向量優(yōu)化的高階微分條件

唐琦林， 廖永志， 胡 敏

（攀枝花學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，四川攀枝花617000）

向量優(yōu)化問題在經(jīng)濟理論及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.例如最早研究的Pareto有效解和弱Pareto有效解［1-10］，最近研究的Sharp解和弱Sharp解等［8-11］.利用廣義導(dǎo)數(shù)，獲得了這些解的一些充分或必要的最優(yōu)性條件［10-13］，這在數(shù)學(xué)規(guī)劃的很多問題當中都起著關(guān)鍵的作用，比如靈敏度分析、誤差界分析等方面.文獻［14］把泰勒公式擴展到Ck，1函數(shù)，應(yīng)用它得到高階擬凸函數(shù)的最優(yōu)性條件.本文主要研究2個問題：一是文獻［12］在光滑的前提下討論了Pareto解，本文將其推廣到非光滑條件下討論Pareto解的存在性；二是首先給出Banach空間Pareto解的次可微形式的Pareto最優(yōu)條件，然后，應(yīng)用高次微分形式的泰勒公式來研究從Rn到Rm上的Ck，1函數(shù)的Pareto解的純量形式最優(yōu)性條件，最后，提出弱C-擬凸和C-擬凸函數(shù)的概念，并給出其二階判別條件，完成對向量優(yōu)化的高階微分條件的進一步研究.

1 預(yù)備知識

下面給出本文用到的一些定義、性質(zhì)及結(jié)論.

設(shè)Y是一個Banach空間，Y*是其對偶空間.記C?Y是一個內(nèi)部非空集的閉凸錐，C+表示C的對偶錐，即 C+＝｛y*∈Y*：0≤〈y*，c〉，?c∈C｝，對y1，y2∈Y，定義關(guān)系 y1＜Cy2和 y1≤Cy2分別為 y2-y1∈int（C）和 y2-y1∈C.

下面給出關(guān)于向量優(yōu)化問題的一些結(jié)論及Pareto解的定義.

定理 1.1［11］設(shè) f是從 Banach空間 X 到 Banach空間Y的一個映射X，f在的附近具有2n階導(dǎo)數(shù)，其中n為一個自然數(shù).假設(shè)存在c*∈C+，‖c*‖ ＝1且

若f（2n）（ˉ）是S正定，則是（1）式的局部Pareto解，并且存在數(shù) η，δ∈（0，+∞）使

定理 1.2［11］設(shè) f是從 Banach 空間 X 到Banach空間Y的一個C-凸映射X，f在的附近具有2n階導(dǎo)數(shù)，其中n為一個自然數(shù).假設(shè)存在c*∈C+，‖c*‖＝1，若f（2n）（ˉ）是S正定，則是（1）式的整體 Pareto解，并且存在數(shù)η0∈（0，+∞）使

設(shè)WE（A，C）表示由A的所有弱Pareto有效點構(gòu)成的集合，E（A，C）表示由A的所有Pareto有效點構(gòu)成的集合，則顯然有

設(shè)f是從Banach空間X到Banach空間Y的一個函數(shù)，考慮向量最優(yōu)化問題

定理 1.3［11］設(shè) f是從 Banach空間 X 到 Banach空間Y的一個映射X，f在的附近具有2n階導(dǎo)數(shù)，其中n為一個自然數(shù)， ）＝0.

成立，其中

對于局部 Lipschitz函數(shù)，Clarke［15］為連續(xù)可微函數(shù)梯度的推廣，提出了廣義梯度概念.

定義 1.1［15］設(shè) f（x）為開集 S?Rn上的局部Lipschitz函數(shù)，f（x）在點 x處沿 d∈Rn的廣義方向?qū)?shù)定義為

廣義方向?qū)?shù)有如下性質(zhì)：

定理 1.4［15］設(shè) f（x）為 Rn上的局部 Lipschitz函數(shù)，在點x∈Rn附近的Lipschitz常數(shù)為L，則有下述結(jié)論：

1）f0（x；d）作為 d的函數(shù)是次可加的和正則的，且滿足｜f0（x；d）｜≤L‖d‖；

2）f0（x；d）作為 d 的函數(shù)是 Lipschitz；

3）f0（x；d）作為 d的函數(shù)是上半連續(xù)的；

4）f0（x；-d）＝ -f0（x；d），?d∈Rn.

定義 1.2［15］設(shè) f（x）為 Rn上的局部 Lipschitz函數(shù)，f（x）在x處的Clarke次微分定義為

其中元素 ξ∈?f（x）叫作 f（x）在 x處廣義梯度.當f（x）為凸函數(shù)且連續(xù)時，則凸函數(shù)所定義的方向?qū)?shù)和次梯度相吻合，也就是

定義 1.3［15］設(shè) A是 Y的一個子集且 a∈A.稱：1）如果不存在點 y∈A＼｛a｝，使得 y＜Ca，則 a是集合A中一個弱Pareto有效點；2）如果不存在點y∈A＼｛a｝，使得 y＜Ca，則 a是集合 A中一個 Pareto有效點；3）如果對所有y∈A有a≤Cy，則a是集合A中一個理想點.

用 Ck，1（Rn，Rm）（k≥0）表示從 Rn到 Rm的具有直到k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且其第k階導(dǎo)算子是局部Lipschitz的函數(shù)全體.

用C0，1表示Rn上的局部Lipschitz函數(shù)全體，由 Rademaacher定理［15］，對任意 f∈Ck，1，其 k 階導(dǎo)算子Dkf是幾乎處處可微的.定義f在點x∈Rn處的 k+1 階次微分［15］為

稱該集合的元為f在x處的k+1階次梯度，它是Rn上的k重線性連續(xù)算子［15］.

由文獻［15］知?k+1f（x）是非空緊集.

定義關(guān)于x，u∈Rn的雙變量函數(shù)：

?x1，x2∈X 且?t∈［0，1］，則映射f：x→y 是 C-凸的［3］.

注1.1 f是C-凸的，當且僅當對所有 c*?f是C-凸的.

2 一階最優(yōu)性條件的研究

在光滑假設(shè)的條件下，Zheng等［12］獲得如下的結(jié)果.

引理 2.1［12］設(shè) f：X→Y 是一個光滑映射且∈X，則如下結(jié)論成立：

對于C-凸函數(shù)，把上述光滑條件推廣到非光滑條件下討論Pareto解，給出下列次微分形式的結(jié)論.

其中?表示凸次微分.

設(shè) F（x）：＝f（x）+C，

容易驗證A是凸的.

反證，若交集非空，則存在 x∈B（x，δ），y∈F（x）＝f（x）+C，使得 y∈ f（x）-int C.設(shè)：y：＝f（x）+c0，c0∈C，則

因此，存在η＞0，使得

又由分離定理可知，存在（x*，c*）∈X*×Y*且‖（x*，c*）‖ ＝1，使得對所有（x，y）∈A，u∈X，c∈int C，有

又因為 f是 C-凸的，（c*?f）是凸的，且 0∈?（c*?f）），故對任意的x∈），c∈C+且‖c*‖＝1.

反之，假設(shè)f是C-凸，c∈C+且‖c*‖＝1使得（3）式成立，則對于一固定點x∈X，有

證明 設(shè)h是X中任意一點，c*∈C+中，則存在δ＞0，使得對于所有的t∈（0，δ）有f（）≤cf（+th）.因此，對于所有的 t∈（0，δ）有

因此0∈?c（c*?f）（）.證畢.

（ii）對于所有的c*∈C+有0∈?（c*?f）（；

證明 因f是連續(xù)的C-凸映射，對于所有c*∈C+，有?（c*?f）（）＝?c（c*?f）（），由命題2.3 立刻有（i）?（ii），只需證明（ii）?（iii）.先假設(shè)（ii）成立，設(shè) x∈X 和c*∈C+，由 C-凸性可知

由（ii）可知0≤（c*?f）′）≤〈c*，f（x）-f（）〉成立.因此對于所有的x∈X，有（c*?f）（）≤（c*?f）（x）.

〈c*，f（x′）-f）〉＜ 〈c*，c〉， ?c∈C成立.因 C 是閉凸錐，則 0≤〈c*，c〉，?c∈C 和（c*?f）（）＞ （c*?f）（x′），c*∈C+，矛盾.證畢.

3 k＋1階次微分最優(yōu)性條件的研究

由Taylor公式知道，當X是有限維的且f：X→R是2n次可微的ˉ∈X.如果f（k）（ˉ）＝0（k＝1，2，…，2n-1），且對任意的 h∈X＼｛0｝都有 f（2n）h（2n）＞0，則ˉ是f的一個局部極小值點.對多目標優(yōu)化問題，許多研究者考慮了二階優(yōu)化條件，給出了不同形式的優(yōu)化條件.參考文獻［14］，利用高階Clarke次微分形式的Taylor公式，給出有限維空間上的Ck，1類向量值函數(shù)的（k+1）優(yōu)化條件.

設(shè) f：Rn→Rm，C?Rm是閉凸錐且 f∈Ck，1.

引理 3.1［14］設(shè) f∈Ck，1（Rn，R），a，b∈Rn，則存在 c∈（a，b）及 A∈?k+1f（c），使得

引理 3.2［14］設(shè) f∈Ck，1（Rn，R），a，x∈Rn，則存在Ax∈?k+1f（a）及 Rn上的 n重線性連續(xù)算子r（x），使得

根據(jù)引理3.1得到如下結(jié)論.

命題3.1 設(shè)f∈Ck，1（Rn，Rm）Rn是（2）式的一個局部理想解，如果Dif（ˉ）＝0（i＝1，2，…，k），那么對于所有的u∈Rn和c*∈C+有

成立.特別地，如果k是偶數(shù)，那么對于所有的u∈Rn有0∈?k+1f（c*?f）ˉ；u）.

證明 令c*∈C+.因為Di（c*?f）（）＝（c*?Dif）（）＝0，i＝1，2，…，k，（c*?f）是一個從Rn到R的k次可微映射，其k階導(dǎo)數(shù)是也是局部Lipschitz的并且（c*?f）在處取局部最小值，應(yīng)用引理3.1，得證.

對于函數(shù)Ck，1以k+1階次微分的形式，為成為（2）式的尖的局部Pareto解提供高次充分條件.

定理3.1 設(shè)f∈Ck，1（Rn，Rm），Rn，且）＝0，i＝1，2，…，k.假設(shè)存在c*∈C+且‖c*‖ ＝1，對所有的 u∈Rn，u≠0 有

證明 對于所有的 x∈X，設(shè) φ（x）：＝〈c*，f（x）〉，那么 φ 是一個從 Rn到 R 的 Ck，1函數(shù).由引理3.2知，存在A∈?k+1φ（）及Rn上的n重線性連續(xù)算子r（x），使得

令S：＝｛x∈Rn：‖x‖ ＝1｝.由（c*?f）的定義可知，函數(shù)u→（c*?f）（；u）是連續(xù)的，注意到S是緊集，故存在u′∈S，使得

對C-凸且是Ck，1的函數(shù)，提供一個使成為（2）式的整體的Pareto解的高階充分條件.

定理 3.2 設(shè) f∈Ck，1（Rn，Rm）且是 C- 凸的，再設(shè)xˉ∈Rn，Dif（xˉ）＝0，其中i＝1，2，…，k.假設(shè)存在c*∈X*且‖c*‖＝1，對所有的u∈Rn，u≠0有）＞0，那么，xˉ是（2）式的整體的Pareto解且存在η0∈（0，+∞）使得下面結(jié)論成立：

證明 與定理3.1最后的證明方式相同，（6）式成立意味著是（2）式的全局的Pareto解.只要證明（6）式成立即可.根據(jù)定理3.1，這里存在 η，δ∈（0，+∞）使得（2）式成立.

取 η0：＝ min｛η，ηk+1δk｝，從（5）式知（6）式成立.證畢.

在更強的假設(shè)下，有以下（2）式整體理想解的充分條件.

定理3.3 設(shè)f∈Ck，1（Rn，Rm）且∈Rn.假設(shè)＝0，i＝1，2，…，k，且對于任何x，u∈Rn，u≠0，c*∈C+，都有?f）（x；u）＞0，那么是（2）式理想解.

證明 對于任何 x∈X，設(shè) φ（x）：＝〈c*，f（x）〉，那么 φ 是 Rn到 R 的 Ck，1函數(shù)，令 u∈Rn，u≠0，由引理3.2，存在v∈（，x+u），使得

故對?x∈X，有（c*?f）（）≤（c*?f）（x）.根據(jù)分離定理［16］，易知ˉ是（2）式理想解.證畢.

4 k＋1階擬C-凸函數(shù)的判別條件的研究

參見文獻［15，17-21］，得到如下概念.

第一，設(shè) f：Rn→R，稱 f是擬凸的，如果對任意x，y∈Rn且 λ∈（0，1）都有

凸函數(shù)和擬凸函數(shù)都可以通過一階和二階次微分刻畫.

第二，設(shè) f是從Rn到Rm的函數(shù)，如果存在c*∈C+，使得對任意 x，y∈Rn且 λ∈（0，1），使得

則稱f是弱C-擬凸函數(shù).如果對任意c*∈C+，任意 x，y∈Rn且 λ∈（0，1），（7）式都成立，則稱 f是C-擬凸函數(shù).

文獻［14］運用廣義Heshiang給出擬凸函數(shù)的二階判定準則.在此，給出C-擬凸函數(shù)和弱C-擬凸函數(shù)的k+1階判定準則.

命題 4.1 設(shè) f∈Ck，1（Rn，Rm），f是 C- 擬凸函數(shù)（或弱C-擬凸函數(shù)），k是奇數(shù)且C?Rm是閉凸尖錐.若 x，u∈Rn，使得 ）＝ 0 ，則對任何（或存在）c*∈C+，使得

證明 假設(shè)結(jié)論不正確，那么存在x，u∈Rn，c*∈C+，使得

由引理3.1，存在 v∈（x，x+tu）和 A∈?k+1（c*?f）（v），v使得

（c*?f）（x+tu）- （c*?f）（x）＝ tk+1Av（u，…，u）.

又由假設(shè)k為奇數(shù)，則對所有的 t∈［-t0，t0］，有

（c*?f）（x+tu）- （c*?f）（x）＜ - ε ＜ 0.特別地，

特別地，如果 m ＝1，C＝R+，那么 C+＝R+，有：

推論4.1 設(shè)f是從Rn到R的擬凸函數(shù)，k是奇數(shù).如果 x，u∈Rn， （x）（ui） ＝ 0 ，則f（x；u）≥0.

另外，關(guān)于充分性二階條件，應(yīng)用命題4.1，立刻得出以下推論.

推論 4.2 假設(shè) f∈C1，1（Rn，Rm），任取 x，u∈Rn，x≠u，如果對任意 c*∈C+，當 D（c*?f）（x）（u）＝0時，有（c*?f）（x；u）≥0；當 D（c*?f）（x）＝0時，有（c*?f）（x；u）＞ 0；則 f是 C- 擬凸函數(shù)（弱C-擬凸函數(shù)）.

現(xiàn)在假設(shè)：f：Rn→Rm是一個 C1，1和 C- 凸函數(shù)，C?Rm是閉凸尖錐.令∈Rn，cj∈R，和 P：＝ ｛x∈Rn：〈，x〉-cj≤0；j＝1，2，…，k｝.考慮如下的C-凸向量優(yōu)化問題：

3）存在c*∈C+＼｛0｝和tj≥0（j∈I（）），使得

與命題4.2類似，對優(yōu)化問題（8）的理想解，有

反之，任取c*∈C+.假設(shè)存在tj≥0（j∈I（））使得（10）成立.由（9）式可知，一定有0∈φ′c*（）+N（P，）.因為φc*是凸的，則是φc*在P上的一個極小值.因此，對任意x∈P，有f（）≤Cf（x），由此可知，對任意x∈P和c*∈C+，都有〈c*，f（）〉≤〈c*，f（x）〉.所以是（8）式的一個理想解.

根據(jù)命題2.4及命題4.1，得到如下結(jié)論.