一元函數(shù)極限的常見計算方法

摘 要：函數(shù)極限作為微積分的基礎(chǔ)，是微積分中的重要內(nèi)容，該部分的計算方法和原理在后續(xù)學(xué)生專業(yè)課中也有廣泛的應(yīng)用。但是，函數(shù)的極限求解方法較多，在學(xué)習(xí)過程中難以把握計算規(guī)律。因此，對常見函數(shù)的極限求解應(yīng)當(dāng)分門別類，歸納求解。

關(guān)鍵詞：一元函數(shù)；極限；復(fù)合

1 數(shù)列型函數(shù)極限的求解

定義1：設(shè)數(shù)列中若在趨近于無窮大時[1]，通項無限趨近于唯一一個確定的常數(shù)，則稱為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列的極限為，記作。

（1）直接求解法

利用極限的定義直接對數(shù)列的通項進(jìn)行求解，得到答案。

例如，.

（2）先化簡后求解

利用相應(yīng)的公式對數(shù)列的通項進(jìn)行化簡，在進(jìn)行極限計算。例如，

（3）分母有理化

利用平方差公式的構(gòu)造原理[2]，對帶有根式差的式子進(jìn)行求解。例如，

2 一元函數(shù)極限的求解

2.1 的情形

（1）若式子可化簡，當(dāng)函數(shù)的變量時，可將理解為，利用上述1 數(shù)列型函數(shù)極限的求解方法進(jìn)行求解。

例如，

（2）若式子不可化簡或化簡很復(fù)雜時，可以采用型的洛必達(dá)法則進(jìn)行[3]。

例如，

2.2 的情形

（1）當(dāng)在函數(shù)的定義域中，利用公式求解。

例如，

（2）當(dāng)不在函數(shù)的定義域中

1）可約分型

采用約分、合并等方法，將其變?yōu)樵诤瘮?shù)的定義域中方法進(jìn)行。

例如，

2）不可約分

第一種情形：型極限的求解

方法一：對于極限的求解可利用公式進(jìn)行計算。

例如，.

方法二：對于的求解也可以采用型的洛必達(dá)法則進(jìn)行.

例如，.

第二種情形：利用公式，進(jìn)行極限的求解。

例如，.

2.3 其它函數(shù)的情形

（1）復(fù)合函數(shù)

利用換元法將復(fù)合函數(shù)變?yōu)椴粡?fù)合的函數(shù)[4]。

例如，，令，則.

（2）分段函數(shù)

若對分段函數(shù)的極限求解首先觀察趨近點(diǎn)是否為分段點(diǎn)。若不是分段點(diǎn)，則利用當(dāng)在函數(shù)的定義域中的計算方法求解。若是分段點(diǎn)，則利用左右極限的方法進(jìn)行求解。

例如，，求，。

1）因為1不是分段點(diǎn)在直接利用=。

2）因為0是上述函數(shù)的分段點(diǎn)，所以利用左右極限的方法求解。

因，，

所以，即不存在。

3 總結(jié)

以上就是一元函數(shù)極限的常見題目的求解，在相應(yīng)題目的計算上，應(yīng)具體問題具體分析，尋求準(zhǔn)確的方法進(jìn)行計算，保證計算的正確性。

基金項目

瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2015年度院級教改項目（JG-201504）；瀘州市職業(yè)教育研究中心2016年度研究課題（LZJY-2016-18）

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 葉永春等.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2017.

[3] 陳廣生.高職院?！陡叩葦?shù)學(xué)》課堂教學(xué)最優(yōu)化研究[J].大眾科技，2010，（12）.

[4] 熊慶如.高等數(shù)學(xué)[M].西安：西安交通出版社，2015.

作者簡介

張延利（1980.9-），男，山東萊蕪人，碩士，講師，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

（作者單位：瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部）