具有變時滯的高階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的周期間歇控制同步

蒲 浩， 蔣海軍， 劉衍民

（1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002；2.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046）

近年來，Hopfield型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等的穩(wěn)定性理論和同步理論，在不同領(lǐng)域的實踐應(yīng)用和理論研究中有著廣泛的應(yīng)用，例如，應(yīng)用在保密通信，軍事領(lǐng)域，組合優(yōu)化及人工智能系統(tǒng)等.為此，引起了許多研究者對不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性理論和同步理論的研究［1-4］.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要在很長的時間內(nèi)才能實現(xiàn)指數(shù)同步和指數(shù)穩(wěn)定［5］.文獻(xiàn)［5］通過 Lyapunov函數(shù)和一些不等式方法研究了具有脈沖和時滯的模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)同步，在指數(shù)同步中的

當(dāng)時間t→+∞時才能實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步.然而，出于高效的考慮，在工程領(lǐng)域和理論研究領(lǐng)域需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定和同步.為此，研究者對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步問題進(jìn)行了研究［6-7］，文獻(xiàn)［6］在恰當(dāng)?shù)倪B續(xù)的反饋外部輸入控制下，研究了具有時滯的Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步.文獻(xiàn)［7］在恰當(dāng)?shù)倪B續(xù)外部輸入控制的條件下，通過有限時間穩(wěn)定性理論研究了具有變時滯的模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步.相對于連續(xù)性輸入控制同步，周期間歇輸入控制是可以節(jié)約成本的一種控制方法.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期間歇控制同步已經(jīng)被廣泛的進(jìn)行了研究［8-9］.文獻(xiàn)［9］不連續(xù)的周期間歇控制輸入下，研究具有反應(yīng)擴散項的隨機模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期間歇指數(shù)同步.在理論研究和工程領(lǐng)域中，相對于一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在網(wǎng)絡(luò)容錯能力、收斂速度、儲存水平、逼近能力都具有較強的功能［10］.對于生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)而言，由于系統(tǒng)外界干擾和系統(tǒng)自身因素的制約，信號在不同的神經(jīng)元之間的傳遞過程中不可避免的會出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，為此在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中需要考慮時滯.然而，在過去的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的文章中，在同一個系統(tǒng)中考慮通過周期間歇控制輸入實現(xiàn)變時滯的高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)同步的文章甚少.

受此啟發(fā)，本文通過Lyapunov函數(shù)及有限時間穩(wěn)定理論等，研究具有變時滯的高階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的周期間歇控制同步，具有較好的實用性.

1 模型和預(yù)備知識

考慮如下具有變時滯的高階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中，1≤i≤n，xi（t）表示 t時刻第 i個神經(jīng)元的狀態(tài)變量，αi（xi（t））是擴大函數(shù)，βi（xi（t））是一個行為恰當(dāng)函數(shù)，fj、gj是激活函數(shù)，τij（t）是信號轉(zhuǎn)換時滯，且0≤τij（t）≤τ，˙τij（t）≤ρ＜1，aij表示第i個神經(jīng)元和第j個神經(jīng)元的連接權(quán)重系數(shù)，bij、dij分別是模糊反饋最小模板元和模糊反饋最大模板元，∧和∨分別表示模糊“和”和模糊“或”算子.

系統(tǒng)（1）的初值條件為

指的是把［t0-τ，t0］映射到Rn上的所有連續(xù)函數(shù)組成的一個具有p-范數(shù)的Banach空間（p≥2是一個正整數(shù)），其中p-范數(shù)在本文中定義形式為

對于系統(tǒng)（1），假設(shè)：

對任意的x，y∈R且x≠y成立；

對任意的 x，y∈R，1≤j≤n 成立.

把系統(tǒng)（1）作為主驅(qū)動系統(tǒng).為了同步，引入響應(yīng)系統(tǒng)

其中Ui（t）是外部周期間歇控制輸入

響應(yīng)系統(tǒng)（3）的初值條件是

定義誤差系統(tǒng)為

由驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3），可以得到誤差系統(tǒng)

2 輔助引理

為了證明的需要引入下列引理.

引理1［11］假設(shè)x與y是驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）中的2個狀態(tài)變量，則下列不等式成立：

引理 2［12］（Harder） 如果 c1，c2，…，cn是正實數(shù)且0＜θ＜p，則

引理3［13］對任意的非負(fù)實數(shù)a和b，且0＜c＜1 時，不等式（a+b）c≤ac+bc成立.

引理 4［14］若函數(shù) V（t）是當(dāng) t∈［0，+ ∞ ）時的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿足

其中 a＞0，T ＞0，0 ＜η，? ＜1，I∈l＝｛0，1，…，m｝是一個有限的自然數(shù)集且p是一個正整數(shù)，則有不等式

V（t）1-η≤ V（0）1-η-a?（1- η）t， 0 ≤ t≤ ˉT，ˉT是一個有限的常數(shù).

定義1 對于驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3），若存在一個有限的時間常數(shù)ˉT≥0，使得

同時當(dāng) t＞ ˉT 時‖y（t）-x（t）‖ ＝0，則驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）在有限時間（0，ˉT］內(nèi)同步.

3 主要結(jié)果

定理 1 如果假設(shè)（H1）～（H3）都成立，且

則驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）在恰當(dāng)?shù)耐獠恐芷陂g歇控制輸入 Ui（t）下，在有限時間（0，T］內(nèi)是周期間歇同步的，其中

定義函數(shù)族

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

當(dāng) t∈［IT，TI+?T］時，結(jié)合（5）式對 V（t）關(guān)于 t計算Dini右上導(dǎo)數(shù)，可以得到下面的式子

根據(jù)引理1和假設(shè)（H3）可知

結(jié)合假設(shè)（H1）和（H2）、（7）～（10）式，有

對于實數(shù) ai＞0（1≤i≤p），有不等式

由（11）～（13）式可知

由引理2和引理3可知下列不等式

由（14）式可知

注1 在本文中所考慮的高階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，是通過恰當(dāng)?shù)耐獠恐芷陂g歇輸入控制而不是連續(xù)性的外部輸入控制，實現(xiàn)了在有限時間內(nèi)同步而不是無限時間內(nèi)同步，是對之前相關(guān)結(jié)論的推廣.

注2 通過

可以發(fā)現(xiàn)，在周期間歇控制過程中，控制時間越長，系統(tǒng)實現(xiàn)同步的有限時間ˉT越短.在實際應(yīng)用中，可以適當(dāng)?shù)难娱L間歇控制時間就可以更快的實現(xiàn)系統(tǒng)同步.

4 推論

當(dāng) αi（xi（t））＝1 時，驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）變?yōu)?/p>

其中Ki（t）是外部周期間歇控制輸入，當(dāng)

對任意的x，y∈R且x≠y成立.

推論 1 若假設(shè)（H3）～（H5）成立，在周期間歇外部輸入控制（18）式下，則驅(qū)動系統(tǒng)（16）和響應(yīng)系統(tǒng)（17）在有限時間（0，ˉT］內(nèi)是周期間歇同步的，其中（15）式成立

注3 文獻(xiàn)［15］通過周期間歇控制的方法研究了一階時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題，當(dāng)時間t→+∞時才能實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)［16］通過周期間歇控制的方法研究了一階具有混合變時滯和反映擴散項的隨機Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步，由同步定義

可知，所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在無限時間內(nèi)實現(xiàn)同步.在本文中通過周期間歇控制的方法研究了高階Cohen-Grossberg型模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步問題，相對于文獻(xiàn)［15-16］本文結(jié)論能更加高效的實現(xiàn)所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步.

致謝 遵義市15851人才資助項目（2013、2014和2015年）對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.