基于切比雪夫多項(xiàng)式求解一類分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

劉建平，楊璐嘉，毛學(xué)志

（河北科技師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

最近三十年，通過越來越多研究者的努力，確定了在動(dòng)力學(xué)過程中的確具有分?jǐn)?shù)階性態(tài)[1].分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)相比，它們能夠更加精確地模擬自然物理過程和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它還能模擬物質(zhì)的記憶和遺傳性[3]，因此分?jǐn)?shù)階微分方程隨之成為一種解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題不可替代的數(shù)學(xué)工具，這就使許多學(xué)者開始在各個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分方程的研究[2].目前，研究者在求解分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解的過程中，往往通過構(gòu)造特殊函數(shù)，但該特殊函數(shù)構(gòu)造十分復(fù)雜，使得求解析解也變得很困難.所以，針對(duì)求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解的求解方法的研究就顯得更加重要了.

分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程是在實(shí)際工程中有很廣泛的應(yīng)用的一類方程，一些學(xué)者針對(duì)該類方程的求解方法展開了研究.文獻(xiàn)[4]與文獻(xiàn)[5]分別給出了變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的隱式差分近似和時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程的全解.文獻(xiàn)[6]與文獻(xiàn)[7]分別給出了變分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程的一個(gè)顯式有限差分格式和提出變階反常次擴(kuò)散方程的兩種值格式；文獻(xiàn)[8]與文獻(xiàn)[9]分別給出了一個(gè)帶非線性源項(xiàng)的變分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的顯式和一類變分?jǐn)?shù)微分算子模型的擴(kuò)散曲線.

筆者考慮到切比雪夫多項(xiàng)式具有良好的正交性質(zhì)，展開公式中的冪函數(shù)數(shù)項(xiàng)更容易進(jìn)行變分?jǐn)?shù)階微分的計(jì)算.因此，從根本上具備了進(jìn)行函數(shù)逼近處理的基礎(chǔ)，具有形成算子矩陣的條件.基于以上考慮，筆者探討利用移位切比雪夫多項(xiàng)式求解變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值求法.考慮的變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程模型[10]如下：

初值和邊界條件為u(x,0)=g(x) 0≤x≤1；u(0,t)=h(t)0≤h≤1，其中u(x,t)區(qū)間[0,1]×[0,1]上的任意平方可積函數(shù)，0＜q(x,t)＜1,f(x,t)已知，u(x,t)未知表示Caputo類型的變時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Caputo類型變分?jǐn)?shù)階微分

定義1[11]Caputo類型的變分?jǐn)?shù)階微分定義

根據(jù)定義1，當(dāng)u(t)=tn時(shí)，得到如下的計(jì)算結(jié)果

其中 0＜q(x,t)＜1.

本文利用了Caputo類型變分?jǐn)?shù)階微分一些常用性質(zhì).

性質(zhì)1任何常數(shù)求α(t)階導(dǎo)都為零，即Cα(t)=0.

性質(zhì)2對(duì)于任意常數(shù)λ,μ，Caputo變分?jǐn)?shù)階微分算子都有

性質(zhì)3可交換及疊加性：

1.2 移位移位切比雪夫多項(xiàng)式

切比雪夫多項(xiàng)式[12]定義區(qū)間為[-1,1]，一般表現(xiàn)形式為

其在[-1,1]上遞推關(guān)系為

為了在x∈[0,1]上使用該多項(xiàng)式，作變量替換z=2x-1，得到移位切比雪夫多項(xiàng)式.用Hi(x)來表示，定義如下

此時(shí)移位切比雪夫多項(xiàng)式通項(xiàng)可表示為

2 主要內(nèi)容

2.1 函數(shù)逼近

函數(shù)y(x)在[0,1]上是可積的，通過移位切比雪夫多項(xiàng)式的變形，有

在實(shí)踐應(yīng)用中只需要應(yīng)用前(m+1)項(xiàng)

其中多項(xiàng)式的系數(shù)向量CT和向量函數(shù)Φ(x)如下：

式(4)是根據(jù)移位后的切比雪夫多項(xiàng)式(3)得到的y(x)函數(shù)近似表示.

對(duì)于任意二元函數(shù)u(x,t)∈L2([0,1]×[0,1])，都可以通過移位切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行函數(shù)的近似.一般地，也只對(duì)前n+1項(xiàng)作考慮

ui,j(i=1,2,…n；j=0,1,…,n)表示移位切比雪夫多項(xiàng)式逼近二元函數(shù)的待求系數(shù)，如下

矩陣U用內(nèi)積表示為U=Q-1〈Φ(x),〈Φ(t),u(x,t)〉〉Q-1.Q，Φ(x)，Φ(t)分別為

2.2 基于算子矩陣求解變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

本節(jié)將推導(dǎo)變分?jǐn)?shù)階矩陣算子.首先將式(5)表示成為矩陣形式(7)

其中 Tn(x)=[1,x,x2,…,xn]T，

稱為移位切比雪夫多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣.矩陣A為一個(gè)上三角形且對(duì)角線沒有零元素，故可逆，從而有Tn(x)=A-1Φ(x).

對(duì)Φ(t)一階求導(dǎo)，有

其中D為(n+1)×(n+1)階的矩陣，稱為移位切比雪夫多項(xiàng)式的一階微分算子矩陣.根據(jù)式(7)可得

定義如下形式(n+1)×n階矩陣V(n+1)×n和n維列向量Tn*(t)

由于一元函數(shù)u(t)=CTΦ(t)，則可將其導(dǎo)數(shù)u'(t)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，即

對(duì)式(9)求二次導(dǎo)，可得Φ"(t)=D2Φ(t).針對(duì)任意的二元函數(shù)u(x,t)，對(duì)x求二階偏導(dǎo)都可以得到如下式子：

下面將推導(dǎo)Φ(t)的q(x,t)階微分矩陣算子

其中

稱為移位切比雪夫多項(xiàng)式的q(x,t)階微分矩陣算子.

利用公式(14)，將Dq(x,t)tu(x,t)表示為矩陣形式，可得

將式(13)和式(15)代入方程(1)中，得到如下形式：

2.3 數(shù)值算例

例1 解如下變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

該方程的精確解是u(x,t)=x2(1-x)(1+t3).

故n=2 時(shí)，數(shù)值解為u1(x,t)=ΦT(x)U1Φ(x)，其中，U1如上所示.

故n=3時(shí)，該方程的數(shù)值解u2(x,t)=ΦT(x)U2Φ(x)，其中U2如上所示.

分別取t=1/4，t=3/4時(shí)，在部分取值點(diǎn)處，精確解和數(shù)值解的絕對(duì)誤差見表1-2.

表1 t=1/4數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差

表2 t=3/4數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差

由上表可以觀察到當(dāng)取n=2時(shí)，數(shù)值解與精確解的誤差大.而當(dāng)n=3,4時(shí)，數(shù)值解與精確解的誤差接近于10-15.表1-2表明，當(dāng)合理設(shè)置截?cái)囗?xiàng)n,本文提出的方法是可行且有效.

3 結(jié)論

本文在Caputo類型的變分?jǐn)?shù)階微分定義下，根據(jù)變分?jǐn)?shù)階微分的性質(zhì)，推導(dǎo)出了移位切比雪夫多項(xiàng)式的變分?jǐn)?shù)算子矩陣，結(jié)合配點(diǎn)法，將求解變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組，并結(jié)合算例說明了該方法可行性及有效性.本文的研究為進(jìn)一步探討變分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值計(jì)算方法奠定了一定的理論基礎(chǔ)，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值.另外，本文針對(duì)該方法的計(jì)算誤差、收斂性分析等問題還存在欠缺，這也是筆者下一步努力的方向.