有限域上一類特殊正規(guī)基的存在性*

李 波

(重慶師范大學(xué) 涉外商貿(mào)學(xué)院，重慶 合川 401520)

1 引言和引理

設(shè)q為素?cái)?shù)的方冪,n為正整數(shù),Fqn是q元域Fq的n次擴(kuò)張。若ξ∈Fqn，N={ξ,ξq,…,ξqn-1}是Fqn在Fq上的一個(gè)基, 則稱N為Fqn在Fq上的一個(gè)正規(guī)基,ξ為正規(guī)元。Hensel[1]首先證明了正規(guī)基定理: 對任意的q,n, 一定存在Fqn在Fq上的正規(guī)基。 由于有限域上的正規(guī)基在運(yùn)算上的高效性, 使得它在代數(shù)編碼、密碼學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 關(guān)于它的研究已經(jīng)非常豐富[1-11]。

設(shè)f(x)∈Fq[x],Φ(f(x))表示Fq[x]上次數(shù)小于f(x)且與f(x)互素的首一多項(xiàng)式的個(gè)數(shù),Ω(f(x))表示Fq[x]上f(x)的互異首一不可約因子的個(gè)數(shù)。文獻(xiàn)[2]對Ω=Ω(xn-1)的范圍進(jìn)行了估計(jì)。

引理1[2]設(shè)q為素?cái)?shù)方冪,n為正整數(shù), 則

Ω≤[n+(n,q)]/2。

注記1Ω=n?n|q-1; 當(dāng)n不整除q-1時(shí),

注記2 當(dāng)α,β不同時(shí)為零時(shí),

文獻(xiàn)[3]給出了互反本原正規(guī)元存在的一個(gè)充分條件。文獻(xiàn)[4]給出了特征2的有限域上, 擴(kuò)張次數(shù)為奇數(shù)時(shí), 一類特殊本原正規(guī)元存在的兩個(gè)充分條件。對于文獻(xiàn)[4]中研究的特殊本原正規(guī)元的存在性, Cohen[5]利用一類特殊混合特征和的估計(jì)與篩法, 得到了如下結(jié)果: 當(dāng)n≥3時(shí), 存在Fqn在Fq上的本原正規(guī)元ξ, 使得ξ+ξ-1為Fqn上的本原元, 其中q為偶數(shù)。 受此啟發(fā), 利用有限域上基本的特征和估計(jì), 討論了q為任意素?cái)?shù)方冪時(shí),ξ和ξ+ξ-1同時(shí)Fqn在Fq上的正規(guī)元的ξ的存在性。

設(shè)ξ∈Fqn, 定義運(yùn)算定義運(yùn)算f(x)·ξ=f(σ)(ξ),其中σ(ξ)=ξq。容易驗(yàn)證此運(yùn)算構(gòu)成Fq[x]-模, 且(xn-1)·ξ=0。 所以,ξ在Fq[x]中的零化子是Fq[x]中的非零主理想。 記Ord(ξ)為Fq[x]零化ξ的理想的首一生成元。 顯然,Ord(ξ)|xn-1, 且ξ為Fqn在Fq上的正規(guī)元?Ord(ξ)=xn-1。

于是,ξ為非f(x)倍式元?Ord(ξ)=xn-1?ξ為Fqn在Fq上的正規(guī)元。

如果H是xn-1在Fq[x]中的首一因子。 對任意的ξ∈Fqn, 令：

(1)

則由引理3可知,

(2)

2 主要結(jié)論及證明

證明設(shè)T=xn-1, 由式(2)及R(1,ξ)=R(1,ξ+ξ-1)=1, 可得V(q,n)的計(jì)數(shù)公式

(3)

將式(3)中的R(H,ξ),R(G,ξ+ξ-1)按(1)式展開, 得

(4)

設(shè)χ1是Fqn上的標(biāo)準(zhǔn)加法特征, 則存在α,β∈Fqn, 使得χ[H]=χα,χ[G]=χβ, 且當(dāng)G≠1時(shí),α≠0。 從而

再由注記2可得,

(5)

當(dāng)G≠1,H≠1時(shí), 即α≠0,β≠0。 由注記2及有限域上加法特征的性質(zhì), 有

(6)

另一方面, ∑χ[G]1=Φ(G),∑χ[H]1=Φ(H),∑G|T,G≠11=∑H|T,H≠11=2Ω-1。

現(xiàn)在將式(4),式(5)代入式(3), 整理得

(7)

由式(7), 要使V(q,n)>0, 只需

(8)

(9)

t2-2(s+s2)t>s+1。

(10)

推論1 設(shè)(q,n)=1,n|q-1, 則(q,n)滿足下列之一時(shí),V(q,n)>0,

(1) 2≤n≤3,q≥25;

(2) 4≤n≤8,q≥23;

(3) 9≤n≤22,q≥19;

(4)n≥23,q≥17。

(1) 當(dāng)n=2時(shí),q>32；

(2) 當(dāng)n=3時(shí),q>25；

(3) 當(dāng)n=4,5時(shí),q≥22；

(4) 當(dāng)n=6時(shí),q>21；

(5) 當(dāng)n=7,8時(shí),q≥20；

(6) 當(dāng)n=9,10,11時(shí),q>19；

(7) 當(dāng)n=12，…，22時(shí),q≥18；

另一方面, 由Ω=n可驗(yàn)證:n=2,q=25,27,29,31及n=3,q=25時(shí), 式(9)成立。

推論2 設(shè)(q,n)=1,n不整除q-1, 則(q,n)滿足下列之一, 可使V(q,n)>0,

(1) 2≤n≤3,q≥16;

(2) 4≤n≤6,q≥11;

(3)n≥7,q≥9。

(1) 當(dāng)n=3時(shí),q>12；

(2) 當(dāng)n=4時(shí),q>11；

(3) 當(dāng)n=5，6時(shí),q>10；

(4) 當(dāng)n=7，…，11時(shí),q≥9；

可直接驗(yàn)證:(q,n)=(16,2),(11,4), 式(9)成立。

定理2的證明方法與定理1相同, 證明過程中可得V(q,n)>0的另一充分條件

(11)

(12)

推論3 設(shè)q為2的方冪,n=2h且(2,h)=1, 當(dāng)q≥8時(shí), 有V(q,n)>0。

(1) 當(dāng)h=3，5,7時(shí),q≥4；

(2) 當(dāng)n=9,11時(shí),q≥3；

綜合(i),(ii)可得結(jié)論。

定理3 設(shè)q為2的方冪, 若n=2, 則V(q,

n)=q2-2q。

證明因q為2的方冪, 則Fq2在Fq上正規(guī)元的個(gè)數(shù)為q2-q, 即任意的ξ∈Fq2Fq都是Fq2在Fq上正規(guī)元。

(ξ+ξ-1)q=α(q2-1)j+(1-q)j+α-(q2-1)j+(q-1)j=

α(1-q)j+α(q-1)j=ξ+ξ-1,

即ξ+ξ-1(∈Fq)不是Fq2在Fq上正規(guī)元。 若ξ≠α(q-1)j,1≤j≤q, 設(shè)ξ=α(q-1)j+r,1≤r≤q-2。 假設(shè)ξ+ξ-1=(ξ+ξ-1)q, 則

(ξq+1-1)(ξq-1-1)=0。

而ξq-1≠1, 從而ξq+1-1=α(q+1)r-1=0。 則q-1|r, 這不可能, 故假設(shè)不成立, 即ξ+ξ-1(?Fq)是Fq2在Fq上正規(guī)元。 從而,V(q,n)=q2-2q。

例取n=2,q=8的情形。

F82=F2[α],其中α6+α5+1=0,則

F8={0,1,α9,α18,α27,α36,α45,α54}。

由于任意的ξ?F8都是F82在F8上正規(guī)元。 不妨取ξ=α6, 則

ξ+ξ-1=α4(?F8)

也是F82在F8上的正規(guī)元。