GM(1,1)Power Model for Prediction of Oil and Gas Production

Junliang Li, KYMBAT BOLATKAN

School of Petroleum Engineering, Yangtze University, Wuhan Hubei

Abstract

Keywords

1.引言

油氣產(chǎn)量預(yù)測(cè)是油氣田制定長期規(guī)劃的主要依據(jù)。由于影響油氣產(chǎn)量的因素眾多，這給建立理論模型帶來一定的困難。根據(jù)系統(tǒng)分析的原理，利用生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)是目前被廣泛采用的方法，其中選擇科學(xué)合理的模型是研究的重點(diǎn)。在20世紀(jì)90年代及以前，就已經(jīng)提出了多種預(yù)測(cè)模型，例如Arps模型[1]、翁氏模型[2]、t模型[3]、Weibull模型、貝塔旋回模型[4]、HCZ模型、伽馬旋回模型等一系列模型。但目前在現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用最廣的仍是Arps模型[5][6][7]。但Arps模型選擇標(biāo)準(zhǔn)曲線受主觀因素影響大，尤其對(duì)于非光滑序列，選擇初始遞減率和遞減指數(shù)困難，誤差大。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，智能算法也逐漸被用來預(yù)測(cè)油氣產(chǎn)量，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法等[8][9][10]。但智能算法需要樣本量大，對(duì)于少數(shù)據(jù)的情況難以推廣應(yīng)用。

油氣田產(chǎn)量影響因素錯(cuò)綜復(fù)雜，因此油氣生產(chǎn)系統(tǒng)可以看成一個(gè)不確定系統(tǒng)。針對(duì)該系統(tǒng)“小樣本”、“貧信息”的特征，灰色預(yù)測(cè)模型也在產(chǎn)量預(yù)測(cè)中得到廣泛應(yīng)用。相對(duì)GM(1,1)模型，GM(1,1)冪模型可以滿足更多形狀序列的模擬[11]。筆者在分析Arps產(chǎn)量遞減模型的基礎(chǔ)上，采用GM(1,1)冪模型進(jìn)行油氣產(chǎn)量和產(chǎn)量遞減率預(yù)測(cè)，取得了很好的效果。

2.Arps產(chǎn)量遞減模型

Arps產(chǎn)量遞減模型是目前應(yīng)用最廣的一種模型，該模型形式如下：

式中：a、ai分別為時(shí)間t和初始時(shí)刻的產(chǎn)量遞減率，mon?1或a?1，表示單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的變化率。定義式為：

式中：Q、Qi分別為時(shí)間t和初始時(shí)刻的產(chǎn)量，單位是t/mon或t/a；n為遞減指數(shù)，當(dāng)n=0時(shí)稱為指數(shù)遞減；當(dāng)n=1時(shí)稱為調(diào)和遞減；當(dāng)n=0.5時(shí)稱為產(chǎn)量衰減；當(dāng)0＜n＜1且n≠0.5時(shí)稱為雙曲遞減。該次研究不考慮指數(shù)遞減，即取0＜n≤1。

聯(lián)立式(1)和式(2)可以得到：

取遞減初始條件，t=0時(shí)iQ=Q，則可以得到產(chǎn)量和遞減率隨時(shí)間變化的公式：

3.GM(1,1)冪模型

為的均值生成序列，則稱：

為GM(1,1)冪模型。

根據(jù)最小二乘法，GM(1,1)冪模型的參數(shù)可按下式求解：

GM(1,1)冪模型的白化方程為：

根據(jù)式(6)和式(9)可以看出，Arps產(chǎn)量遞減模型也是冪模型，是GM(1,1)冪模型在A=0時(shí)的特例。

GM(1,1)冪模型白化方程的通解為：

式中：C為任意常數(shù)。取遞減初始條件，可以得到產(chǎn)量隨時(shí)間變化公式：

根據(jù)式(2)和式(10)可以得到：

將式(11)代入式(12)即可得到GM(1,1)冪模型的產(chǎn)量遞減率隨時(shí)間的變化公式：

4.模型的求解方法

不同油田產(chǎn)量的遞減規(guī)律不同，表現(xiàn)在初始遞減率ai和遞減指數(shù)n不同，而又主要取決于n的變化情況。影響n的因素很多，如巖石性質(zhì)、驅(qū)動(dòng)方式、地質(zhì)條件以及開采方式等，所以n變化范圍很廣，其選擇和應(yīng)用都比較麻煩。Arps產(chǎn)量遞減模型采用標(biāo)準(zhǔn)曲線對(duì)比法求解ai和n，受主觀影響大，誤差大，尤其對(duì)于不規(guī)則序列，難以選擇標(biāo)準(zhǔn)曲線。GM(1,1)冪模型可以滿足多種形狀序列的模擬，這主要取決于A、B和m的大小，但同樣存在m求解難的問題。筆者通過構(gòu)建最優(yōu)化模型，利用智能算法求解m。

油田產(chǎn)量遞減規(guī)律一般是隨著時(shí)間推移，產(chǎn)量遞減變慢，最后趨近于0。根據(jù)GM(1,1)冪模型的性質(zhì)，進(jìn)行產(chǎn)量遞減預(yù)測(cè)時(shí)應(yīng)有A＞0、m＞1。由式(7)，參數(shù)A、B可以看成m的函數(shù)，即構(gòu)建相對(duì)誤差函數(shù)，建立以相對(duì)誤差最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型：

粒子群算法由于理論計(jì)算簡單，收斂速度快而得到廣泛應(yīng)用。采用文獻(xiàn)[12]提出的多種群多極值粒子群算法進(jìn)行求解。

由于GM(1,1)冪模型和Arps產(chǎn)量遞減模型形式不同，A、B和m只代表一個(gè)數(shù)值，沒有實(shí)際意義，所以不能直接采用計(jì)算Arps模型中的初始遞減率a和遞減指數(shù)n。對(duì)于初始遞減率，i正確的求解方法是根據(jù)式(12)，取t=0進(jìn)行求解。在GM(1,1)冪模型中沒有遞減指數(shù)的概念。

5.實(shí)例分析

取文獻(xiàn)[1]中某油田在生產(chǎn)后期的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(表 1)。文獻(xiàn)[1]將產(chǎn)量變化曲線與標(biāo)準(zhǔn)圖版對(duì)比，確定遞減指數(shù)n=0.3、初始遞減率ai=0.05，從而得到產(chǎn)量和遞減率隨時(shí)間變化的關(guān)系分別為：

預(yù)測(cè)結(jié)果見表1。

Table 1.The results of model prediction (data taken from reference [1])表1.模型預(yù)測(cè)結(jié)果(數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[1])

從表1中的結(jié)果可以看出，相對(duì)Arps產(chǎn)量遞減模型，GM(1,1)冪模型相對(duì)誤差小，建模精度高。另外計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)在A＜0、m＞1和A＞0、0＜m＜1兩個(gè)區(qū)域，也可以達(dá)到很高的建模精度，但是根據(jù)長期預(yù)測(cè)，產(chǎn)量趨近于不符合現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際。主要原因是樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)少，貧信息，只能反映中、短期產(chǎn)量變化規(guī)律。對(duì)于長期預(yù)測(cè)，則需要更多的數(shù)據(jù)點(diǎn)。這也同時(shí)說明任何模型的建立，都必須以實(shí)際規(guī)律為基礎(chǔ)。

6.結(jié)論

1)GM(1,1)冪模型適合少樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)，能滿足多種形狀序列的建模。同時(shí) GM(1,1)冪模型與Arps產(chǎn)量遞減模型在形式上存在共性，可以用來預(yù)測(cè)油氣產(chǎn)量，建模精度高。

2)在油田現(xiàn)場(chǎng)，受各種因素的影響，測(cè)試的數(shù)據(jù)帶有一定的“噪聲”，因此在建模過程中，不僅要追求建模精度，更要分析模型是否能反映實(shí)際生產(chǎn)規(guī)律。尤其是長期預(yù)測(cè)，要隨時(shí)用最新的測(cè)試點(diǎn)更新模型。