線性斜積半流指數(shù)漸近行為的平均定理

董夙慧， 岳 田， 吳媛媛， 吳文歡

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，江蘇徐州221008； 2.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院徐州財(cái)經(jīng)分院，江蘇徐州221011；3.湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002； 4.湖北汽車工業(yè)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，湖北十堰442002；5.湖北汽車工業(yè)學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，湖北十堰442002）

眾所周知，近年來(lái)關(guān)于單參數(shù)算子半群以及發(fā)展算子的指數(shù)穩(wěn)定性理論研究方面取得了突破性的進(jìn)展，大量長(zhǎng)期公開問(wèn)題的解決，使得相應(yīng)理論不斷獲得豐富和完善［1-15］.值得一提的是 Datko［1］、Pazy［2］和 Rolewicz［3］對(duì)于指數(shù)穩(wěn)定性理論研究的奠基性貢獻(xiàn).Datko［1］指出強(qiáng)連續(xù)算子半群｛T（t）｝t≥0一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件為對(duì)任一 x∈X，有‖T（t）x‖2d x ＜ ∞ ，隨后 Pazy［2］將其結(jié)論推廣到了Lp（R+）（p≥1）的情形.1973年 Datko［1］推廣了上述結(jié)論，指出具有一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程 U ＝ ｛U（t，s）｝t≥s≥0是一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件為對(duì)任一 x∈X，存在 p≥1使 ‖U（t，s）x‖pd t＜ ∞ 成立，Rolewicz［3］于1986 年對(duì)此結(jié)果做了相應(yīng)的改進(jìn).

在指數(shù)漸近行為理論研究方面，除了指數(shù)穩(wěn)定性以外，近年來(lái)關(guān)于發(fā)展方程的指數(shù)不穩(wěn)定性方面也獲得了極大的關(guān)注［4-6，9-10］.如文獻(xiàn)［4］利用容許性方法，文獻(xiàn)［5-6］利用賦范函數(shù)空間的方法探討了線性斜積半流的指數(shù)不穩(wěn)定性的存在條件，文獻(xiàn)［9］和［10］分別給出了Banach空間中線性斜演化半流的一致指數(shù)不穩(wěn)定性和非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的若干刻畫.

本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)平均定理來(lái)對(duì)Banach空間中線性斜積半流的指數(shù)漸近行為進(jìn)行相應(yīng)刻畫.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為一實(shí)或復(fù)Banach空間，（Θ，d）為一度量空間，將空間X上的范數(shù)及作用其上面的有界線性算子全體B（X）上的范數(shù)記作‖·‖，I為恒等算子.

定義 1.1［5］連續(xù)映射 σ：Θ × R+→Θ 稱為 Θ上的半流，如果滿足：

1）σ（θ，0）＝θ，?θ∈Θ；

2）σ（θ，t+s）＝ σ（σ（θ，s），t），?（θ，s，t）∈Θ×.

定義 1.2［5］π ＝ （Φ，σ）稱為 X × Θ 上的線性斜積半流，如果σ為Θ上的半流，且Φ：Θ×R+→B（X）滿足：

1）Φ（θ，0）＝I，?θ∈Θ；

2）Φ（θ，t+s）＝ Φ（σ（θ，t），s）Φ（θ，t），?（θ，s，t）∈Θ ×；

3）存在 M≥1和 ω ＞0使得‖Φ（θ，t）‖≤M eωt，?（θ，t）∈Θ × R+；

4）對(duì)所有的（θ，x）∈Θ × X，Φ（θ，·）x：［0，∞）→X連續(xù).

定義 1.3［8］線性斜積半流π ＝ （Φ，σ）稱為一致指數(shù)穩(wěn)定的如果存在常數(shù) N，v＞0使得對(duì)?（t，θ，x）∈R+× Θ ×X 有

注 1.1 若線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，則有

對(duì)?（t，θ，x）∈R+×Θ ×X 和 p＞0成立.

定義 1.4［5］線性斜積半流π ＝ （Φ，σ）稱為一致指數(shù)不穩(wěn)定的如果存在常數(shù)N，v＞0使得對(duì)?（t，θ，x）∈R+× Θ ×X 有

注 1.2 若Φ（θ，t）為單射，且線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，則

對(duì)?（t，θ，x）∈R+×Θ ×X＼｛0｝和 p＞0 成立.

引理1.1 線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在h＞0和c∈（0，1），使得對(duì)每個(gè) θ∈Θ 和每個(gè) x∈X，存在 τ：＝ τθ，x∈（0，h］滿足

引理 1.2 線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在h＞0和c＞1，使得對(duì)每個(gè) θ∈Θ 和每個(gè) x∈X，存在 τ：＝ τθ，x∈（0，h］滿足

2 主要結(jié)果

定理2.1 線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K，p＞0及函數(shù)φ：（0，∞）→［0，∞）滿足φ（t）＝ ∞，使得對(duì)?（θ，x）∈Θ ×X 有

證明 必要性 顯然.令 φ（t）＝t（t＞0），并結(jié)合注1.1即可得結(jié)論成立.

充分性 利用反證法.如果π ＝（Φ，σ）不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，根據(jù)引理1.1可得，對(duì)任意h＞0及 c∈（0，1）存在θ0∈Θ 和x0∈X 使得對(duì)所有 τ∈（0，h］，有‖Φ（θ0，τ）x0‖ ＞c‖x0‖，那么

從而 φ（h）cp≤K 對(duì)任意 c∈（0，1）及 h ＞0 成立.但這與（t）＝∞矛盾，故π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

定理2.2 線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在 p≥1及函數(shù)φ：（0，∞）→［0，∞）滿足φ（t）＝ ∞，使得對(duì)每個(gè)（θ，x）∈Θ ×X 存在Kθ，x＞0 滿足

證明 必要性 由定理3.1立得.

充分性由H?lder不等式可得

令 ξ（t）＝ （φ（t））1／p，t＞0，則（t）＝ ∞ 以及

進(jìn)而對(duì)每個(gè)（θ，x）∈Θ ×X，存在δθ，x＞0 使得

其中χ［0，t］為特征函數(shù)，易知At，θ為有界線性算子.進(jìn)而對(duì)?t＞0，（θ，x）∈Θ ×X，

由一致有界原理，存在 D ＞0 使得‖At，θx‖L1≤D‖x‖對(duì)?t＞0，（θ，x）∈Θ ×X 成立，因此

故借助定理2.1可得結(jié)論成立.

推論2.1 線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在 p≥1使得對(duì)每個(gè)（θ，x）∈Θ × X 有

推論 2.2 線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)p≥1及序列ηn：N+→R+滿足ηn＝ ∞，使得對(duì)每個(gè)（θ，x）∈Θ×X有

進(jìn)而，對(duì)每個(gè)（θ，x）∈Θ × X，存在Kθ，x＞0 使得（6）式成立，故π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

定理 2.3 若Φ（θ，t）為單射，則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K，p＞0及函數(shù)φ：（0，∞）→［0，∞）滿足φ（t）＝ ∞，使得對(duì)?（θ，x）∈Θ ×X＼｛0｝有

證明 必要性 顯然.令 φ（t）＝t（t＞0），并結(jié)合注1.2即可得結(jié)論成立.

充分性 利用反證法.如果π ＝（Φ，σ）不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，根據(jù)引理1.2可得，對(duì)任意h＞0及 c＞1 存在θ0∈Θ 和x0∈X＼｛0｝使得對(duì)所有 τ∈（0，h］，有‖Φ（θ0，τ）x0‖ ＜c‖x0‖，那么

推論 2.3 若Φ（θ，t）為單射，則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) K，p＞0 及序列ηn：N+→R+滿足＝ ∞，使得對(duì)?（θ，x）∈Θ ×X＼｛0｝有

證明 必要性 取ηn＝n，n∈N+.

充分性 利用引理1.2，采用反證法即可證明.

定理2.4 線性斜積半流π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K，p＞0及函數(shù)φ：（0，∞）→［0，∞）滿足φ（t）＝0，使得對(duì)?（θ，x）∈Θ ×X有

充分性 如果π ＝（Φ，σ）不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，根據(jù)引理1.2可得，對(duì)任意h＞0及c＞1存在θ0∈ Θ 和 x0∈ X 使得對(duì)所有 τ∈ （0，h］，有‖Φ（θ0，τ）x0‖ ＜c‖x0‖，那么

結(jié)合（11）式可得φ（h）cp≥K對(duì)任意 c＞1及 h＞0成立.但這與（t）＝0矛盾，故π ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)不穩(wěn)定的.

推論2.4 線性斜積半流ρ＝（Φ，σ）是一致指數(shù)不穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K，p＞0及序列ηn：N+→R+滿足＝0，使得對(duì)?（θ，x）∈Θ ×X有