求解雙層彈性膜單側(cè)接觸問題的Uzawa算法*

嚴月月， 鐘艷麗， 郭楠馨

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331)

雙層彈性膜問題的數(shù)值模擬是近年來廣受關(guān)注的一個問題，問題的數(shù)學模型是建立在彈性基本定律上的，遵循以下兩個原理：兩個膜之間不能相互滲透；在兩個彈性膜的接觸面，遵循牛頓的作用——反作用定律，即每個膜對另一個膜有相同的作用。由這些理論，便可得到一個由偏微分等式和不等式構(gòu)成的數(shù)學模型，并利用變分原理可得到相應的變分形式[1-2]。由文獻[3]可知該問題的解存在且唯一。給出一種求解上述問題的Uzawa算法，并證明該算法的收斂性。通過數(shù)值算例驗證該方法的有效性。

1 雙層彈性模問題及變分形式

討論如下彈性膜問題：

(1)

其中Ω?R2是一個有界、連通的開集，且邊界?Ω為Lipschitz連續(xù)的。

在這個模型中，u1和u2是未知量，表示兩個膜垂直方向的位移，Lagrange乘子λ表示第二個膜在第一個膜上的作用量，f1和f2是外部壓力。模型中的邊界條件意味著第一個膜在距離邊界?Ω為g時固定(g是一個非負函數(shù))，第二個膜在邊界處固定。

首先引入幾個函數(shù)空間：

凸子集：

Λ={χ∈L2(Ω);χ≥0幾乎處處在Ω上}；

凸集：

為了考慮邊界條件g的非負性，錐定義為：

由文獻[4]知道問題(2)滿足如下結(jié)論：

‖u1‖H1(Ω)+‖u2‖H1(Ω)+‖λ‖L2(Ω)≤

a(w，z)≤μ|w|H1|z|H1

(4)

若a(v，v+)≤0，則v+=0(其中v+=max(0，v))。

(5)

那么對于等式

(6)

左右兩邊同時乘以v1和v2，利用Green公式可得到如下變分等式：

由文獻[7-8]可知u1-u2≥0，λ≥0，(u1-u2)λ=0等價于λ=max(0，λ+c(u2-u1))，其中c>0，λ≥0。因此得到問題(1.1)的等價變分投影形式如下：

(8)

2 Uzawa算法及收斂性分析

利用式(8)和文獻[9]中的Uzawa算法，從而得到求解問題(1)的Uzawa算法，具體過程如下：

置k=0，γ為足夠小的正參數(shù)；

第二步由

解出λ(k+1)；

第三步求解問題

第四步停止或返回第二步。

利用以上算法原理和問題的性質(zhì)，可得如下收斂性定理：

(9)

(10)

由式(9)減去式(10)可得：

(11)

在式(11)中令

再把兩式相加可得：

因此

‖λ(k+1)-λ(*)‖2=

所以有

‖λ(k+1)-λ*‖2，

所以有

3 數(shù)值算例

用本文方法對問題(1.1)進行數(shù)值測試。考慮在正方形區(qū)域Ω=(-1，1)×(-1，1)上的極坐標(r，θ)，令g=0.05，0≤θ≤2π，(u1，u2，λ)是問題式(1)的解，其中

u1(r，θ)=g(2r2-1)，0≤r≤1

相應的，滿足(1)的f1，f2如下：

膜的位移u1-u2數(shù)值解結(jié)果如下圖所示：

圖1 u1-u2數(shù)值解結(jié)果Fig.1 Numerical results of u1-u2

圖2 自由邊界的數(shù)值解和解析解結(jié)果Fig.2 Numerical solutions and analytical solutions of free boundary