能力立意，啟發(fā)探究，突破瓶頸
2018-11-12 03:08:36張華
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2018年15期
張華
【摘要】本文結(jié)合近幾年高考提出以能力為主線的特點(diǎn)，提出注重在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，淡化題型和題海戰(zhàn)術(shù)的重要性.在教學(xué)過程中加強(qiáng)對學(xué)生在數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等基本知識(shí)本質(zhì)特征的理解、加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，用目標(biāo)引領(lǐng)條件轉(zhuǎn)化的意識(shí)增強(qiáng)其探究能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維意識(shí)能力，有效提高學(xué)生應(yīng)變能力，走出固化思維的困境，實(shí)現(xiàn)質(zhì)的改變.
【關(guān)鍵詞】特征分析能力；感知能力；誘思探究；累積升華
新課程高考下在數(shù)學(xué)方面提出新的要求就是以能力為主線考查學(xué)生對知識(shí)掌握、理解和運(yùn)用的程度，考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)知、感知和應(yīng)用能力.部分試題更接近生活，注重考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力和實(shí)際問題轉(zhuǎn)化、建模能力，注重“類”問題考查（2016，2017理數(shù)第17題；2016，2017第21題），注重?cái)?shù)學(xué)思想與方法，注重知識(shí)的交匯，立意新穎、構(gòu)思巧妙，能很好檢測學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).這務(wù)必促使學(xué)生由傳統(tǒng)應(yīng)試型向?qū)嵺`探究型進(jìn)行轉(zhuǎn)變，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提升數(shù)學(xué)閱讀能力，新信息的理解和轉(zhuǎn)化能力.課堂教學(xué)作為整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的重心，教師在教學(xué)中的復(fù)習(xí)導(dǎo)向?qū)W(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、復(fù)習(xí)方向、能力提升起著舉足輕重的作用，既要讓學(xué)生摒棄題海戰(zhàn)術(shù)的不良影響，而另一方面，又需要通過相應(yīng)的題目來提升學(xué)生的感知能力和特征分析能力，平衡“量”的問題是每一位高三教師應(yīng)該思考的，從泛練到精煉，引導(dǎo)學(xué)生從量到質(zhì)的改變.
一、在課堂教學(xué)中重視以學(xué)生活動(dòng)為主體，有意識(shí)提升學(xué)生特征分析能力，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的感知能力
高三階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以建立知識(shí)的系統(tǒng)性為主，構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，理順清楚知識(shí)的脈絡(luò).如果把各種知識(shí)比喻成珠子，那么數(shù)學(xué)思想方法就應(yīng)該是鏈子，如何能發(fā)揮學(xué)生對知識(shí)的掌控能力和運(yùn)用能力，關(guān)鍵是把數(shù)學(xué)思想方法貫穿到所有知識(shí)中去，強(qiáng)調(diào)不同知識(shí)之間的互通和聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)解題時(shí)先看問題或者條件的特征，不能草率魯莽主觀介入思想方法.教師在帶領(lǐng)學(xué)生研究問題時(shí)應(yīng)該多提示，少整體講解，注重分析過程，注重學(xué)生在做的過程中易出現(xiàn)的錯(cuò)漏，注重細(xì)節(jié)分析過程.比如，在復(fù)習(xí)立體幾何二面角專題時(shí)，學(xué)生的思維固定，不分青紅皂白地建系，而忽視對問題幾何特征的分析，筆者在講二面角專題時(shí)選了這樣一道問題：
如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分別是CC1，AB的中點(diǎn).
（1）求證：CE∥平面A1BD；
（2）若H為A1B上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CH與平面A1AB所成最大角的正切值為152時(shí)，求平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值.
學(xué)生在解決第（2）問時(shí)，習(xí)慣一開始就建立坐標(biāo)系，而忽視對CH與平面A1AB所成最大角的正切值為的152幾何理解，通過設(shè)AA1=x，通過函數(shù)的角度來求線面角的最大值，發(fā)現(xiàn)只能堆砌式子無法求解，這都是學(xué)生解題過程的定式思維造成的，這對立體幾何問題研究是很不利的，本題應(yīng)該先抓住H落在A1B何處時(shí)，得最大角正切為152，先做出線面角的平面角，即可找出當(dāng)EH⊥A1B時(shí)，線面角平面角達(dá)到最大，從而解決AA1的長度與底面邊長關(guān)系，突破本題所設(shè)置的障礙.
在高三復(fù)習(xí)過程中，由于課堂容量大，重視問題的解法，而對某些性質(zhì)或者定理只是蜻蜓點(diǎn)水，一帶而過，這些都是我們教師在教學(xué)過程中的誤區(qū).其實(shí)這違背了數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的過程，沒有進(jìn)行研究和推理得出來的性質(zhì)是很難長期保存的，如果學(xué)生對其只有朦朧的印象，而沒有經(jīng)過意識(shí)加工，是很難得以運(yùn)用的.許多性質(zhì)對學(xué)生來說仍是朦朧的，不熟悉的，這非常有必要讓學(xué)生能利用已有知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)，這樣他才能將掌握的性質(zhì)運(yùn)用自如.
比如，在講過拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)時(shí)：y2=2px，過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，研究AF與BF關(guān)系問題時(shí)，如果直接將結(jié)論拋給學(xué)生1AF+1BF=2p，學(xué)生在腦海中的印象是不深刻的，如果讓學(xué)生自己推導(dǎo)，估計(jì)更多學(xué)生會(huì)從方程和弦長的角度進(jìn)行推導(dǎo)，而忽視拋物線定義和幾何特征的應(yīng)用.引導(dǎo)學(xué)生從直線傾斜角結(jié)合拋物線的定義，可得AF=p1-cosα，BF=11+cosα（α為傾斜角），這樣就可以順利解決AB在變化過程中的不變性，那么對以后此類問題均可以用此解決，該結(jié)論可以快速解決2017年高考選擇題第（11）題：已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（）.
A.16
B.14
C.12
D.10
我們常講餓死膽小的撐死膽大的，要鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)特征合理大膽猜測，小心求證，從而推動(dòng)自己對數(shù)學(xué)感知能力的提升，很多問題學(xué)生往往不敢邁開步子，怕錯(cuò)，可能就不能有效抓住頭腦中閃過的靈感.在課堂教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生去猜去試，一方面，能練膽，另一方面，可以激發(fā)解決問題的欲望，有效突破思維的瓶頸.
二、在課堂教學(xué)中積極引入“誘思點(diǎn)撥”教學(xué)理念，通過循循善誘，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛能
每名學(xué)生都具備學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能，但學(xué)生潛在的能力被開發(fā)了多少直接影響學(xué)生的解題能力.“誘思點(diǎn)撥”的主要理念是“盤敲側(cè)擊，以思為學(xué)，層層遞進(jìn)，螺旋上升”，要求以“訓(xùn)練為主干，以提升思維能力為主線”.高三數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更應(yīng)是注重學(xué)生思維能力的啟發(fā)，努力培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題，努力提升學(xué)生的綜合能力和聯(lián)想能力，引導(dǎo)學(xué)生思維多層次縱向發(fā)展.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)是主體在頭腦中建立、聯(lián)系、轉(zhuǎn)換和發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程，是主體的一種自覺的“生成能力”的行為.這種行為應(yīng)從主體的頭腦中產(chǎn)生出來，教師只起到一個(gè)助產(chǎn)和推動(dòng)的作用.因此，“誘”是思維的根本，“思”是思維訓(xùn)練的主攻方向，點(diǎn)撥是教師操作手段，以誘達(dá)思.
（一）在教學(xué)過程中可以通過設(shè)置學(xué)生感興趣的問題來實(shí)現(xiàn)誘導(dǎo)學(xué)生思維的積極性，比如，在復(fù)習(xí)等比遞推關(guān)系的時(shí)候可以引入羊群問題；在講推理的時(shí)候引入農(nóng)夫，狼，羊，青菜運(yùn)送過河問題.而且現(xiàn)在高考中也會(huì)設(shè)置能利用數(shù)學(xué)知識(shí)或者數(shù)學(xué)推理解決的現(xiàn)實(shí)生活問題.這樣首先能讓學(xué)生去主動(dòng)積極的思考，然后學(xué)會(huì)通過引入知識(shí)來進(jìn)行判斷，而不是盲目的猜測，既鞏固了已有的知識(shí)，還促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展.
（二）通過設(shè)疑誘導(dǎo)，讓學(xué)生當(dāng)診斷醫(yī)生，對問題的表達(dá)過程進(jìn)行“挑刺”，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.通過這幾年的教學(xué)筆者發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在學(xué)生思維的嚴(yán)密性相比較而言有一定的下降了，我們可以先選擇一些有問題的解題過程（比較符合學(xué)生思維過程的），先讓學(xué)生進(jìn)行診斷，找出誤區(qū)點(diǎn)，并指出錯(cuò)誤所違背的原理，然后思考如何解決存在的問題，最后歸納總結(jié)和反思.比如，討論含參二次函數(shù)零點(diǎn)問題經(jīng)常忘記討論二次項(xiàng)前系數(shù)符號(hào)問題（2017年高考第21題就涉及這個(gè)問題），利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性經(jīng)常忘記函數(shù)定義域問題.對問題中的細(xì)節(jié)條件容易忽視，考慮問題不全面，從而失去了應(yīng)有的得分.通過對錯(cuò)誤解答過程的認(rèn)識(shí)，就能讓疑慮引起認(rèn)識(shí)沖突，激發(fā)認(rèn)識(shí)需求.這樣既避免他們思考問題的盲目性，又讓他們重視了解題的細(xì)節(jié)過程，逐漸提高思維的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性.教學(xué)過程其實(shí)就是一個(gè)不斷地設(shè)疑、破疑、再設(shè)疑的過程，而學(xué)生提出問題、解決問題的過程就是在不斷完善自身知識(shí)的一個(gè)過程.通過疑問思考再破疑所獲取的知識(shí)遠(yuǎn)比單純直接獲得的知識(shí)要有價(jià)值得多.
三、在復(fù)習(xí)過程中緊扣考綱，重視學(xué)生差距，尊重學(xué)生選擇
高三教學(xué)重點(diǎn)在復(fù)習(xí)，傳統(tǒng)教學(xué)模式下一般是教師手握復(fù)習(xí)資料，長篇大論，學(xué)生臺(tái)底下緊緊跟隨教師的步伐，從而導(dǎo)致教師主導(dǎo)與學(xué)生主體關(guān)系不明確，容易變成教師變成主角，學(xué)生由主演變成配角，課堂內(nèi)容充實(shí)，但學(xué)生對知識(shí)的掌握只停留在大腦皮層，沒有深層次的加工，所以學(xué)生對知識(shí)就不能運(yùn)用自如.而教學(xué)生“怎樣學(xué)”就是引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)自己知識(shí)的缺漏，思維的薄弱點(diǎn)，多反思為什么自己想不到，轉(zhuǎn)換不到位，只有產(chǎn)生一系列問題后，他才能清楚知道自己的病癥所在，才能主動(dòng)聯(lián)系相關(guān)知識(shí)去消除這些障礙.把你要他學(xué)的東西變成他自己要學(xué)的東西，學(xué)生主體性、主動(dòng)性自然出來了，教師主導(dǎo)作用也發(fā)揮了.同時(shí)教師還有一個(gè)更重要的任務(wù)就是引導(dǎo)學(xué)生去概括，總結(jié)，濃縮知識(shí)要點(diǎn)，形成自己的理解和表達(dá)方式，這樣才能更好消化知識(shí)，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生建立章節(jié)復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu)流程圖，建立知識(shí)的系統(tǒng)性，加強(qiáng)知識(shí)交匯處聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)方法思想之間的銜接，提升學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.如，教到函數(shù)與不等式、數(shù)列與不等式等，學(xué)生自己根據(jù)相關(guān)例題、習(xí)題總結(jié)、歸納和反思，教師組織學(xué)生進(jìn)行討論，共享成果，互相促進(jìn).高三課堂教學(xué)，板演不能丟，特別對一些重要知識(shí)點(diǎn)如錯(cuò)位相減法、立體幾何證明過程等，讓中等偏下學(xué)生板演練習(xí)效果更佳，充分認(rèn)識(shí)、理解學(xué)生就是要全面掌握學(xué)生水平，充分發(fā)動(dòng)學(xué)生主觀能動(dòng)性，實(shí)現(xiàn)師生交流碰撞，學(xué)生的思考由被動(dòng)變主動(dòng).數(shù)學(xué)不同于語文等其他學(xué)科，它是抽象和應(yīng)用相結(jié)合，時(shí)刻離不開獨(dú)立思考，教師的探究與體驗(yàn)過程代替不了你的，更成就不了你的思維意識(shí).學(xué)習(xí)的過程就是由表及里，由體驗(yàn)到實(shí)踐的升華，通過問題實(shí)現(xiàn)體驗(yàn)領(lǐng)悟與掌握的過程.所以高三教學(xué)僅有外部熱鬧，形式上華麗實(shí)質(zhì)上沒有意義是行不通的，我們教學(xué)過程要使學(xué)生大腦有充裕的思想活動(dòng)空間，在課堂教學(xué)中使學(xué)生從坐而聽向思而講的方式邁進(jìn)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽合理猜想和構(gòu)建聯(lián)系.
四、重視累積效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)方法的遷移，力求從會(huì)解一道題到能解一類題的升華
通性通法講解在高三課堂教學(xué)過程中是非常重要的環(huán)節(jié).教師要實(shí)現(xiàn)這一個(gè)過程需要豐富的素材，要潛心鉆研知識(shí)與方法的融合，在把握主干的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對于該類問題的操作方向，總結(jié)歸納在解這類問題時(shí)把握的核心要點(diǎn)，比如，研究解三角形問題上針對對邊、對角問題，就可以總結(jié)歸納利用余弦定理建立方程思想解決問題，這一點(diǎn)在2016年和2017年高考中得到充分體現(xiàn)：（2016年）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的面積為322，求△ABC的周長.（2017年）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a23sinA.（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.都是先解決對邊對角問題.學(xué)生只要掌握這一類問題的特征，就能迅速鎖定目標(biāo)求解，從而少走彎路.數(shù)學(xué)問題解決由表及里，并能看到問題的外延.累積思想方法可以實(shí)現(xiàn)在不同知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)的遷移和運(yùn)用，從而實(shí)現(xiàn)方法的跨越.比如，數(shù)列中不等式問題用到放縮法思想：
恒等變換下無法求要證不等式的和，需要將條件中的等式關(guān)系進(jìn)行放縮，學(xué)生最難接受就是不等式變換，因?yàn)樾枰獙W(xué)生具有放縮意識(shí)，需要舍棄等式中一些量，舍棄什么舍棄多少就是放縮的難點(diǎn)所在，bn+1+1=b2n+bn+2>b2n+bn，這是一個(gè)跨越.將不等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)1bn+1+1<1bn（bn+1）1bn+1+11bn+1<1bn，由數(shù)列{bn}單調(diào)遞增，b2=3，則在保留1b1+1，從第二項(xiàng)起放縮成以14為首項(xiàng)，13為公比的等比數(shù)列，即可證明不等式成立.最后還可以編成順口溜：數(shù)列求和想清楚，不能恒等便放縮；放縮意識(shí)不含糊，方向尺度要把握；裂項(xiàng)等比要鞏固，分析特征求突破.而在數(shù)列類放縮證明不等式思想可以遷移到函數(shù)類不等式問題，如2017年高考第21題第（2）問解決零點(diǎn)存在性問題時(shí)就用到放縮法的思想，已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.需要把函數(shù)f（x）中的x縮小成ex，這樣可以順利找出當(dāng)0
總而言之，有效的課堂教學(xué)其實(shí)就是對自己學(xué)生有目的地培養(yǎng)，不僅讓他們能在高考中取得理想的成績，更重要的是讓他們無形感覺自己的思維意識(shí)和思維品質(zhì)都有了很大的提高.我們通常說沒有量的積累就沒有質(zhì)的飛躍，我們不能硬性強(qiáng)迫學(xué)生接受數(shù)學(xué)知識(shí)，因?yàn)檫@會(huì)降低他們的運(yùn)用能力，而要讓他們能充分意識(shí)到是為了提高自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)能力而學(xué)習(xí).有效的高三課堂教學(xué)，一方面能讓他們感覺復(fù)習(xí)是針對現(xiàn)行的高考，但又在潛移默化中感知自身數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升，而數(shù)學(xué)能力的提升又相應(yīng)發(fā)展了他們其他方面的能力，學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量也會(huì)有相應(yīng)的提高.提高他們的觀察、分析、辯證、歸納、總結(jié)、創(chuàng)新等各項(xiàng)能力，這不就是我們新課程所期待的結(jié)果嗎？高三復(fù)習(xí)的目的不能僅僅為了高考150分服務(wù)，更重要的是讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)行為習(xí)慣，從被動(dòng)接受知識(shí)運(yùn)用知識(shí)到主動(dòng)思考問題，延伸問題并有效解決問題，讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為推動(dòng)思維能力發(fā)展的助燃劑，實(shí)現(xiàn)理性認(rèn)知與感性認(rèn)知的完美結(jié)合.
