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    線性斜積半流指數(shù)漸近行為的平均定理

    2018-11-07 03:34:26董夙慧吳媛媛吳文歡

    董夙慧, 岳 田, 吳媛媛, 吳文歡

    (1.中國礦業(yè)大學信息與控制工程學院,江蘇徐州221008; 2.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學院徐州財經(jīng)分院,江蘇徐州221011;3.湖北汽車工業(yè)學院理學院,湖北十堰442002; 4.湖北汽車工業(yè)學院經(jīng)濟管理學院,湖北十堰442002;5.湖北汽車工業(yè)學院電氣與信息工程學院,湖北十堰442002)

    眾所周知,近年來關(guān)于單參數(shù)算子半群以及發(fā)展算子的指數(shù)穩(wěn)定性理論研究方面取得了突破性的進展,大量長期公開問題的解決,使得相應(yīng)理論不斷獲得豐富和完善[1-15].值得一提的是 Datko[1]、Pazy[2]和 Rolewicz[3]對于指數(shù)穩(wěn)定性理論研究的奠基性貢獻.Datko[1]指出強連續(xù)算子半群{T(t)}t≥0一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件為對任一 x∈X,有‖T(t)x‖2d x < ∞ ,隨后 Pazy[2]將其結(jié)論推廣到了Lp(R+)(p≥1)的情形.1973年 Datko[1]推廣了上述結(jié)論,指出具有一致指數(shù)增長的演化過程 U = {U(t,s)}t≥s≥0是一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件為對任一 x∈X,存在 p≥1使 ‖U(t,s)x‖pd t< ∞ 成立,Rolewicz[3]于1986 年對此結(jié)果做了相應(yīng)的改進.

    在指數(shù)漸近行為理論研究方面,除了指數(shù)穩(wěn)定性以外,近年來關(guān)于發(fā)展方程的指數(shù)不穩(wěn)定性方面也獲得了極大的關(guān)注[4-6,9-10].如文獻[4]利用容許性方法,文獻[5-6]利用賦范函數(shù)空間的方法探討了線性斜積半流的指數(shù)不穩(wěn)定性的存在條件,文獻[9]和[10]分別給出了Banach空間中線性斜演化半流的一致指數(shù)不穩(wěn)定性和非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的若干刻畫.

    本文將在上述文獻的基礎(chǔ)上,通過平均定理來對Banach空間中線性斜積半流的指數(shù)漸近行為進行相應(yīng)刻畫.

    1 預備知識

    設(shè)X為一實或復Banach空間,(Θ,d)為一度量空間,將空間X上的范數(shù)及作用其上面的有界線性算子全體B(X)上的范數(shù)記作‖·‖,I為恒等算子.

    定義 1.1[5]連續(xù)映射 σ:Θ × R+→Θ 稱為 Θ上的半流,如果滿足:

    1)σ(θ,0)=θ,?θ∈Θ;

    2)σ(θ,t+s)= σ(σ(θ,s),t),?(θ,s,t)∈Θ×.

    定義 1.2[5]π = (Φ,σ)稱為 X × Θ 上的線性斜積半流,如果σ為Θ上的半流,且Φ:Θ×R+→B(X)滿足:

    1)Φ(θ,0)=I,?θ∈Θ;

    2)Φ(θ,t+s)= Φ(σ(θ,t),s)Φ(θ,t),?(θ,s,t)∈Θ ×;

    3)存在 M≥1和 ω >0使得‖Φ(θ,t)‖≤M eωt,?(θ,t)∈Θ × R+;

    4)對所有的(θ,x)∈Θ × X,Φ(θ,·)x:[0,∞)→X連續(xù).

    定義 1.3[8]線性斜積半流π = (Φ,σ)稱為一致指數(shù)穩(wěn)定的如果存在常數(shù) N,v>0使得對?(t,θ,x)∈R+× Θ ×X 有

    注 1.1 若線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,則有

    對?(t,θ,x)∈R+×Θ ×X 和 p>0成立.

    定義 1.4[5]線性斜積半流π = (Φ,σ)稱為一致指數(shù)不穩(wěn)定的如果存在常數(shù)N,v>0使得對?(t,θ,x)∈R+× Θ ×X 有

    注 1.2 若Φ(θ,t)為單射,且線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,則

    對?(t,θ,x)∈R+×Θ ×X\{0}和 p>0 成立.

    引理1.1 線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的,當且僅當存在h>0和c∈(0,1),使得對每個 θ∈Θ 和每個 x∈X,存在 τ:= τθ,x∈(0,h]滿足

    引理 1.2 線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,當且僅當存在h>0和c>1,使得對每個 θ∈Θ 和每個 x∈X,存在 τ:= τθ,x∈(0,h]滿足

    2 主要結(jié)果

    定理2.1 線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的,當且僅當存在常數(shù)K,p>0及函數(shù)φ:(0,∞)→[0,∞)滿足φ(t)= ∞,使得對?(θ,x)∈Θ ×X 有

    證明 必要性 顯然.令 φ(t)=t(t>0),并結(jié)合注1.1即可得結(jié)論成立.

    充分性 利用反證法.如果π =(Φ,σ)不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,根據(jù)引理1.1可得,對任意h>0及 c∈(0,1)存在θ0∈Θ 和x0∈X 使得對所有 τ∈(0,h],有‖Φ(θ0,τ)x0‖ >c‖x0‖,那么

    從而 φ(h)cp≤K 對任意 c∈(0,1)及 h >0 成立.但這與(t)=∞矛盾,故π =(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

    定理2.2 線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的,當且僅當存在 p≥1及函數(shù)φ:(0,∞)→[0,∞)滿足φ(t)= ∞,使得對每個(θ,x)∈Θ ×X 存在Kθ,x>0 滿足

    證明 必要性 由定理3.1立得.

    充分性由H?lder不等式可得

    令 ξ(t)= (φ(t))1/p,t>0,則(t)= ∞ 以及

    進而對每個(θ,x)∈Θ ×X,存在δθ,x>0 使得

    其中χ[0,t]為特征函數(shù),易知At,θ為有界線性算子.進而對?t>0,(θ,x)∈Θ ×X,

    由一致有界原理,存在 D >0 使得‖At,θx‖L1≤D‖x‖對?t>0,(θ,x)∈Θ ×X 成立,因此

    故借助定理2.1可得結(jié)論成立.

    推論2.1 線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的,當且僅當存在 p≥1使得對每個(θ,x)∈Θ × X 有

    推論 2.2 線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的,當且僅當存在常數(shù)p≥1及序列ηn:N+→R+滿足ηn= ∞,使得對每個(θ,x)∈Θ×X有

    進而,對每個(θ,x)∈Θ × X,存在Kθ,x>0 使得(6)式成立,故π =(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

    定理 2.3 若Φ(θ,t)為單射,則線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,當且僅當存在常數(shù)K,p>0及函數(shù)φ:(0,∞)→[0,∞)滿足φ(t)= ∞,使得對?(θ,x)∈Θ ×X\{0}有

    證明 必要性 顯然.令 φ(t)=t(t>0),并結(jié)合注1.2即可得結(jié)論成立.

    充分性 利用反證法.如果π =(Φ,σ)不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,根據(jù)引理1.2可得,對任意h>0及 c>1 存在θ0∈Θ 和x0∈X\{0}使得對所有 τ∈(0,h],有‖Φ(θ0,τ)x0‖ <c‖x0‖,那么

    推論 2.3 若Φ(θ,t)為單射,則線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,當且僅當存在常數(shù) K,p>0 及序列ηn:N+→R+滿足= ∞,使得對?(θ,x)∈Θ ×X\{0}有

    證明 必要性 取ηn=n,n∈N+.

    充分性 利用引理1.2,采用反證法即可證明.

    定理2.4 線性斜積半流π =(Φ,σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,當且僅當存在常數(shù)K,p>0及函數(shù)φ:(0,∞)→[0,∞)滿足φ(t)=0,使得對?(θ,x)∈Θ ×X有

    充分性 如果π =(Φ,σ)不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的,根據(jù)引理1.2可得,對任意h>0及c>1存在θ0∈ Θ 和 x0∈ X 使得對所有 τ∈ (0,h],有‖Φ(θ0,τ)x0‖ <c‖x0‖,那么

    結(jié)合(11)式可得φ(h)cp≥K對任意 c>1及 h>0成立.但這與(t)=0矛盾,故π =(Φ,σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的.

    推論2.4 線性斜積半流ρ=(Φ,σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的當且僅當存在常數(shù)K,p>0及序列ηn:N+→R+滿足=0,使得對?(θ,x)∈Θ ×X有

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