泡沫波紋復(fù)合夾心梁等效彈性常數(shù)的推導(dǎo)及其振動(dòng)特性研究

吳建均,王永靜,謝敬堯,李曉露,倪娜,張陵

(西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

近年來,輕質(zhì)多孔材料以其優(yōu)良的結(jié)構(gòu)性能和多功能特性,成為眾多學(xué)者和工程技術(shù)人員關(guān)注的熱點(diǎn)。波紋結(jié)構(gòu)作為一種典型的點(diǎn)陣多孔材料,具有結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單、易于加工和維護(hù)、質(zhì)量小、強(qiáng)度和剛度高、抗撞擊力強(qiáng)、能有效散熱等優(yōu)點(diǎn),已在航空航天、高速列車、建筑及包裝等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,并具有進(jìn)一步發(fā)展的潛質(zhì)[1]。但是,波紋結(jié)構(gòu)亦存在如下問題:因其嚴(yán)重的各向異性力學(xué)性能,結(jié)構(gòu)易發(fā)生屈曲失穩(wěn)破壞,承載能力對(duì)初始缺陷比較敏感,且能量吸收能力明顯弱于泡沫和蜂窩材料。為進(jìn)一步提高波紋結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能,許多學(xué)者提出將泡沫材料填充到波紋芯體中制備復(fù)合夾心結(jié)構(gòu),可使其力學(xué)性能得到較大的提高。鑒于泡沫波紋復(fù)合夾心板的優(yōu)異特性,不少學(xué)者對(duì)泡沫波紋復(fù)合夾心板的力學(xué)性能進(jìn)行了研究[2-3]。

早在1951年,Libove等人就對(duì)波紋夾心板的等效彈性常數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)[4];他們通過對(duì)材料常數(shù)的等效,將具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的實(shí)際模型簡(jiǎn)化成各向異性的等效材料屬性[5],這在很大程度上簡(jiǎn)化了計(jì)算,且具有較高的精度。Hohe和Becker對(duì)二維周期點(diǎn)陣材料夾心板的等效理論研究進(jìn)行了較為全面的綜述,指出等效剛度參數(shù)主要取決于芯體與面板的相互作用,因此要將面板和芯體綜合考慮以獲得夾心板的整體宏觀等效剛度[6]。Cheng等基于有限元分析,得到了波紋夾心板的所有等效剛度[7]。Xia等提出了一種適用于任意波紋形狀的均質(zhì)化等效模型,并對(duì)2種常見的波紋(梯形波紋和正弦形波紋)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值仿真,驗(yàn)證了其等效模型[8]。然而,目前關(guān)于復(fù)合多孔結(jié)構(gòu)的等效研究還相對(duì)較少。

本文基于材料力學(xué)中材料的小變形理論,考慮材料的連續(xù)性,設(shè)結(jié)構(gòu)由面板承受彎扭,泡沫芯體材料承受剪切,在符合變形協(xié)調(diào)方程的條件下,推導(dǎo)出了泡沫波紋復(fù)合夾心梁芯體的等效彈性常數(shù);進(jìn)行了泡沫波紋復(fù)合夾心梁的模態(tài)實(shí)驗(yàn)研究,并對(duì)實(shí)驗(yàn)梁的有限元二維等效模型和三維實(shí)體模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算;通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果的比較分析,驗(yàn)證了所推導(dǎo)的芯體等效彈性常數(shù)的正確性。此外,本文還對(duì)泡沫波紋復(fù)合夾心梁的面板厚度、波紋肋板厚度、泡沫芯體密度及胞元數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響進(jìn)行了研究。

1 泡沫波紋復(fù)合夾心梁芯體等效彈性常數(shù)的推導(dǎo)

本文推導(dǎo)泡沫波紋復(fù)合夾心梁芯體的等效彈性常數(shù)主要基于材料力學(xué)中的以下基本假設(shè)和模型簡(jiǎn)化[9-11]:①材料是連續(xù)的;②材料只發(fā)生小變形;③材料是各向同性的;④面板與芯體粘接無缺陷;⑤采用中厚度面板理論;⑥不考慮面板的屈曲。

1.1 等效彈性模量的推導(dǎo)

圖1a為單元體在11方向的單向受力圖,圖1b為單元體在11方向單向受力時(shí)的波紋肋板變形圖。

(a)單元體在11方向的受力

(b)波紋肋板在11方向受力時(shí)的變形圖1 單元體在11方向的單向受力和波紋肋板變形

(1)

11方向的變形協(xié)調(diào)條件為沿此方向的波紋肋板拉伸變形和泡沫芯體拉伸變形相同,即

(2)

(3)

(4)

其中Ef為泡沫芯體的彈性模量,θ為波紋肋板的傾斜角度,λ為波紋肋板的體積分?jǐn)?shù)

(5)

將式(2)～式(4)代入平衡方程(1),可得泡沫芯體材料在11方向的受力

(6)

波紋肋板在11方向的受力

(7)

波紋肋板沿11方向的變形

(8)

由此可得11方向的等效應(yīng)變

(9)

11方向的等效彈性模量

(10)

(11)

1.2 等效剪切模量的推導(dǎo)

假設(shè)填充泡沫邊緣部分剪應(yīng)力均勻分布,不考慮平板屈曲,且由面板承受彎曲變形,填充泡沫承受剪切變形,變形過程滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系。由力的平衡方程可得

(12)

由沿12方向的泡沫芯體和波紋肋板變形一致性,可得變形協(xié)調(diào)方程為

(13)

(14)

(15)

其中Gf為泡沫芯體的剪切模量。

將式(13)～式(15)代入式(12),可得泡沫芯體在12方向的受力

(16)

波紋肋板在12方向的受力

(17)

在12方向的剪切應(yīng)變

(18)

對(duì)應(yīng)的等效剪切彈性模量

(19)

(20)

1.3 等效泊松比的推導(dǎo)

(a)單元體在1方向受拉力時(shí)2、3方向的壓縮變形

(b)波紋肋板和泡沫芯體的變形協(xié)調(diào)關(guān)系圖2 單元體在1方向受拉時(shí)引起的2、3方向的變形協(xié)調(diào)關(guān)系

(21)

波紋肋板的壓縮變形和泡沫芯體的拉伸變形分別為

(22)

(23)

泡沫芯體由于泊松效應(yīng)在2、3方向的位移

(24)

式中νf為泡沫芯體的泊松比。

波紋肋板由于泊松效應(yīng)在2、3方向的位移

(25)

式中νc為波紋肋板的泊松比。

將式(22)～式(25)代入式(21),可得附加力

(26)

則波紋肋板的壓縮變形

(27)

2、3方向的總變形位移

(28)

等效應(yīng)變

(29)

等效泊松比

(30)

同理,可求得ν13、ν23

(31)

(32)

等效芯體密度等于泡沫芯體和波紋肋板的總質(zhì)量除以泡沫芯體和波紋肋板的總體積,表達(dá)式為

ρ=λρc+(1-λ)ρf

(33)

式中:ρc為波紋肋板密度;ρf為泡沫芯體密度。

2 芯體等效彈性常數(shù)驗(yàn)證

本節(jié)將通過模態(tài)實(shí)驗(yàn)獲得泡沫波紋復(fù)合夾心梁的固有頻率和振型,并針對(duì)實(shí)驗(yàn)梁采用有限元方法建立二維等效模型和三維實(shí)體模型,通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果來驗(yàn)證有限元計(jì)算的可靠性,從而驗(yàn)證所推導(dǎo)的芯體等效彈性常數(shù)的正確性。

2.1 模態(tài)實(shí)驗(yàn)

(a)夾心梁示意圖

(b)夾心梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)

(c)夾心梁實(shí)物俯視圖圖3 實(shí)驗(yàn)用復(fù)合夾心梁模型

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)了2種梁:一種是圖3a所示的梁Ⅰ,其波紋方向沿著L方向;另一種是梁Ⅱ,其波紋方向沿著W方向。L、W方向如圖3a所示。這2種梁只是波紋方向不同,其他結(jié)構(gòu)參數(shù)(見圖3b)均相同。梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)尺寸見表1。實(shí)驗(yàn)材料參數(shù):面板和波紋肋板采用5052鋁合金;泡沫填充芯體采用Zihacell52材料,材料密度為52 kg/m3,彈性模量為44 MPa;面板、波紋肋板、填充芯體均為各向同性材料。實(shí)驗(yàn)梁的俯視圖如圖3c所示。本模態(tài)實(shí)驗(yàn)通過多點(diǎn)力錘敲擊單點(diǎn)拾激法獲得泡沫波紋復(fù)合夾心梁的固有頻率和振型,采用動(dòng)態(tài)信號(hào)集成系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,并用TST模態(tài)分析軟件進(jìn)行后處理。

表1 梁的結(jié)構(gòu)尺寸

復(fù)合夾心梁的制備過程如圖4所示:①用模具沖壓鋁板,得到中間波紋肋板;②用平整的鋁板切割出完整的上下2個(gè)面板;③用樂泰環(huán)氧膠將波紋肋板與上下面板粘接在一起;④將PMI泡沫切割成與波紋芯體空隙相同的梯形塊;⑤將表面涂抹了環(huán)氧膠的泡沫梯形塊填充到波紋芯體中,制備出泡沫波紋復(fù)合夾心梁。梁Ⅰ橫向包括8個(gè)胞元,梁Ⅱ縱向包括2個(gè)胞元。

圖4 復(fù)合夾心梁的制備過程

實(shí)驗(yàn)過程:采用左端固支、多點(diǎn)激勵(lì)單點(diǎn)拾激方法[12-13],將梁Ⅰ和梁Ⅱ按橫向胞元?jiǎng)澐譃?段共9個(gè)敲擊點(diǎn),縱向劃分為3段共4個(gè)敲擊點(diǎn),共計(jì)36個(gè)敲擊點(diǎn);實(shí)驗(yàn)梁左端固定,加速度傳感器安裝在梁自由端右上角33點(diǎn)處,用力錘依次敲擊每個(gè)測(cè)點(diǎn)(如圖3c所示),能較好地激發(fā)出實(shí)驗(yàn)梁的振型。

2.2 建立有限元模型

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)的等效彈性常數(shù)的正確性,利用軟件ANSYS對(duì)實(shí)驗(yàn)梁模型進(jìn)行有限元二維等效模型和三維實(shí)體模型建模計(jì)算,通過模態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有限元三維實(shí)體模型的可靠性,再通過三維實(shí)體模型驗(yàn)證二維等效模型的可靠性,從而驗(yàn)證所推導(dǎo)的芯體等效彈性常數(shù)的正確性。

復(fù)合夾心梁的有限元建模過程如下。

(1)梁的三維實(shí)體模型建模:分別建立波紋肋板和上下面板,材料采用5052鋁合金,再建立泡沫填充芯體,材料采用Zihacell52,將面板、波紋肋板和泡沫芯體綁定約束在一起,如圖5a所示。

(2)梁的二維等效模型建模:分別建立上下面板和中間等效芯體,面板材料采用5052鋁合金,將三維實(shí)體建模中的波紋肋板和泡沫芯體等效為中間層的等效芯體,等效芯體為正交各向異性材料,材料的9個(gè)等效彈性常數(shù)和等效芯體密度由理論推導(dǎo)的公式計(jì)算。

(a)實(shí)體模型 (b)實(shí)體單元

(c)等效單元 (d)殼單元圖5 梁Ⅰ的有限元模型

對(duì)梁Ⅰ沿橫向(L方向)建立8個(gè)胞元,對(duì)梁Ⅱ沿縱向(W方向)建立2個(gè)胞元;梁Ⅰ三維實(shí)體模型的泡沫芯體和二維等效模型的等效芯體均采用六面體單元(solid 185),如圖5b、5c所示;二維等效模型和三維實(shí)體模型的上下面板以及實(shí)體模型的波紋肋板均采用四邊形殼單元(shell 181),如圖5d所示;面板、波紋肋板和泡沫芯體之間均建立綁定約束(Bond(always)),網(wǎng)格尺寸為0.05 m,網(wǎng)格質(zhì)量較高,以保證計(jì)算結(jié)果良好。

2.3 結(jié)果分析

表2給出了梁Ⅰ和梁Ⅱ的模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,梁Ⅱ的一階固有頻率為142 Hz,比梁Ⅰ的一階固有頻率134 Hz高,這主要是因?yàn)榱孩虻墓潭ǘ思s束比梁Ⅰ的強(qiáng)。由于實(shí)驗(yàn)采用力錘沿垂直方向敲擊,梁在另外2個(gè)方向的模態(tài)振動(dòng)頻率較高,因此,本實(shí)驗(yàn)主要是針對(duì)垂直(厚度)方向的振動(dòng)測(cè)試,不考慮另外2個(gè)方向的模態(tài)。由表2可以看出,沿垂直方向模態(tài)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好。圖6給出了經(jīng)TST模態(tài)分析軟件后處理的振型結(jié)果,可見梁的一階振型為垂直方向的彎曲,三階振型在梁長(zhǎng)度的2/3處出現(xiàn)第二次彎曲,四階振型為梁繞固定端左右扭轉(zhuǎn)。

本節(jié)通過模態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與有限元三維實(shí)體模態(tài)計(jì)算結(jié)果的對(duì)比,驗(yàn)證了有限元三維實(shí)體模型計(jì)算結(jié)果的正確性;通過有限元三維實(shí)體模態(tài)和二維等效模態(tài)計(jì)算結(jié)果的對(duì)比,初步驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的芯體等效彈性常數(shù)的正確性。

表2 復(fù)合夾心梁的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖6 2種復(fù)合夾心梁的模態(tài)實(shí)驗(yàn)振型

3 結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)芯體等效彈性常數(shù)的影響

為進(jìn)一步驗(yàn)證所推導(dǎo)的芯體等效彈性常數(shù)的正確性,并研究不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)二維等效模型和三維實(shí)體模型計(jì)算結(jié)果的影響,選擇泡沫波紋夾心梁的3個(gè)結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)——面板厚度、波紋肋板厚度、泡沫芯體密度,分析其對(duì)二維等效模型和三維實(shí)體模型固有頻率的影響,并研究胞元數(shù)對(duì)仿真結(jié)果可靠性的影響[14]。

在分析上述4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響時(shí),取面板厚度tp=1 mm、波紋肋板厚度tc=1 mm、泡沫芯體密度ρf=52 kg/m3、彈性模量E=44 MPa、胞元數(shù)n=8為基準(zhǔn)參照,梁長(zhǎng)L取0.358 m,寬W取0.089 2 m。每次改變1個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù),保持其他3個(gè)參數(shù)不變,分別計(jì)算4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)固有頻率的影響,并對(duì)二維等效模型和三維實(shí)體模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)一步驗(yàn)證二維等效模型的可靠性。為保證計(jì)算結(jié)果的收斂性,分別在0.005 m和0.002 m的網(wǎng)格尺寸下對(duì)二維等效模型和三維實(shí)體模型進(jìn)行了計(jì)算,計(jì)算結(jié)果無差異,驗(yàn)證了結(jié)果的良好收斂性。

圖7所示為不同面板厚度對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響。由圖7可知:對(duì)于波紋沿L方向的梁Ⅰ而言,面板厚度對(duì)二維和三維模型固有頻率計(jì)算結(jié)果的影響略有差異,但均在誤差控制范圍之內(nèi);對(duì)于波紋沿W方向的梁Ⅱ來說,面板厚度對(duì)2種模型固有頻率計(jì)算結(jié)果的影響基本無差異,這說明梁Ⅱ的實(shí)際模型和等效模型吻合良好,從而進(jìn)一步驗(yàn)證了推導(dǎo)的等效彈性常數(shù)的合理性。由圖7還可知,結(jié)構(gòu)固有頻率隨面板厚度的增加而升高,這是因?yàn)槊姘逯饕浅惺軓澢?隨著面板厚度的增加,結(jié)構(gòu)剛度增大,所以結(jié)構(gòu)的固有頻率變高。

圖7 面板厚度對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響

圖8 波紋肋板厚度對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響

圖8所示為波紋肋板厚度對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響,從中可以看出:在波紋肋板厚度最薄時(shí),梁Ⅰ的二維等效模型和三維實(shí)體模型的最大誤差為13%,但隨著波紋肋板厚度增加,誤差逐漸減小,直至與梁Ⅱ的計(jì)算結(jié)果基本吻合;結(jié)構(gòu)的一階固有頻率隨波紋肋板厚度增加而降低,這是由于波紋肋板主要是抗剪切,增加厚度對(duì)增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響大于對(duì)提高結(jié)構(gòu)剛度的影響,所以結(jié)構(gòu)的固有頻率呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。

圖9為泡沫芯體密度對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響,從中可以看出:梁Ⅰ和梁Ⅱ的實(shí)體和等效模型的計(jì)算結(jié)果最大誤差不超過6.6%;結(jié)構(gòu)一階固有頻率隨泡沫芯體密度增加而降低,這是由于泡沫填充材料占較大體積,密度的增大對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加的影響遠(yuǎn)大于對(duì)結(jié)構(gòu)剛度提高的影響,因此結(jié)構(gòu)的固有頻率呈現(xiàn)降低的趨勢(shì)。

圖9 泡沫芯體密度對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響

由圖7～圖9可知,梁Ⅰ的計(jì)算誤差大于梁Ⅱ的,這是由于在約束梁Ⅰ三維實(shí)體模型的左端面時(shí),僅約束了上下面板和1個(gè)波紋肋板的厚度,主要約束施加在泡沫填充芯體上,而泡沫填充芯體密度小,剛度低,所以梁Ⅰ的約束強(qiáng)度相對(duì)較弱,而在約束梁Ⅱ三維實(shí)體模型的左端面時(shí),同時(shí)約束了上下面板以及所有波紋肋板的側(cè)面,因此梁Ⅱ三維實(shí)體模型的約束強(qiáng)度比梁Ⅰ三維實(shí)體模型的更高,計(jì)算結(jié)果比梁Ⅰ的更好。由于梁Ⅰ二維等效模型左端約束了上下面板和中間等效芯體,而二維等效模型芯體的密度比三維實(shí)體模型泡沫芯體的密度大,因此梁Ⅰ二維等效模型的約束剛度比三維實(shí)體模型的大,二維等效模型計(jì)算的固有頻率更高;由于梁Ⅱ三維實(shí)體模型約束了所有波紋肋板,三維實(shí)體模型和二維等效模型的約束強(qiáng)度差異小,因此梁Ⅱ的實(shí)體模型與等效模型的計(jì)算結(jié)果基本無誤差。同時(shí),由于梁Ⅰ的三維實(shí)體模型約束了波紋肋板、泡沫芯體和上下面板,因此在增加面板厚度、波紋肋板厚度以及泡沫芯體密度時(shí),梁Ⅰ約束端的剛度均會(huì)增加,使計(jì)算結(jié)果誤差減小。

圖10所示為胞元數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響,可以看出:實(shí)體模型和等效模型計(jì)算結(jié)果的最大誤差為10%;隨著胞元數(shù)增加,結(jié)構(gòu)的一階固有頻率降低,等效模型和實(shí)體模型的計(jì)算結(jié)果趨于相同;在胞元較少時(shí),由于剪應(yīng)力分布不均勻,導(dǎo)致考慮剪應(yīng)力均勻分布的公式推導(dǎo)的誤差偏大;隨著胞元增多,結(jié)構(gòu)更趨于均勻狀態(tài),所以2種模型的計(jì)算結(jié)果逐漸接近。

圖10 胞元數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)一階固有頻率的影響

4 結(jié) 論

本文基于材料力學(xué)中的基本假設(shè),考慮結(jié)構(gòu)由面板承受彎扭,泡沫芯體承受剪切,推導(dǎo)出了泡沫波紋復(fù)合夾心結(jié)構(gòu)的芯體等效彈性常數(shù),并通過模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析,驗(yàn)證了該等效彈性常數(shù)的正確性。因此,該等效彈性常數(shù)可適用于相應(yīng)構(gòu)型的泡沫波紋復(fù)合夾心結(jié)構(gòu)的有限元靜、動(dòng)力學(xué)分析。此外,進(jìn)一步分析了該泡沫波紋復(fù)合夾心結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)對(duì)其振動(dòng)特性的影響,結(jié)果表明:隨著面板厚度增加,結(jié)構(gòu)的一階固有頻率升高;隨著波紋肋板厚度、泡沫芯體密度或胞元數(shù)增加,結(jié)構(gòu)的一階固有頻率降低。由此,再次驗(yàn)證了所推導(dǎo)的泡沫波紋復(fù)合夾心結(jié)構(gòu)芯體等效彈性常數(shù)的正確性。