靜水壓力下纖維纏繞圓柱殼體的穩(wěn)定性分析

沈克純, 潘光, 姜軍, 黃橋高, 施瑤

潛航器是開發(fā)海洋資源與鞏固海防的重要裝備,耐壓殼體的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是潛航器設(shè)備正常工作和人員安全的重要保證,同時也是深海潛航器研發(fā)的關(guān)鍵技術(shù)之一[1-2]。隨著人類向深海探索步伐的加快,對潛航器的搭載能力有了更高要求,因此,潛航器應(yīng)具備較大的儲備浮力。纖維復合材料是一種新型的結(jié)構(gòu)耐壓材料,具有比強度大、比剛度高、可設(shè)計等特點,能夠減輕結(jié)構(gòu)重量、提供正浮力、增加負載能力;耐腐蝕、吸波和無磁性等特點對潛航器的壽命周期和反偵察能力具有重要意義[3]。

已有學者對纖維纏繞圓柱殼體的耐壓穩(wěn)定性開展了研究。王珂晟[4]運用混合遺傳算法求解屈曲特征方程,分析了纖維纏繞航天飛行器等殼體結(jié)構(gòu)在軸壓作用下穩(wěn)定性問題。李志敏[5]將殼體屈曲的邊界層理論推廣運用到外壓作用下中等厚度各向異性圓柱殼穩(wěn)定性分析中,研究了鋪層方式對外壓屈曲臨界載荷的影響。Messarer等[6-7]通過數(shù)值模擬分析了鋪層順序?qū)Y(jié)構(gòu)臨界載荷的影響。Lopatin等[8-9]對外壓作用下兩端簡支、固支等邊界條件下特定鋪層方式的圓柱殼體的失穩(wěn)載荷進行求解,并做了數(shù)值驗證。

以上學者根據(jù)特定受力狀態(tài)、邊界條件對復合材料殼體穩(wěn)定性的進行研究。隨著復合材料技術(shù)的發(fā)展,殼體多角度纖維纏繞成型技術(shù)已經(jīng)成熟,在水下耐壓殼體結(jié)構(gòu)上已有應(yīng)用,有必要提出一種適用于求解靜水壓力作用下纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性的解析方法。本文推導出纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性控制方程,采用Galerkin方法對特征方程進行求解,推廣到正交纏繞、金屬-纖維纏繞復合結(jié)構(gòu)、斜交纏繞等殼體結(jié)構(gòu)臨界失穩(wěn)載荷的求解。通過建立遺傳算法與解析方案的數(shù)字接口,搭建了纖維纏繞圓柱殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性優(yōu)化平臺,研究了纖維纏繞角度、設(shè)計變量個數(shù)對臨界失穩(wěn)載荷的影響。

1 穩(wěn)定性控制方程的建立

受靜水壓力作用的圓柱殼體,當壓力達到某臨界值,殼體由靜力平衡狀態(tài)變?yōu)榕R界失穩(wěn)狀態(tài),殼體在2種相鄰狀態(tài)之間的變化產(chǎn)生位移,位移引起附加載荷,在附加載荷的作用下,圓柱殼體處于臨界失穩(wěn)狀態(tài),若對此平衡狀態(tài)給予任一微小擾動,則殼體喪失穩(wěn)定性。

1.1 平衡方程

如圖1所示,長為L,厚為t,中面半徑為R的圓柱殼體,在靜水壓力p作用下,根據(jù)單元體的受力,其平衡方程為

圖1 復合材料圓柱殼體

式中,Nα,Nβ,Nαβ為圓柱殼體的薄膜內(nèi)力,Mα,Mβ,Mαβ為彎曲內(nèi)力矩。Fα,Fβ,Fn是附加載荷,可表示為

式中，P為圓柱殼體所受軸向力,T為徑向力。u,υ,ω是外載荷作用下圓柱殼體從初始壓縮狀態(tài)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)在α,β,n方向上的位移。

1.2 幾何變形關(guān)系

由曲面微分幾何關(guān)系可知,u,υ,ω等位移引起中面的伸長和剪切變形

式中，εα,εβ和εαβ是殼體中面應(yīng)變,kα,kβ,kαβ為中面曲率及扭率,Γε和Γk是位移u,υ,ω引起中面上應(yīng)變和扭率的系數(shù)。

1.3 本構(gòu)關(guān)系

由經(jīng)典層合理論的內(nèi)力-變形關(guān)系可得

(9)

Aij為面內(nèi)剛度,表示中面應(yīng)變與薄膜內(nèi)力的剛度關(guān)系,Bij耦合剛度,表示彎曲與拉伸的耦合關(guān)系,Dij彎曲剛度,表示彎曲內(nèi)力矩與曲率、扭率的剛度關(guān)系,其中i,j=1,2,6。各剛度的表達式為

(10)

(11)

式中,c=cosθ,s=sinθ,各模量分量可由材料的性能參數(shù)表示如下

(12)

式中,E11和E22分別表示纖維縱向彈性模量和橫向彈性模量;vLT和vTL分別表示橫向泊松比和縱向泊松比;G12表示面內(nèi)剪切彈性模量。

1.4 穩(wěn)定性控制方程的建立

將幾何變形關(guān)系式((7),(8)式)帶入本構(gòu)方程(9)得到薄膜內(nèi)力(Nα,Nβ,Nαβ)和彎曲內(nèi)力矩(Mα,Mβ,Mαβ)的表達式,然后將其與附加力表達(4)～(6)式帶入平衡方程(1)～(3)中,得到穩(wěn)定性控制方程

2 穩(wěn)定性方程求解

2.1 Galerkin方法

本文選用Galerkin方法求解臨界失穩(wěn)壓力,其基本思想如下:對于任一給定的微分方程L(u)=0,邊界條件為S(u)=0,若其解域為U,假定存在一個滿足邊界條件的近似解域ua

(16)

式中，aj為待定系數(shù),φj為基底函數(shù)。將近似解域ua帶入微分方程L(u),則L(ua)與L(u)之間存在殘差Ra,殘差在解域U上加權(quán)后之和為0,又稱為正交化條件,即

(17)

方程(17)是與待定系數(shù)aj有關(guān)的齊次線性方程組,若使aj有非零解,令特征方程等于零,可求解微分方程L(u)=0中的其他未知量;若方程(17)中的唯一未知量為aj,求解即可得到微分方程L(u)=0的近似解ua。本文主要運用Galerkin方法求解圓柱殼體的臨界失穩(wěn)壓力,即求解微分方程L(u)=0中的臨界失穩(wěn)壓力。

2.2 特征方程的建立及求解

首先選取的逼近函數(shù)須滿足邊界條件,復合材料圓柱殼體的兩端通過裙邊與金屬封頭連接,圓柱段的兩端簡化為簡支邊界,另外,殼體所處的應(yīng)力狀態(tài)由一個基本應(yīng)力狀態(tài)和一個邊界應(yīng)力狀態(tài)疊加而成,基本應(yīng)力狀態(tài)遍布于殼體全域,而邊界效應(yīng)主要存在于邊界附件的局部范圍內(nèi)。假設(shè)殼體長度L≥2R,使得在分析結(jié)構(gòu)屈曲時可以忽略彎曲邊界效應(yīng)的影響,因此,殼體所處的應(yīng)力狀態(tài)被認為是薄膜狀態(tài),故約束如下

(18)

選取近似函數(shù)為

(19)

式中,λ=mπR/L,U,V和W是常數(shù),m和n是表征圓柱殼體失穩(wěn)時沿軸向、周向呈現(xiàn)半波數(shù),把近似函數(shù)帶入邊界約束(18)式中,得

(20)

纖維纏繞時相鄰2層纏繞角度呈正負交錯,當ij=16,26時,面內(nèi)剛度Aij、耦合剛度Bij及彎曲剛度Dij相比ij其他項是微小量,在分析殼體屈曲問題時可以簡化為零?？芍?Nα=Mα=0,故近似函數(shù)(19)滿足(18)式中的全部邊界條件。

將近似函數(shù)(19)帶入穩(wěn)定性控制方程(13)～(15)中,近似解產(chǎn)生殘差Rα,Rβ,Rn為

根據(jù)正交化條件,得到關(guān)于U,V,W的齊次線性方程組:

(24)

欲使U,V,W存在非零解,則特征方程為零,即

(25)

式中

圓柱殼體受均勻外壓p作用,有P=pR/2,T=2P。在給定圓柱殼體幾何參數(shù)及材料性能參數(shù)的情況下,僅有m,n是未知量,對特定m和n有對應(yīng)p存在,其中的最小值即為臨界失穩(wěn)載荷pcr。

3 驗證與優(yōu)化

本節(jié)將通過算例,對方程(25)進行求解,以驗證本文解析解的有效性和正確性。所選算例有正交纏繞、金屬-纖維纏繞復合結(jié)構(gòu)、斜交纏繞等幾種形式。求解時,單層厚度根據(jù)殼體實測厚度與纖維層數(shù)平均后得到,假設(shè)不存在材料缺陷和結(jié)構(gòu)幾何缺陷。

表1 USN125性能參數(shù)

3.1 正交纏繞殼體的失穩(wěn)驗證

正交纏繞是指纖維層由0°層和90°層依次交錯纏繞而成,正交纏繞圓柱殼體具有典型的正交異性,應(yīng)用廣泛,本文對文獻[10]中[0/90]12纏繞的圓柱殼體進行計算,材料的力學性能參數(shù)如表1所示,表2給出結(jié)構(gòu)幾何尺寸、實驗值及本文計算結(jié)果,由本文計算失穩(wěn)載荷與實驗測試結(jié)果對比可知,平均誤差為5.90%,具有良好的精度。

表2 實驗結(jié)果[10]與本文解

3.2 金屬-纖維復合結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)驗證

金屬-纖維復合結(jié)構(gòu)是指以薄壁金屬殼體作為內(nèi)襯,在薄壁金屬殼體的外表面纏繞復合材料纖維,該結(jié)構(gòu)能夠大幅提高壓力容器的承載能力,此種結(jié)構(gòu)形式常用于承內(nèi)壓容器的設(shè)計。隨著大深度潛航器的研發(fā),已有學者[11]將此種形式應(yīng)用于承受靜水壓力的殼體結(jié)構(gòu)上,在滿足強度要求下,該結(jié)構(gòu)形式具有很好的減重效果。文獻[11]在鋁合金薄壁的外表面纏繞碳纖維復合材料,并在靜水外壓作用下對其臨界失穩(wěn)載荷進行了實驗研究,材料為T700-12K復合材料(總厚3.1 mm),纏繞參數(shù)為[±65]5,金屬內(nèi)膽為2124 Al(壁厚0.75 mm),材料的性能參數(shù)如表3所示。

表3 T700-12K和2124 Al性能參數(shù)

復合結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)的計算如(26)式所示,特別指出,2種材料的剛度系數(shù)值以各自中面為坐標參照計算得到。其中,下標M表示鋁合金材料,C表示碳纖維材料。表4給出文獻中的實驗值與本文解,誤差為8.37%。

(26)

表4 實驗結(jié)果[11]與本文解

3.3 斜交纏繞殼體的失穩(wěn)驗證

斜交纏繞是指纖維纏繞方向與殼體軸向呈+θ或-θ°,相鄰2層的夾角為2θ。本文對文獻[12]中[(±30)10/904]、[(±45)10/904]及[(±60)10/904]等3組斜交纏繞圓柱殼體進行計算,每組均為4個試件。復合材料牌號為TR50,性能參數(shù)如表5所示,表6給出實驗結(jié)果與本文解,解析解和實驗值相比,[(±30)10/904]方式纏繞的圓柱殼體,平均誤差為在10.11%;[(±45)10/904]和[(±60)10/904]方式纏繞的圓柱殼體,平均誤差為3.55%和5.67%,殼體失穩(wěn)半波數(shù)與實驗記錄現(xiàn)象相同。

在不考慮材料缺陷和結(jié)構(gòu)幾何缺陷的情況下,本文的數(shù)值解與實驗結(jié)果的誤差基本在10%以內(nèi),在指導工程應(yīng)用有足夠的有效性和準確性。從斜交纏繞殼體穩(wěn)定性分析可知,纖維纏繞策略不同時結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性存在差異,對此。本文開展纖維纏繞策略對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響性分析,纖維纏繞策略包括纖維纏繞角度、纏繞層數(shù)及纏繞順序等變量。

表5 TR50性能參數(shù)

表6 實驗結(jié)果[12]與本文解

4 纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性優(yōu)化

為研究纖維纏繞角度、纏繞層數(shù)及纏繞順序?qū)εR界失穩(wěn)載荷的影響,按照表5的材料性能參數(shù)和表6中FWT601幾何尺寸,分別以[(±θ)12]、[(±θ1)x/(±θ2)12-x]及[(±θ1)4/(±θ2)4/(±θ3)4]纏繞方式為模型,對其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進行優(yōu)化,設(shè)計變量為θ(0°≤θ≤90°,Δθ=5°)及x(1≤x≤11,Δx=1),目標函數(shù)為臨界失穩(wěn)載荷pcr。如圖2所示,通過建立遺傳算法與Galerkin解析方案的數(shù)字接口,搭建了纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性優(yōu)化設(shè)計平臺,優(yōu)化流程如下:①定義初始種群,通過遺傳算法生成纖維纏繞初始參數(shù);②建立遺傳算法與解析方案的數(shù)字接口,把初始種群參數(shù)傳遞給解析方案;③求解臨界失穩(wěn)壓力,通過Galerkin方法求解特征方程;④收斂判斷,并通過雜交變異生成新種群;⑤重復以上步驟,直至收斂。

圖2 優(yōu)化設(shè)計平臺

表7 數(shù)值優(yōu)化結(jié)果

表7給出了3種纏繞形式的穩(wěn)定性優(yōu)化結(jié)果。結(jié)果表明,隨著設(shè)計變量的增多,殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性增強,增幅越大,與初始值7.418 MPa(對應(yīng)FWT601臨界失穩(wěn)載荷)比較,[(±θ)12],[(±θ1)x/(±θ2)12-x]及[(±θ1)4/(±θ2)4/(±θ3)4]3種纏繞形式的殼體臨界失穩(wěn)載荷分別提高了31.31%,43.25%及57.17%。圖3給出[(±θ)12]纏繞形式殼體的臨界失穩(wěn)載荷曲線和失穩(wěn)半波數(shù),當θ在[0,75]范圍內(nèi),臨界失穩(wěn)載荷逐漸增大,當θ=75°時,失穩(wěn)值達到最大為9.428 MPa,比初始值提高31.31%,此時的周向失穩(wěn)半波數(shù)n=3。

圖4和圖5分別給出x=2和x=3時[(±θ1)x/(±θ2)12-x]纏繞方式中角度對臨界失穩(wěn)載荷影響趨勢,從圖中可以看出纖維纏繞角度對臨界失穩(wěn)載荷有較大影響。由圖4(x=2)可知,臨界失穩(wěn)載荷的梯度主要受θ2的變化,即隨著θ2的增大,臨界失穩(wěn)載荷呈增大趨勢,最后稍有降低。而θ1主要影響梯度的疏密,當θ1≤45°時,梯度相對稀疏,當θ1≥45°時,梯度相對較密。由圖5(x=3)可知,臨界失穩(wěn)載荷的梯度主要受θ1的影響,即隨著θ1的增大,臨界失穩(wěn)載荷逐漸增大,但是,當θ1≤45°且θ2≤45°時,臨界失穩(wěn)載荷的梯度受θ2的影響,即隨著θ2的不同,臨界失穩(wěn)載荷發(fā)生變化。

綜合分析圖4和圖5可知,纖維纏繞角度及其對應(yīng)層數(shù)對殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性均有影響,當層數(shù)x發(fā)生變化,引起臨界失穩(wěn)載荷梯度的影響因素發(fā)生變化;由1.3節(jié)中方程式(11)可知,當纖維纏繞角度改變時,偏軸剛度發(fā)生變化,進而體現(xiàn)在方程式(10)中面內(nèi)剛度、耦合剛度和彎曲剛度的改變,最終表現(xiàn)在特征方程(25)中,在求解特征方程時,m和n是待定系數(shù),分別表征殼體失穩(wěn)時的軸向半波數(shù)和圓周半波數(shù),不同的待定系數(shù)產(chǎn)生不同的解,其中最小解即為臨界失穩(wěn)載荷,此時對應(yīng)的m值和n值即為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時的軸向半波數(shù)與圓周半波數(shù),這是Galerkin方法求解特征方程的基本思想。對比[(±θ)12]、[(±θ1)x/(±θ2)12-x]及[(±θ1)4/(±θ2)4/(±θ3)4]3種纏繞方式的優(yōu)化結(jié)果可知,隨著設(shè)計變量個數(shù)的增加,優(yōu)化后殼體臨界失穩(wěn)載荷逐漸增大。

圖3 [(±θ)12]臨界失穩(wěn)載荷 圖4 [(±θ1)x/(±θ2)12-x]臨界失穩(wěn)載荷(x=2) 圖5 [(±θ1)x/(±θ2)12-x]臨界失穩(wěn)載荷(x=3)

5 結(jié) 論

本文以纖維纏繞圓柱殼體為對象,從彈性薄殼理論分析入手,推導出纖維纏繞圓柱殼體穩(wěn)定性控制方程,采用Galerkin方法得到特征方程,求解出臨界失穩(wěn)載荷。該解析方法適用于以任意形式纏繞的圓柱殼體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性求解,并能表征結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模態(tài),具有物理解釋明晰的優(yōu)點。搭建了纖維纏繞圓柱殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性優(yōu)化平臺,對不同纏繞形式的殼體穩(wěn)定性進行數(shù)值優(yōu)化,分析纖維纏繞角度、對應(yīng)層數(shù)及設(shè)計變量個數(shù)對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響,結(jié)果表明,纖維纏繞角度對臨界失穩(wěn)載荷影響顯著,增加纖維纏繞角度變量,殼體結(jié)構(gòu)承載能力明顯增強,與初始值相比,文中的優(yōu)化結(jié)果最大提高率達57.17%。