雙黑洞合并面積增量及放能率

李寶霖， 顏 駿

（1.青島工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，山東青島266300； 2.四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，四川成都610066）

黑洞是廣義相對(duì)論引力理論預(yù)言的一種大質(zhì)量恒星坍塌后的天體.對(duì)于是否含角動(dòng)量及電荷又可分為不同類型的黑洞.1916年Schwarzschild首次得到廣義相對(duì)論的球?qū)ΨQ真空解（Schwarzschild黑洞），不久Reissner與Nordstrom得到了靜態(tài)帶電黑洞解（Reissner-Nordstrom黑洞）.20世紀(jì)60年代，文獻(xiàn)［1-2］獲得了廣義相對(duì)論中的轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞解（Kerr黑洞）及帶電轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞解（Kerr-Newman黑洞）.由于黑洞的“無(wú)毛定理”，我們只能觀測(cè)到質(zhì)量、角動(dòng)量和電荷3種信息［3-8］，這對(duì)直接通過(guò)觀測(cè)驗(yàn)證黑洞的存在帶來(lái)困難.目前人們正積極尋找和證實(shí)黑洞這一神秘天體存在的證據(jù).

1971年，在“宇宙監(jiān)督假設(shè)”與強(qiáng)能量條件下，Hawking證明了黑洞的面積定理，即黑洞面積永不減小［9］.1973 年，Bekenstein［10］提出黑洞熵正比于外視界面積.對(duì)黑洞面積的研究可以增進(jìn)對(duì)黑洞熵的認(rèn)識(shí).文獻(xiàn)［11-12］對(duì)黑洞的表面積及熵進(jìn)行了研究，結(jié)果滿足面積定理.文獻(xiàn)［13-14］研究了極端黑洞的熵，指出極端條件下黑洞的熵為零，但并沒(méi)有消失，而是轉(zhuǎn)移到了其他的高維空間.

2016年，文獻(xiàn)［15-16］2次公布觀測(cè)到雙黑洞合并產(chǎn)生的引力波事件.黑洞這一神秘天體也逐漸為大家所熟悉，然而對(duì)雙黑洞合并的研究并未引起重視.劉遼等［17］研究了2個(gè) Schwarzschild黑洞合并的面積增量及放能率.然而對(duì)其他同種類型黑洞及不同種類型黑洞之間合并的研究尚未提上日程.

對(duì)雙黑洞合并面積增量及放能率的研究，不僅可以進(jìn)一步為天文觀測(cè)提供理論依據(jù)，還可能為鑒別不同類型黑洞及引力理論提供一種新的研究思路.本文將研究 Schwarzschild、Reissner-Nordstrom、Kerr及Kerr-Newman 4種黑洞之間同種及不同種黑洞合并，通過(guò)計(jì)算并比較各類黑洞合并面積增量及放能率的大小，分析角動(dòng)量以及電荷對(duì)其的影響，并討論其物理意義.

1 雙黑洞合并的面積增量

對(duì)于一個(gè)質(zhì)量為M，角動(dòng)量為J，帶電量為Q的黑洞，其視界（或外視界）面積為

假設(shè)合并前2個(gè)黑洞的面積分別為A1、A2，合并后的大黑洞面積為A，則面積增量為

即黑洞表面積在順時(shí)方向永不減少，這與熱力學(xué)孤立系統(tǒng)中熵增原理一致.根據(jù)面積定理可知，2個(gè)黑洞要合并為一個(gè)黑洞，合并后的黑洞面積A不能比原來(lái)2個(gè)黑洞的面積和A1+A2小.此前劉遼等［17］討論了2個(gè) Schwarzschild黑洞合并（S-S型），其質(zhì)量分別為M1、M2，得出合并后的面積增量為

首先分析角動(dòng)量對(duì)合并后面積增量的影響.若是一個(gè)Schwarzschild黑洞與一個(gè)Kerr黑洞合并（S-K 型），質(zhì)量分別為 M1、M2，Kerr黑洞角動(dòng)量為J2.可知原子黑洞的面積分別為

當(dāng)無(wú)能量損失時(shí)面積增量最大，即M＝M1+M2，J＝J2，代入（1）式得合并后外視界面積為

其中 a＝J2／M.

一般情況黑洞質(zhì)量M?a，因此可把a(bǔ)當(dāng)作微擾項(xiàng).對(duì)上式線性微擾展開可得

由（3）式可求得面積增量

（8）式等號(hào)右邊第二項(xiàng)大于零，因此S-K型黑洞合并的面積增量大于S-S型黑洞合并的面積增量 δAS-S.

若是2個(gè)Kerr黑洞合并（K-K型），質(zhì)量分別為 M1、M2，角動(dòng)量分別為 J1、J2.此時(shí) 2 個(gè)子黑洞的面積分別為

同樣，在無(wú)能量損失時(shí)面積增量最大，代入（1）式得合并后外視界面積為

此時(shí)，M ＝ M1+M2，J＝ J1+J2.

采用線性微擾展開，同樣可得K-K型黑洞合并的最大面積增量為

大于S-S型黑洞合并的面積增量δAS-S與K-K型同樣.由此可見，由于角動(dòng)量的存在，雖然會(huì)使原子黑洞的外視界面積減?。ㄒ姡?）式），然而卻會(huì)增大合并后的面積增量.

對(duì)于S-K型黑洞合并與K-K型黑洞合并面積增量的比較，可令

此時(shí)δAK-K≥δAS-K，即K-K型黑洞合并面積增量大于或等于S-K型黑洞合并面積增量；反之若

則K-K型黑洞合并面積增量小于S-K型黑洞合并面積增量.可見對(duì)于這兩種黑洞面積增量的比較不僅涉及到角動(dòng)量，還與本身質(zhì)量比有關(guān).

下面考慮電荷對(duì)面積增量的影響.首先對(duì)于2個(gè)Reissner-Nordstrom黑洞合并（RN-RN型），質(zhì)量分別為 M1、M2，帶電荷分別為 Q1、Q2.此時(shí) 2 個(gè)子黑洞的面積分別為：

同樣在無(wú)能量損失時(shí)面積增量最大，代入（1）式得合并后外視界面積為

此時(shí)，M ＝M1+M2，Q ＝Q1+Q2.

一般情況M?Q，采用線性微擾展開，同樣可得RN-RN型黑洞合并的最大面積增量

比S-S型黑洞合并的面積增量δAS-S?。ㄈ鬛1、Q2為同種電荷），比S-S型黑洞合并的面積增量δAS-S大（若 Q1、Q2為異種電荷）.電荷本身會(huì)減小黑洞的表面積，但兩子黑洞若是帶異種電荷，則合并后面積增量會(huì)增大，這可能是異種電荷相互抵消的緣故，因此對(duì)面積的影響也相應(yīng)減弱.可見同種電荷的存在會(huì)使合并后面積增量變小，如果是帶兩種異種電荷，反而會(huì)使合并后的面積增量變大.然而我們注意到，采用線性微擾展開后，電荷對(duì)面積增量的影響表現(xiàn)為2個(gè)電量的乘積項(xiàng)，也就意味著如果只有一方帶電，那么這一項(xiàng)為零，即單方帶電對(duì)合并后的面積增量沒(méi)有影響.由此可推論，SRN型黑洞合并的面積增量應(yīng)與S-S型一致，KKN型（KN為 Kerr-Newman）黑洞合并應(yīng)與 K-K型相同，實(shí)際經(jīng)過(guò)具體計(jì)算也可得出這樣的結(jié)論.

對(duì)于Reissner-Nordstrom黑洞與Kerr-Newman黑洞合并（RN-KN型），質(zhì)量分別為 M1、M2，帶電荷分別為Q1、Q2，Kerr-Newman黑洞角動(dòng)量為J2.此時(shí)2個(gè)子黑洞的面積分別為：

同樣在無(wú)能量損失時(shí)面積增量最大，代入（1）式得合并后外視界面積

此時(shí)，M ＝M1+M2，Q ＝Q1+Q2，J＝ J2.

線性微擾展開后，同樣可得RN-KN型黑洞合并的最大面積增量為

比 δAS-K?。ㄈ?Q1、Q2為同種電荷），比 δAS-K大（若Q1、Q2為異種電荷）.與S-S型黑洞合并的面積增量 δAS-S比較，若

則 δAS-S＜ δARN-KN.

對(duì)于2個(gè)Kerr-Newman黑洞合并（KN-KN型），質(zhì)量分別為 M1、M2，帶電荷分別為 Q1、Q2，角動(dòng)量分別為J1、J2.此時(shí)2個(gè)子黑洞的面積分別為：

同樣在無(wú)能量損失時(shí)面積增量最大，代入（1）式得合并后外視界面積為

比 δAK-K?。ㄈ?Q1、Q2為同種電荷），比 δAK-K大（若 Q1、Q2為異種電荷）.然而與 δAS-S比較，同樣，若

則 δAS-S＜ δAKN-KN.

綜上所述，對(duì)于雙黑洞合并后的面積增量的大小可大致排列如下：

另一方面，由面積定理也可得RN-KN型及KN-KN型黑洞合并原子黑洞帶電的臨界條件分別為：

為帶同種電荷情況，帶異種電荷則不存在此臨界條件.

2 雙黑洞合并的放能率

假設(shè)合并前2個(gè)黑洞的質(zhì)量分別為M1、M2，合并后的大黑洞質(zhì)量為M，同時(shí)假設(shè)合并后電荷及角動(dòng)量無(wú)損失，則合并后的放能率

其中 δM ＝M1+M2-M.文獻(xiàn)［17］討論了 2個(gè)Schwarzschild黑洞合并（S-S型），其質(zhì)量分別為M1、M2，由面積定理，可得最大放能率

當(dāng)2個(gè)子黑洞的質(zhì)量相等時(shí)取極大值，由此得放能率 η≤1-

首先依然分析角動(dòng)量對(duì)最大放能率的影響.若是一個(gè)Schwarzschild黑洞與一個(gè)Kerr黑洞合并（S-K 型），質(zhì)量分別為 M1、M2，Kerr黑洞角動(dòng)量為J2，面積分別為A1、A2.合并成一個(gè)大黑洞后質(zhì)量為M＝M1+M2，面積為A，放出能量為δM，由面積定理可得δM取極大值的條件為

對(duì)上式線性微擾展開可求得S-K型黑洞合并理論可達(dá)到的最大能量損失為

其中已略去高階微擾項(xiàng).實(shí)際上等式右邊最后一項(xiàng)也可看作高階小量，因此僅保留前面4項(xiàng)，即

由（30）式可求得S-K型黑洞合并的最大放能率為

與（31）式比較，上式右邊最后一項(xiàng)大于零，因此S-K型黑洞合并的最大放能率要大于S-S型黑洞合并的最大放能率.

若是2個(gè)Kerr黑洞合并（K-K型），質(zhì)量和角動(dòng)量分別為M1、M2和 J1、J2.同理采用面積定理及線性微擾展開并略去高階小量可得K-K型黑洞合并的最大放能率為

同樣大于S-S型黑洞合并的最大放能率.

可見，由于角動(dòng)量的存在，黑洞合并的最大放能率也會(huì)增大.可以定性地理解為黑洞具有角動(dòng)量，使得能量因離心作用而更容易損失，因此放能率也相應(yīng)增大.

下面考慮電荷對(duì)放能率的影響.若是2個(gè)Reissner-Nordstrom黑洞合并（RN-RN型），質(zhì)量分別為 M1、M2，帶電荷分別為 Q1、Q2.同理采用面積定理及線性微擾展開并略去高階小量可得RN-RN型黑洞合并的最大放能率為

小于S-S型黑洞合并的最大放能率ηS-S（若Q1、Q2為同種電荷），大于S-S型黑洞合并的最大放能率 ηS-S（若 Q1、Q2為異種電荷）.可見如果原子黑洞均帶同種電荷則會(huì)減小合并后的放能率，但兩子黑洞若是帶異種電荷則合并后會(huì)相互抵消，因此對(duì)放能率的影響也相應(yīng)減弱.同樣我們注意到，采用線性微擾展開后，電荷對(duì)放能率的影響依然表現(xiàn)為兩個(gè)電量的乘積項(xiàng)（與面積增量的情況一致），也就意味著如果只有一方帶電，那么這一項(xiàng)為零，即單方帶電亦對(duì)放能率沒(méi)有影響.由此也可推論，SRN型黑洞合并的最大放能率應(yīng)與S-S型一致，K-KN型黑洞合并的最大放能率應(yīng)與K-K型相同.實(shí)際經(jīng)過(guò)具體計(jì)算也可得出這樣的結(jié)論.

對(duì)于Reissner-Nordstrom黑洞與Kerr-Newman黑洞合并（RN-KN型），質(zhì)量分別為 M1、M2，帶電荷分別為Q1、Q2，Kerr-Newman黑洞角動(dòng)量為J2.同理可計(jì)算得RN-KN型黑洞合并的最大放能率為

比 ηS-K小（若 Q1、Q2為同種電荷），比 ηS-K大（若Q1、Q2為異種電荷）.與S-S型黑洞合并的面積增量 δAS-S比較，若

則ηS-S＜ηRN-KN.

對(duì)于2個(gè)Kerr-Newman黑洞合并（KN-KN型），質(zhì)量分別為 M1、M2，帶電荷分別為 Q1、Q2，角動(dòng)量分別為J1、J2.同理可計(jì)算得RN-KN型黑洞合并的最大放能率為

比 ηK-K小（若 Q1、Q2為同種電荷），比 ηK-K大（若Q1、Q2為異種電荷）.與S-S型黑洞合并的最大放能率 ηS-S比較，若

綜上所述，對(duì)于雙黑洞合并后的最大放能率大小比較，順序依然與面積增量的情況相同，即：

1）若 Q1、Q2為同種電荷，有

另一方面，最大放能率亦不能超過(guò)1，得到RN-KN型及KN-KN型黑洞合并原子黑洞帶電的臨界條件分別為：

帶同種或異種電荷均應(yīng)滿足這一條件.

3 結(jié)論與討論

本文在廣義相對(duì)論中研究了幾種類型黑洞相互合并后的面積增量及放能率，結(jié)果表明角動(dòng)量雖然會(huì)使黑洞自身的表面積減小，然而卻會(huì)增大黑洞合并后的面積增量.Bekenstein［10］指出黑洞面積即等價(jià)于黑洞熵，因此，如果原子黑洞存在角動(dòng)量，則合并后的黑洞熵的增量將增大，黑洞將變得更加無(wú)序.如果原子黑洞帶電，帶異種電荷合并后的面積增量也將增大，從而黑洞熵增量亦增大，黑洞也將變得更加無(wú)序；然而若是帶同種電荷反而會(huì)使合并后的面積增量減小，也即意味著合并后黑洞的熵增量減小，可見帶同種電荷會(huì)降低合并后黑洞的無(wú)序性；但如果只有一方帶電，則對(duì)面積增量沒(méi)有影響.對(duì)于放能率方面，角動(dòng)量與電荷對(duì)其的影響與面積增量的情況實(shí)際上相同—由于角動(dòng)量的存在會(huì)使最大放能率增大，這可能是因離心作用使得能量更容易脫離黑洞的束縛而被釋放的緣故.若存在電荷，假如帶的是異種電荷，則合并過(guò)程的最大放能率也會(huì)增大；但是如果帶的是同種電荷，則最大放能率反而會(huì)減?。蝗糁挥幸环綆щ?，則對(duì)放能率也沒(méi)有影響.

另外，既然黑洞外視界面積可看作黑洞熵，則在合并過(guò)程面積增量即應(yīng)大于零.因同種電荷會(huì)減小面積增量，由此可知對(duì)RN-KN型及KN-KN型黑洞合并原子黑洞帶電應(yīng)該有個(gè)極限條件，分別為文中（28）和（29）兩式.如果超過(guò)此臨界條件，面積增量將為負(fù)值，即意味著合并過(guò)程熵為負(fù).根據(jù)黑洞熱力學(xué)第二定律，這一過(guò)程是不可能進(jìn)行的；然而反過(guò)來(lái)，由此大黑洞分裂為兩帶同種電荷的子黑洞理論上是可行的.下面來(lái)討論這一極限條件能否達(dá)到.考慮R-N黑洞的情況應(yīng)有Q1Q2≥2M1M2，寫成國(guó)際單位制為Q1Q2≥2GM1M2，即

即只要2個(gè)子黑洞的荷質(zhì)比數(shù)值大于10-5即可.我們知道慢速電子的荷質(zhì)比約為1011量級(jí)，質(zhì)子的荷質(zhì)比約為107量級(jí).一般原子核的中子數(shù)與質(zhì)子數(shù)相近，荷質(zhì)比也約為107量級(jí).因此哪怕是原子序數(shù)較大的原子僅失掉最外層一個(gè)電子，其荷質(zhì)比也不會(huì)低于105.退一步講，即使1010個(gè)這樣的原子只有一個(gè)失掉一個(gè)電子，總荷質(zhì)比就可達(dá)到10-5，顯然這是很容易達(dá)到的.然而黑洞荷質(zhì)比達(dá)到這一量級(jí)對(duì)于R-N黑洞將會(huì)出現(xiàn)一問(wèn)題——此時(shí)已超過(guò)極端黑洞條件，內(nèi)外視界將重合并消失.但是只要取適當(dāng)?shù)闹担ㄆ渲幸粋€(gè)黑洞荷質(zhì)比取小點(diǎn)，另一個(gè)取大點(diǎn)），則大黑洞及其中一個(gè)荷質(zhì)比小的黑洞均不會(huì)超過(guò)極端條件，然而不可避免另一個(gè)黑洞已經(jīng)達(dá)到“super-extremal”條件［18］.之前由面積定理得出的一個(gè)重要推論就是一個(gè)黑洞不能分裂為2個(gè)，這是正確的.然而當(dāng)一個(gè)黑洞趨于極端條件時(shí)，時(shí)空幾何分裂為一個(gè)極端黑洞外加一個(gè)（根據(jù)Carroll等的工作）不連續(xù)的緊致的AdS空間，其熵沒(méi)有消失，而是轉(zhuǎn)移到了額外的自由維度（弦理論或M理論預(yù)言的其余緊致的6維或7維空間）［19-22］.可見一個(gè)大的黑洞時(shí)空幾何“分裂”后，至少應(yīng)有一個(gè)為弦理論所預(yù)言的緊致空間.當(dāng)黑洞接近極端條件時(shí)，雖然熵在我們所處的四維時(shí)空減小并趨于零，但并沒(méi)有消失，因此熱力學(xué)第二定律依然成立.

希望通過(guò)本文的研究能對(duì)天文上觀測(cè)鑒別不同類型的黑洞以及驗(yàn)證不同類型的引力理論提供一定的理論依據(jù)和新的研究途徑.