫助人們以此為據(jù)點去認識解決新的問題，是數(shù)學教學的重中之重。但常因其抽象的學科特征總給人以冰冷的感覺。積累數(shù)學活動體驗，經歷概念的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、生成、再創(chuàng)造過程，以具體的經驗作為支撐，那么教師應如何幫學生打開數(shù)學概念這扇知識寶殿的大門呢？一是學生要有進門的欲望，二是學生要有合情合理的進門途徑。即教師應解決概念學習的必要性和學習探究過程合理性的問題，追求自然生成的概念教學。下面筆者就概念的情景引入、數(shù)學建構談一點體會。

一、情景引入——體現(xiàn)數(shù)學概念學習的必要性

疑為思之源，思為智之本。學習接觸一個新事物，要激發(fā)學習者強烈的求知欲望，莫過于讓學生產生疑惑或強烈的認知沖突。所以對于概念的教學首先應解決概念學習必要性的問題，即為什么要學。在學習充要條件時，筆者以學生中段考試題中錯誤的解法以案例的形式展示出來。要求學生指出錯誤，并深入分析錯因。

觀察案例：若關于x的不等式kx2+kx+2>0的解集為R，求k的取值范圍？

解：∵kx2+kx+2>0的解集為R，

當k>0時，由二次函數(shù)的圖像可知此時有：？駐=b2-4ac=k2-8k<0，

解得k的范圍為0

當k<0時，由二次函數(shù)的圖像可知此時不存在這樣的k滿足題意。

綜上所述，k的取值范圍是{k|0

生1：還有k=0時，此時2>0恒成立。所以綜上所述，k的取值范圍是{k|0≤k<4}。

師：為什么會犯這樣的錯？

生2：因為把它當作一元二次不等式來處理。沒有考慮k=0的情況。

師：觀察這個不等式，我們用定式思維去思考問題，犯了邏輯上的錯誤。如何厘清問題的條件、結論之間的邏輯關系？盡量少或不犯這樣的錯誤，這就是我們今天要學習的課題。

溫故而知新。以學生答卷中存在的典型問題切入，既讓學生感到熟悉親切，引起共鳴，又能激發(fā)對新知的探究欲望，同時教師以為什么錯進一步引導學生分析錯因，最大限度發(fā)揮錯誤的價值，為學習新知創(chuàng)設了情景。又如在學習分類相加、分步相乘的計數(shù)原理時，我從學生生活中的案例入手：若你不慎遺失銀行卡或存折，你會擔心別人撿到你的卡或存折，從而把你的錢取走嗎？你能從數(shù)學“量”的角度做到以理服人嗎？讓學生產生“惑”，既引起學生學習的興趣，又激發(fā)學生探索新知的欲望。數(shù)學概念一般具有豐富的現(xiàn)實原型，引入應更自然、更貼切生活。

二、數(shù)學建構——體現(xiàn)概念獲得的合理性

數(shù)學代表著理性，學生在數(shù)學概念學習、探究、生成、再創(chuàng)造過程中，在知識呈現(xiàn)上、問題設置上、思維發(fā)展上應體現(xiàn)合理性。

學習概念新知的過程中，知識呈現(xiàn)上的合理性主要體現(xiàn)在以下幾方面：

①知識產生的背景或情景應該是學生熟悉的，既能激發(fā)學習興趣，又能跳一跳摘到果子。切忌晦澀、深奧，一開始就給學生一個下馬威。如在“充要條件”概念獲取中，筆者以學生自己所在的班級作為問題的背景：

情景問題：把下列命題寫成“若p則q”的形式，并判斷真假。你能用集合的韋恩圖表示這種邏輯關系嗎？

命題p：趙××是從化四中高二（2）班的學生；命題q：趙××是從化四中高二級的學生。

命題p：x≥5；命題q：x≥1。

②所呈現(xiàn)的知識應該是符合學生認知的。如在學習函數(shù)零點時不應該涉及連續(xù)函數(shù)這個未知概念，只能從直觀圖像：一條連續(xù)不斷的曲線入手。又如筆者在p？圯q可知p是q的充分條件，但同時q是p的必要條件。本課的難點如何突破呢？從“無之必不行”入手，必要性是無“之”必不行。故由命題若p則q寫出若？劭p則？劭q，并判斷它們的真假來突破必要性的難點，但是卻生生割裂了教材，不符合學生的認知規(guī)律及知識的連貫性、系統(tǒng)性，決定由原命題及其逆否命題若？劭q則？劭p來設計教學。聯(lián)系剛接觸的四種命題，以原命題的逆否命題入手來探討q對于p的必要性，順應學生的認知規(guī)律。

③所呈現(xiàn)的知識應該凸顯學生對概念全面的認識、深刻的理解。盲人摸象永遠無法了解事物的真相和全部，如認為y=ax2+bx+c就是二次函數(shù)。不識廬山真面目，只緣身在此山中。在概念的學習中，應有意識凸顯概念的內涵與外延，概念的內涵應通過大量的事例來分析、比較、歸納、抽象出概念的本質屬性，揭示概念與它的逆命題都是真命題。由新概念聯(lián)想、拓展、應用到已有的與之相關的具體知識，體現(xiàn)由具體到一般、又由一般到具體的認識過程；應有意識從反例強化，加深對概念的甄別；應有意識從數(shù)量關系、空間形式或改變概念的某些本質屬性等多角度來認識概念；應有意識從不同角度給概念下其他可能的定義。

問題是數(shù)學的核心，是知識的載體，是學習動因的第一驅動力。陶行知則說：“發(fā)明千千萬，起點在一問?！币詥栴}驅動概念新知的學習，如何“問”同樣顯得舉足輕重。

①有效的問題設計應基于學生的認知水平，著力于學生的知識、能力、思維的生長點。筆者在“充要條件”中介紹了p？圯q可知p是q的充分條件，同時q是p的必要條件后，基于學生認知，進行鞏固訓練，著力于知識生長點及時進行應用，同時生成新知充分必要條件。設計了一組題組：

Ⅰ下列“若p則q”的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

（1）若x=1，則x2-4x+3=0；

（2）若兩直線平行，則這兩條直線的斜率相等。

Ⅱ如圖1：p：開關閉合，

q：燈泡亮；觀察p和q之間有怎樣的邏輯關系？

Ⅲ你能找到兩個命題之間類似的邏輯關系嗎？

Ⅳ你能用集合的韋恩圖表示這種關系嗎？

基于學生的認知水平，在學生的最近發(fā)展區(qū)設計問題，能引起學生的共鳴，激發(fā)學習的興趣，提升教學效能；反之，若離開學生的認知水平設計問題，就不能有效調動學生的積極性，課堂表現(xiàn)為人人都不開口，被動接受知識，學生沒有參與課堂，沒有思維活動，也就談不上對概念的準確、深刻理解、掌握。

②問題設計應盡量多一點變式、多一次追問，凸顯概念在學生心中從“有”到“更有”的精致過程。題海無涯，反思是岸。課堂教學是學生學好數(shù)學的主陣地，要實現(xiàn)高效教學，教師必須最大限度地挖掘問題的作用，使數(shù)學概念經歷從日常語言到樸素的數(shù)學語言到圖形語言再到數(shù)字化符號的階段，使學生經歷從概念的生成、發(fā)展、建構再到應用的過程。筆者在“計數(shù)原理”設計了如下問題串：

情景問題1：如果用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給從化的景區(qū)編號，那么總共能夠編出多少種不同的號碼？

變式一：用一個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯數(shù)字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式給從化景區(qū)編號，總共能編出多少種不同的號碼？

追問二：以上兩個計數(shù)問題的結果相同嗎？為什么不同或者說是什么導致了它們的不同？

追問三：從化景區(qū)有4個較大的溫泉休閑點，3條綠道，2個國家森林公園，一旅行團來從化旅游。

（1）從以上景點中任取一處，有多少種不同的取法？

（2）從三類旅游景點中各取一處，有多少種不同取法？

（3）從三類旅游景點取2處不同種類的景點，有多少種不同的取法？

筆者結合身邊景點的具體實例，通過變式一、追問二讓學生通過列樹狀圖經歷兩個計數(shù)原理的抽象、概括、發(fā)現(xiàn)過程，通過追問三體驗兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學生從整體上把握。概念教學在設置問題時不應是一座座“獨木橋”，而是錯綜復雜的“立交橋”。如何引導學生看清它從哪里來，可以怎么走？還能延伸到哪里去？而變式和追問能引導學生構建良好的知識結構，進而使學生由知識到技能，最終形成能力。

數(shù)學是一門思維的科學，而數(shù)學概念恰是前人大量智慧的結晶。學生經歷概念的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、生成、再創(chuàng)造過程，就是思維不斷提升的過程，應是春風化雨、潤物無聲的過程。

Ⅰ教學內容避免瑣碎、零亂；教學環(huán)節(jié)避免機械和重復；教學方式避免把概念課上成例題與習題講解課，從而構建脈絡清晰、主次分明、綱舉目張的課堂結構。簡潔、順暢、自然。既遵循思維的本質特征，又符合學生的心理需求，從而使學生的思維得到很好的發(fā)展和提升。如筆者在“充分條件與必要條件”概念教學中制定如下的教學流程：

Ⅱ數(shù)學思維的發(fā)展要遵循人們心理認知的規(guī)律。心理學告訴我們人們認識新事物是一個螺旋式上升、反復加深的過程，也是思維不斷深化、品質不斷提升的非線性過程。它是一個長期的過程，絕不能畢其功于一堂課。這就要求我們設計課堂教學內容時要懂得選擇、取舍、整合，不能全面開花、全線出擊。教師應居高臨下，站在系統(tǒng)的角度，根據(jù)學生的認知水平來決定哪些該取，哪些該舍，哪些可以現(xiàn)在取，哪些應該先舍后再取。如在教學指數(shù)函數(shù)時，課本中用的分別是細胞分裂和放射性物質衰變，例子雖好但與學生的認知有一定距離，可舍。教師可以請同學們拿出一張普通的紙設置問題：（1）對折次數(shù)、紙的層數(shù)的關系是什么？（2）設紙的面積為1，則紙的面積與對折次數(shù)的關系？直觀具體有操作性。然后進一步追問這兩個函數(shù)有什么異同，從而歸納出指數(shù)函數(shù)的概念。再從概念的內涵、外延著力從正反兩個角度及變形問題，夯實學生對指數(shù)函數(shù)的理解、把握。以上的教學設計對課本中的案例“舍”，對函數(shù)的圖像、性質“舍”，對指數(shù)函數(shù)的概念及其本質特征“取”，對概念的簡單應用“取”。整節(jié)課自然、流暢、重點突出、脈絡清晰，符合學生在體驗中獲取經驗，不斷反思、修正、精致、提升，最后形成抽象概念，并適當應用的心理認知規(guī)律。

李邦河院士曾說：“數(shù)學是玩概念的?！庇绕湓谒刭|教育、新課標、新高考的背景下，我們只有充分重視概念的教學，著力讓學生體驗數(shù)學概念的再生成、再創(chuàng)造的過程，才能真正夯實學生對抽象數(shù)學概念的理解、掌握，才能構建良好的知識體系，才能主動、快速檢索到相關知識解決問題，才能著力提高學生解決問題的能力。

參考文獻：

[1]章建躍.對高中數(shù)學新課標教學的若干建議[J].中學數(shù)學教學參考，2007.

[2]沈恒.從多元知識視角淡淡數(shù)學學習的“懂而不會”[J].數(shù)學通訊，2013.