高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)的研究

鄧永梅

（云南省玉溪第一中學(xué)，云南玉溪 653100）

隨著新時期教學(xué)改革的不斷深化，素質(zhì)教育對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求。作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，圓錐曲線知識在學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)中發(fā)揮關(guān)鍵作用。因此，教師要想提高教學(xué)效率，就必須要對圓錐曲線教學(xué)模式和方法進(jìn)行創(chuàng)新，盡可能地從學(xué)生的角度出發(fā)去設(shè)計教學(xué)活動，并且采用理論與實(shí)踐相結(jié)合的方式，提升學(xué)生解決問題的能力，進(jìn)一步調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助學(xué)生有效地理解和學(xué)習(xí)圓錐曲線知識，同時還能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

1 高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)的現(xiàn)狀分析

1.1 當(dāng)前教師的教學(xué)狀況分析

首先，無論是以學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力培養(yǎng)為目標(biāo)，還是以單純迎接高考為目的，當(dāng)前大多數(shù)教師都能對圓錐曲線的重要性進(jìn)行明確認(rèn)識，在實(shí)際教學(xué)中，他們往往會花費(fèi)更多的時間和精力對圓錐曲線的知識進(jìn)行講解。其次，盡管教師都能對圓錐曲線的重要程度有所認(rèn)識，但是教師在教學(xué)時還存在一定的思想和觀念的缺陷，他們往往認(rèn)為憑借長久以來積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)就能引導(dǎo)學(xué)生逐漸理解和領(lǐng)會圓錐曲線的內(nèi)涵，對于學(xué)生提出的一些創(chuàng)新的解題思路和方法，他們大多“置之不理”，顯然，這不但在一定程度上抑制了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還不利于進(jìn)一步提升教學(xué)效果。最后，在教學(xué)形式方面，大多數(shù)教師仍然采用“黑板+題海戰(zhàn)術(shù)”的模式，在課上教學(xué)時，教師要花費(fèi)大量時間進(jìn)行作圖，然后讓學(xué)生埋頭做題，在這樣的教學(xué)環(huán)境中，學(xué)習(xí)比較容易養(yǎng)成定向思維，盡管學(xué)生通過“模仿”，能夠從表層上了解圓錐曲線，但是理解缺乏深度，一旦難度加大，學(xué)生就會覺得吃力。

1.2 當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況分析

2 高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)案例展示及研究

2.1 對圓錐曲線的定義進(jìn)行明確

由于學(xué)生大多都是第一次了解圓錐曲線的內(nèi)容，因此教師首先要幫助學(xué)生了解圓錐曲線的定義，為什么雙曲線和拋物線要被稱作圓錐曲線，以如下例題為例，對圓錐曲線的定義進(jìn)行分析。

例1.如果有長度為定值的平面β，XY是其斜線段，其中X是斜足，點(diǎn)Z在β平面上運(yùn)動，使得三角形XYZ的面積為定值，問，點(diǎn)Z的運(yùn)動軌跡是怎樣的？

A.橢圓 B.圓 C.平行線

在這一案例中，我們可以根據(jù)已知條件進(jìn)行推算，其中三角形XYZ面積是恒定的，同時線段XY還是定值平面β上的斜線段，因此可以推斷出點(diǎn)Z到線段XY 的距離也是一個定值，通過這一點(diǎn)我們可以分析出點(diǎn)Z就位于圓柱的側(cè)面上，這個圓柱以XZ所在直線為軸，以點(diǎn)Z與XY的距離為地面半徑，同時又位于平面β上面，因此，點(diǎn)Z的軌跡就是圓柱側(cè)面同平面β的交線，然后結(jié)合圓錐曲線的定義不難得出選項A是正確答案。在這一過程的推算中，學(xué)生能夠?qū)A錐曲線的定義有一個全面的認(rèn)識，而且這種方法明顯比死記硬背定義的效果要好很多，因?yàn)橛行W(xué)生及時將定義背得滾瓜爛熟，但是在實(shí)際應(yīng)用中還是會無從下手。教師在實(shí)際教學(xué)中，引入這樣的案例，可以幫助學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶定義，從而能夠達(dá)到學(xué)以致用的目的。

2.2 結(jié)合案例對解題過程進(jìn)行演示

對于圓錐曲線的教學(xué)，教師在引導(dǎo)學(xué)生了解定義之后，就可以結(jié)合實(shí)際案例，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，來進(jìn)一步調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，以“圓錐曲線與方程”的教學(xué)內(nèi)容為例，教師在教學(xué)內(nèi)容引入環(huán)節(jié)可以對地球衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)軌道進(jìn)行講解，然后讓學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行聯(lián)想，然后在結(jié)合具體案例進(jìn)行教學(xué)。

例2.如果一個橢圓A和點(diǎn)B（9,3），X和Y是過點(diǎn)B的直線和橢圓的交點(diǎn)，再從XY上取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程。

這一案例的主要特點(diǎn)就是動點(diǎn)比較多，因此比較困難，教師可以通過實(shí)際演示的方式對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，然后讓學(xué)生可以結(jié)合相關(guān)參數(shù)解決實(shí)際問題。首先要確定參數(shù)，然后對點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)的參數(shù)進(jìn)行確定，最后再將參數(shù)消除，從而達(dá)到有效解決問題的目的，并可以快速得出正確答案。在這一過程中，學(xué)生可以加深對圓錐曲線知識的理解和應(yīng)用，還能鍛煉審題能力，為解題效率的提升創(chuàng)造條件。

2.3 對解題思路進(jìn)行總結(jié)，并把握關(guān)鍵要素

在正式教學(xué)過程中，教師可以結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行分階段的教學(xué)，比如，對于基礎(chǔ)階段的學(xué)生來說，教師可以先演示、再模仿，然后引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造。在解題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理解題思路，并有效把握關(guān)鍵要素，不能以得出答案為根本目的。

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例3.如果X+Y=1是圓O的方程，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,0），圓O上有一個動點(diǎn)H，線段HA的中點(diǎn)是N，要求計算點(diǎn)N的軌跡方程。

對于這一道題，首先可以將點(diǎn)N的坐標(biāo)用參數(shù)表示為（a，b），點(diǎn)H為（a1，b1），根據(jù)已知條件就可以得出（a1+3）/2=a，（b1+0）/2=b，由此可以得到a1=2a-3，b1=2b，另外，又知道點(diǎn)H是O上的一點(diǎn)，將其帶入到X+Y=1中，就得出其軌跡是（2x-3）+（2y）=1。

教師在講完這道題之后，不能得出答案就行了，而是要對解題技巧和方法進(jìn)行總結(jié)，比如，就這道題而言，動點(diǎn)N的變化是隨著H的變化而變化的，我們稱之為相關(guān)點(diǎn)，在正式解題中，只有找出這些點(diǎn)的坐標(biāo)之間關(guān)系，才能將參數(shù)進(jìn)行帶入，從而得出其運(yùn)動軌跡。

3 高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的主要教學(xué)思路分析——以橢圓知識為例

例4.（2017年高考全國一卷20題）已知橢圓C1：x2/a2+y2/b2=1，其中a＞b＞0，已知四個點(diǎn)P1、P2、P3、P4，坐標(biāo)依次為（1,1），（0,1），（-1，根號3/2）,(1，根號3/2)，其中有三個點(diǎn)在橢圓上，問：

（1）求橢圓方程；

（2）有直線L與橢圓交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，但不過P2點(diǎn)，如果直線AP2和BP2的斜率之和是-1，那么證明直線L過定點(diǎn)。

解題思路分析：

首先，對于這一問題，教師在教學(xué)時，首先要對題目所考察的知識點(diǎn)進(jìn)行明確，這道題明顯在考察學(xué)生對橢圓的定義和其性質(zhì)的理解和韋達(dá)定理的應(yīng)用，因此，教師在教學(xué)時要對這兩個知識點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)講解。

其次，對于這一個問題來說，我們對例題進(jìn)行簡要解析：

第一問比較簡單，明顯的，P3和P4關(guān)于y軸對稱，因此有橢圓的對稱性可以得出，這兩個點(diǎn)在橢圓上，又可以根據(jù)a、b和0 的大小關(guān)系推斷出點(diǎn)P1在C1上，因此只有P2點(diǎn)不在橢圓上，將P4，P3，P1點(diǎn)的坐標(biāo)帶入橢圓方程中就不難得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

第二問難度加大，主要考察學(xué)生對橢圓知識的綜合應(yīng)用能力。可以根據(jù)題目已知條件，設(shè)兩條直線的斜率分別為k1和k2，因此k1+k2=-1，再將直線L方程設(shè)為y=kx+m(m不等于1)（其中L與x軸垂直的條件不符題意，省略），然后將直線L方程帶入問題1求出的橢圓方程中，可以寫出判別式，然后根據(jù)韋達(dá)定理和k1+k2=-1的條件，就能夠判斷出L恒過定點(diǎn)了。

最后，以這道題為例，教師還要對學(xué)生的易出錯點(diǎn)進(jìn)行分析，對于第一問來說，學(xué)生比較容易出錯的地方可能在對點(diǎn)P1的判定上，因?yàn)橐徊糠滞瑢W(xué)在不等式的大小比較問題上經(jīng)常出錯，但只要將分子分母的大小關(guān)系和什么時候變號的問題認(rèn)清，就不會容易出錯，因此在第一問發(fā)生問題的幾率比較小。第二問對很多學(xué)生來說都是難點(diǎn)，第一，沒有設(shè)參數(shù)的意識；第二，對橢圓和直線的關(guān)系認(rèn)識不明確；第三，韋達(dá)定理應(yīng)用能力欠缺。這些都是學(xué)生容易出錯的原因，因此教師在教學(xué)時，要重點(diǎn)結(jié)合這三個方面內(nèi)容對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力進(jìn)行培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成一種意識，在接觸這類題時，能夠首先想到設(shè)參數(shù)，然后將相關(guān)問題聯(lián)系起來，并考慮應(yīng)用了哪一方面的知識，在理順清解題思路的基礎(chǔ)上，提高解題效率。

4 結(jié)語

綜上所述，作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最關(guān)鍵的組成部分，教師在進(jìn)行圓錐曲線教學(xué)時，首先一定要讓學(xué)生明確圓錐曲線的定義，這樣才能為接下來的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，然后再結(jié)合實(shí)際案例對解題過程進(jìn)行演示，讓學(xué)生在從模仿到創(chuàng)造的過程中對知識進(jìn)行深入記憶。當(dāng)然在這一過程中，教師還要注重教學(xué)方法的運(yùn)用，提高教學(xué)的實(shí)效性，保證教學(xué)工作更加順利地開展。