基于地震波方程的地震數(shù)據(jù)波形偏移與最小二乘波形偏移方法

陳生昌

(浙江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院,浙江杭州310027)

地震數(shù)據(jù)偏移始于20世紀(jì)70年代初期[1-4],是當(dāng)前地震數(shù)據(jù)處理中最重要的方法技術(shù)之一,也是獲得地下構(gòu)造三維圖像的主要技術(shù)手段[5-8]。地震數(shù)據(jù)偏移的目的是利用數(shù)學(xué)處理的方法將在地表觀測(cè)到的地震波場(chǎng)送回到產(chǎn)生它的位置上去,以得到反映地下產(chǎn)生地震散射波或反射波的非均勻體的空間位置的偏移成像波場(chǎng)[9-13]。散射波偏移獲得散射體的位置,反射波偏移獲得反射體邊界的位置,即反射面的位置,因此地震數(shù)據(jù)偏移是一種構(gòu)造成像。經(jīng)過40多年的發(fā)展,地震數(shù)據(jù)偏移方法已從疊后發(fā)展到了疊前,從二維發(fā)展到了三維,從時(shí)間偏移發(fā)展到了深度偏移,從各向同性介質(zhì)發(fā)展到了各向異性介質(zhì),從標(biāo)量聲波方程發(fā)展到了矢量彈性波方程[14-15],從不需迭代的常規(guī)偏移發(fā)展到了基于迭代的最小二乘偏移[16-21]。

當(dāng)前的地震數(shù)據(jù)偏移和最小二乘偏移不區(qū)分散射和反射,在偏移中主要用反射的概念,在最小二乘偏移中主要應(yīng)用散射的概念。偏移的目的是對(duì)反射面空間位置進(jìn)行成像,但缺乏與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)物理正演方程。此外,雖然在偏移的波場(chǎng)傳播中使用了波動(dòng)方程,但由于其成像公式的原因,我們認(rèn)為當(dāng)前的地震數(shù)據(jù)偏移不是基于真正的波動(dòng)方程方法。最小二乘偏移利用散射理論構(gòu)建其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)物理正演問題,但其結(jié)果是非均勻體的速度相對(duì)擾動(dòng),由于地震數(shù)據(jù)的頻帶有限性,該結(jié)果不能有效地刻畫非均勻體邊界位置,所以最小二乘偏移不是對(duì)偏移的完善而是一種線性反演。

隨著油氣地震勘探目標(biāo)由構(gòu)造油氣藏向巖性油氣藏和頁巖油氣藏的發(fā)展,希望地震數(shù)據(jù)偏移結(jié)果不僅能實(shí)現(xiàn)對(duì)地下非均勻體構(gòu)造的成像,還能反映地下非均勻體巖性的變化,偏移結(jié)果可用于巖性解釋。為了適應(yīng)這種發(fā)展,本文首先簡(jiǎn)要回顧和評(píng)述了當(dāng)前主要面向構(gòu)造成像的地震數(shù)據(jù)偏移、地震數(shù)據(jù)偏移的照明補(bǔ)償和地震數(shù)據(jù)最小二乘偏移方法,然后將地震數(shù)據(jù)偏移(包括最小二乘偏移)定義為基于地震波方程的波形線性反演。根據(jù)地下非均勻體的大小和速度變化與地震波長之間的相對(duì)關(guān)系,將非均勻體劃分為散射體和反射體,產(chǎn)生相應(yīng)的散射波和反射波,利用散射理論和高頻近似分別推導(dǎo)出描述散射波運(yùn)動(dòng)的散射波方程和描述反射波運(yùn)動(dòng)的反射波方程,并將得到的散射波方程和反射波方程作為地震散射數(shù)據(jù)和反射數(shù)據(jù)的正演方程,最后利用線性反演方法,針對(duì)散射數(shù)據(jù)提出基于散射波方程的波形偏移與最小二乘波形偏移,針對(duì)反射數(shù)據(jù)提出基于反射波方程的波形偏移與最小二乘波形偏移。

1 地震數(shù)據(jù)偏移

在地震勘探中,地震散射波和反射波的物理傳播過程可直觀地表述為,地表震源激發(fā)的地震波向下傳播,即入射波向下傳播,入射波與地下非均勻體作用形成二次源,產(chǎn)生散射波和/或反射波,散射波和/或反射波向上傳播到地表被檢波器接收。在非均勻體處,入射波與散射波或反射波具有相同的旅行時(shí)。對(duì)于這樣的地震波物理傳播過程,在形式上可用BERKHOUT于1982年提出的“WRW”概念模型表示[22]。

基于上述地震波傳播物理過程和BERKHOUT“WRW”概念模型,當(dāng)前的地震數(shù)據(jù)偏移分兩步實(shí)現(xiàn),一是基于波動(dòng)方程的震源波場(chǎng)正向傳播和記錄波場(chǎng)反向傳播;二是成像,即根據(jù)入射波與散射波或反射波在非均勻體處具有相同旅行時(shí)的特征,利用正向傳播得到的入射波場(chǎng)和反向傳播得到的散射波場(chǎng)或反射波場(chǎng)實(shí)現(xiàn)對(duì)非均勻體空間位置的成像,即實(shí)現(xiàn)對(duì)非均勻體的構(gòu)造成像。

為了實(shí)現(xiàn)偏移中的波場(chǎng)傳播需要給定一個(gè)速度模型,通常稱為偏移速度模型,也叫宏觀速度模型。在該速度模型下,所謂的非均勻體是地下真實(shí)速度模型相對(duì)于宏觀速度模型的差異,并認(rèn)為用于偏移的地震數(shù)據(jù)(散射波數(shù)據(jù)和反射波數(shù)據(jù))是由非均勻體產(chǎn)生的。因此,對(duì)于用于偏移的宏觀速度模型,它不能產(chǎn)生可觀測(cè)到的散射波數(shù)據(jù)和反射波數(shù)據(jù),即宏觀速度模型必須是光滑變化的,再者宏觀速度模型必須保證入射波、散射波和反射波的旅行時(shí)準(zhǔn)確。對(duì)于散射波和反射波,宏觀速度模型控制波的傳播,而非均勻體控制散射波的散射和反射波的反射。

根據(jù)上述地震數(shù)據(jù)偏移兩步實(shí)現(xiàn)法,基于宏觀速度模型v0(x)的地震數(shù)據(jù)波動(dòng)方程逆時(shí)偏移計(jì)算公式如下。

1) 震源波場(chǎng)的正向傳播:

(1)

2) 基于伴隨運(yùn)算的記錄波場(chǎng)反向傳播(即記錄波場(chǎng)的逆時(shí)外推):

(2)

3) 基于時(shí)間一致性成像原理的構(gòu)造成像:

(3)

或

(4)

對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行偏移處理時(shí),我們需要一個(gè)盡可能準(zhǔn)確的宏觀速度模型v0(x),以保證在對(duì)非均勻體進(jìn)行構(gòu)造成像時(shí),正向傳播得到的震源波場(chǎng)us(x,t;xs)和反向傳播得到記錄波場(chǎng)ur(x,t;xs)有相同的旅行時(shí),否則就不能實(shí)現(xiàn)對(duì)非均勻體構(gòu)造的正確成像。公式(1)描述了入射波場(chǎng)的傳播,相當(dāng)于給定速度模型和震源函數(shù)的波場(chǎng)模擬。公式(2)以伴隨運(yùn)算方式描述了散射波場(chǎng)或反射波場(chǎng)的反向傳播,這種伴隨傳播是對(duì)逆?zhèn)鞑サ慕?相對(duì)于逆?zhèn)鞑ビ?jì)算效率高、穩(wěn)定性好,但重建出的地下散射波場(chǎng)或反射波場(chǎng)會(huì)受到地震波照明不均勻的影響,導(dǎo)致后續(xù)的偏移成像結(jié)果產(chǎn)生成像陰影,即地震波照明弱的地方偏移成像結(jié)果較差。成像公式(3)和公式(4)將散射波場(chǎng)或反射波場(chǎng)與入射波場(chǎng)聯(lián)系起來,并以此得到對(duì)非均勻體的成像。如果非均勻體是散射體,則成像結(jié)果是散射體空間位置的反映,如果非均勻體是反射體,則成像結(jié)果是反射體邊界空間位置的反映。根據(jù)物理上的直觀認(rèn)識(shí),偏移中公式(3)得到的偏移成像結(jié)果被認(rèn)為是地下反射系數(shù)的反映,實(shí)際上公式(3)所表示的散射波場(chǎng)或反射波場(chǎng)與入射波場(chǎng)間的關(guān)系并不滿足它們之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系,即公式(3)不是由散射波場(chǎng)或反射波場(chǎng)和入射波場(chǎng)所滿足的地震波方程推導(dǎo)出來的。公式(4)是一個(gè)計(jì)算穩(wěn)定的構(gòu)造成像公式,在當(dāng)前的偏移中被廣泛應(yīng)用,相對(duì)于公式(3),由公式(4)得到的偏移成像結(jié)果會(huì)受到震源地震波在地下照明不均勻和震源子波的影響,造成分辨率降低和成像陰影,即震源地震波照明弱的地方偏移成像結(jié)果較差的偏移成像陰影。

當(dāng)前地震數(shù)據(jù)偏移之所以由兩步組成,而且成像公式也不是由入射波和反射波(散射波)所滿足數(shù)學(xué)物理方程推導(dǎo)出來,是因?yàn)槿狈εc地震數(shù)據(jù)偏移所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)物理正演方程。正因如此,當(dāng)前的地震數(shù)據(jù)偏移主要是利用地震數(shù)據(jù)的相位信息,而不能正確地利用數(shù)據(jù)的波形信息。

2 地震數(shù)據(jù)偏移陰影的照明補(bǔ)償

根據(jù)波場(chǎng)傳播的Kirchhoff-Rayleigh積分Ⅱ,波場(chǎng)的正向傳播可表示為下述矩陣方程形式:

(5)

式中:V為已知波場(chǎng);L表示波場(chǎng)傳播矩陣;U表示V經(jīng)傳播后得到的波場(chǎng)。對(duì)于由波場(chǎng)U經(jīng)逆?zhèn)鞑サ玫讲▓?chǎng)V,在最小二乘意義下有:

(6)

其中,L-1為L的最小二乘逆,即:

(7)

式中:L*稱為L的伴隨矩陣。公式(6)的波場(chǎng)傳播稱為波場(chǎng)逆?zhèn)鞑?。如果將L*作為L-1的近似,用于公式(6)的波場(chǎng)傳播,即:

(8)

公式(8)所表示的波場(chǎng)傳播(也稱為波場(chǎng)的伴隨傳播,或逆時(shí)外推)就是上節(jié)逆時(shí)偏移中公式(2)的基于伴隨運(yùn)算的波場(chǎng)反向傳播。公式(8)的伴隨傳播相較于公式(6)的逆?zhèn)鞑ゾ哂杏?jì)算量小和穩(wěn)定性好的優(yōu)勢(shì),但(L*L)-1的缺失使得經(jīng)公式(8)傳播得到的波場(chǎng)Va相對(duì)于公式(6)得到的波場(chǎng)V保真性差、分辨率低。在給定速度模型下,波場(chǎng)傳播矩陣L是地下波場(chǎng)照明效應(yīng)的反映,(L*L)是地下波場(chǎng)照明強(qiáng)度的反映。

雖然成像公式(3)相較于成像公式(4)存在計(jì)算穩(wěn)定性方面的問題,但它不會(huì)受到震源地震波照明不均勻的影響,而且還能消除數(shù)據(jù)中的震源子波效應(yīng),有利于得到高分辨率的偏移結(jié)果。

在上節(jié)偏移中,如果利用從檢波點(diǎn)方向地震波對(duì)地下的照明強(qiáng)度對(duì)應(yīng)用公式(2)重建的地下波場(chǎng)進(jìn)行補(bǔ)償,同時(shí)應(yīng)用成像公式(3)進(jìn)行成像或利用震源方向地震波對(duì)地下的照明強(qiáng)度對(duì)成像(公式(4))的成像結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償,則我們就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)地震數(shù)據(jù)偏移成像陰影的照明補(bǔ)償[23]。經(jīng)照明補(bǔ)償?shù)玫降钠平Y(jié)果在深度方向上具有更好的均衡性,分辨率也會(huì)得到一定程度的提高。偏移照明補(bǔ)償對(duì)于鹽下構(gòu)造、高速推覆體下構(gòu)造、深層和超深層構(gòu)造成像具有重要意義。

3 地震數(shù)據(jù)最小二乘偏移

常規(guī)偏移中記錄波場(chǎng)的地下重建是借助波場(chǎng)傳播算子的伴隨完成的,得到的重建波場(chǎng)會(huì)受到地下速度變化導(dǎo)致的地震波照明不均勻的影響,再者,成像公式(3)也不是基于控制地震波的數(shù)學(xué)物理方程得到的。雖然利用上節(jié)的照明補(bǔ)償可以在一定程度上改進(jìn)照明不均勻?qū)е碌钠平Y(jié)果的成像陰影,但為了獲得不受地震波照明不均勻影響的高保真而且可以反映地下巖性變化的偏移結(jié)果,人們將地震數(shù)據(jù)偏移定義為一個(gè)基于波動(dòng)方程的線性反演問題,并嚴(yán)格求解。為了構(gòu)建該反問題,我們首先要在波動(dòng)方程的基礎(chǔ)上建立其對(duì)應(yīng)的正演問題。

假定速度模型可表示為:

(9)

其中,v0(x)為變化緩慢的背景模型,也可視為前述地震數(shù)據(jù)偏移中的宏觀速度模型;δv(x)為變化劇烈的擾動(dòng)模型,對(duì)應(yīng)的地震波可表示為:

(10)

其中,us(x,t)為背景模型下震源激發(fā)產(chǎn)生的波場(chǎng);δu(x,t)為擾動(dòng)模型產(chǎn)生的擾動(dòng)波場(chǎng)。根據(jù)散射理論和Born近似,有:

(11)

公式(11)就是當(dāng)前地震數(shù)據(jù)最小二乘偏移的正演方程,式中的m(x)就是待求的最小二乘偏移結(jié)果。在該方程中擾動(dòng)波場(chǎng)δu(x,t;xs)與m(x)呈線性關(guān)系。利用Green函數(shù),方程(11)可寫為下述積分方程:

(12)

式中“*”代表時(shí)間褶積。利用最小二乘法求解積分方程(公式(12)),得到m1(y,t;xs)的解估計(jì),有:

(13)

式中:M1為對(duì)應(yīng)m1(y,t;xs)的矩陣;G-1為對(duì)應(yīng)Green函數(shù)g(x,t;y)的矩陣G的最小二乘逆矩陣,有G-1=(G*G)-1G*,G*為G的伴隨矩陣;ΔU為對(duì)應(yīng)δu(x,t;xs)的矩陣。公式(13)的運(yùn)算即是波場(chǎng)的逆?zhèn)鞑?。利用反演得到的m1(y,t;xs)和背景模型下的模擬波場(chǎng)?2us(y,t;xs)/?t2,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)m(y)的求解,即:

(14)

公式(13)和公式(14)雖然在理論上給出了m(y)的結(jié)果,但存在一些數(shù)值計(jì)算方面的難題:一是最小二乘逆矩陣G-1中逆矩陣(G*G)-1的大規(guī)模計(jì)算問題;二是公式(14)右端中的波場(chǎng)相除運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)計(jì)算不穩(wěn)定問題。針對(duì)這些計(jì)算方面的問題,常用迭代的方法求解m(y)。用G的伴隨矩陣G*代替式(13)中的G-1,即:

(15)

公式(15)的運(yùn)算是波場(chǎng)的伴隨傳播,可以利用波場(chǎng)逆時(shí)外推的方法實(shí)現(xiàn),如上述公式(2)的計(jì)算。同時(shí)將公式(14)改寫為:

(16)

應(yīng)用Landweber迭代方法[24],可以得到下述基于迭代的最小二乘偏移。

1) 初始化。

2) 迭代過程。

式中α為步長因子,可用不同方法求取,如簡(jiǎn)單的線性搜索法,也可用(G*G)-1的近似值,如檢波點(diǎn)方向的地震波單向照明強(qiáng)度。

上述最小二乘偏移實(shí)質(zhì)上是對(duì)速度相對(duì)擾動(dòng)的線性反演,不是對(duì)速度擾動(dòng)體邊界空間位置和邊界反射系數(shù)的成像。它只是在迭代中利用了波場(chǎng)傳播算子的伴隨近似波場(chǎng)傳播算子的逆,即利用波場(chǎng)逆時(shí)外推的方式進(jìn)行地下記錄波場(chǎng)的重建,這一步運(yùn)算與逆時(shí)偏移是相同的。最小二乘偏移是在地震數(shù)據(jù)所滿足的地震波方程(即公式(12))的基礎(chǔ)上,利用最小二乘反演方法推導(dǎo)得到,因此不需要利用偏移方法中所謂的成像原理,這也是公式(14)與公式(3)的區(qū)別。我們認(rèn)為,最小二乘偏移不是對(duì)當(dāng)前偏移方法的改進(jìn),而是利用地震數(shù)據(jù)的散射理論表達(dá)重新定義的一種地震數(shù)據(jù)線性反演方法,這是因?yàn)橐环矫娈?dāng)前由波場(chǎng)外推和成像兩個(gè)步驟構(gòu)成的逆時(shí)偏移方法缺乏與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)物理正演方程,另一方面帶限地震數(shù)據(jù)的最小二乘偏移結(jié)果不能清楚地反映速度擾動(dòng)體的邊界位置。

上述地震數(shù)據(jù)的兩步偏移法及其成像公式是一種直觀的方法,沒有考慮宏觀速度模型下散射波和反射波的運(yùn)動(dòng)方程,在地震數(shù)據(jù)偏移和最小二乘偏移中也不區(qū)分散射波和反射波。偏移時(shí)將散射波視為反射波,統(tǒng)一用反射波的偏移方法進(jìn)行偏移。在最小二乘偏移中將反射波視為散射波,統(tǒng)一用散射理論構(gòu)建最小二乘偏移方法。當(dāng)前偏移是對(duì)產(chǎn)生反射波的反射體邊界空間位置進(jìn)行成像,得到的結(jié)果理論上是一個(gè)δ函數(shù);而最小二乘偏移是對(duì)產(chǎn)生散射波的非均勻體的速度擾動(dòng)進(jìn)行反演,得到的結(jié)果理論上是一個(gè)階躍函數(shù)。由于實(shí)際地震數(shù)據(jù)是缺失低頻和高頻成分的帶限數(shù)據(jù),因此所得到的最小二乘偏移結(jié)果不是一個(gè)階躍函數(shù)。我們認(rèn)為,實(shí)際地震數(shù)據(jù)最小二乘偏移結(jié)果可以準(zhǔn)確地反映局部散射體的空間位置,但不能準(zhǔn)確反映非局部反射層的邊界空間位置。

4 地震散射波方程與反射波方程

為了使得到的地震數(shù)據(jù)偏移結(jié)果不僅能實(shí)現(xiàn)對(duì)地下非均勻體的構(gòu)造成像,還能反映地下非均勻體巖性的變化并用于巖性解釋,我們需要重新定義地震數(shù)據(jù)偏移,將其定義為基于地震數(shù)據(jù)正演方程的波形線性反演,因而必須要有合適的描述地震波運(yùn)動(dòng)(如傳播和散射或反射等)的數(shù)學(xué)物理方程。

對(duì)于產(chǎn)生散射波和/或反射波的非均勻體,根據(jù)其體積大小,以地震波長為尺度,將空間尺寸與地震波長相當(dāng)?shù)姆蔷鶆蝮w視為產(chǎn)生散射波的散射體,而將空間尺寸比地震波長大的非均勻體視為產(chǎn)生反射波的反射體。此外,我們還可以根據(jù)速度擾動(dòng)δv(x)的變化,以地震波長為尺度將變化快的δv(x)視為產(chǎn)生散射波的散射體,將變化相對(duì)較慢的δv(x)視為產(chǎn)生反射波的反射體。上述劃分相當(dāng)于散射體在高頻近似條件下退化為反射體。在我們的研究中,散射體對(duì)于地震波視為空間中的一個(gè)點(diǎn),反射體對(duì)于地震波視為在空間上具有一定延續(xù)度的幾何體,因此散射體產(chǎn)生的散射波沒有方向性,而反射體產(chǎn)生的反射波具有方向性。

根據(jù)散射理論,對(duì)于相對(duì)于地震波長具有局部性和變化快的δv(x)產(chǎn)生的一次散射波,在Born近似下,可用下述方程描述:

(17)

其中,av(x)=[2δv(x)]/[v0(x)],稱為速度相對(duì)擾動(dòng);us(x,t;xs)為背景速度模型v0(x)下的背景波場(chǎng),有:

(18)

公式(17)稱為入射波作用下散射體產(chǎn)生的散射波的散射波方程,其右端項(xiàng)稱為產(chǎn)生散射波的二次源。

由于us(x,t;xs)在非源處滿足齊次波動(dòng)方程,因此公式(17)可寫為:

(19)

利用Green函數(shù)將公式(19)寫為積分形式:

(20)

如果地震波長相對(duì)于非均勻體的尺寸比較小或/和δv(x)的空間變化相對(duì)于地震波長尺度緩慢,即在av(y)相對(duì)地震波長尺度具有變化緩慢的高頻近似條件下,則可將非均勻體視為反射體,相應(yīng)地產(chǎn)生具有方向性的反射波,這種具有方向性的反射波可近似為局部平面波。相應(yīng)的一次散射波方程(20)退化為一次反射波方程:

(21)

(22)

將方程(22)變換到時(shí)間域,并寫為微分形式,可得到反射波動(dòng)方程(23),即:

(23)

式中:vr(x,σ)稱為與角度σ有關(guān)的速度相對(duì)擾動(dòng),有vr(x,σ)=av(x)cosσ。方程(23)為高頻近似下基于速度相對(duì)擾動(dòng)的反射波方程。

在地震勘探中,反射體產(chǎn)生的反射波直觀上可視為由反射面產(chǎn)生,而且反射面上的反射率也是一個(gè)常用的概念。反射率不僅能刻畫反射面的空間位置,還能反映反射面上速度擾動(dòng)的變化。我們將反射波方程(23)中的速度相對(duì)擾動(dòng)vr(x,σ)沿入射波傳播方向的方向?qū)?shù)定義為反射率。在vr(x,σ)相對(duì)地震波長滿足高頻近似條件的情形下,有下述反射率定義式:

(24)

利用反射率定義公式(24),可得到高頻近似下基于反射率變化的反射波方程:

(25)

5 地震散射數(shù)據(jù)的波形偏移

上節(jié)推導(dǎo)出的散射波方程(17)和背景速度下的入射波方程(18)是進(jìn)行散射波模擬和反演成像的基礎(chǔ)方程。所謂地震散射數(shù)據(jù)的波形偏移是在給定背景速度模型v0(x)、震源函數(shù)f(t)和散射地震數(shù)據(jù)δu(xg,t;xs)的條件下,根據(jù)散射數(shù)據(jù)的正演方程(17),利用反演的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)散射體空間位置的成像。

利用Green函數(shù),散射數(shù)據(jù)的正演方程(17)在頻率域可寫為積分形式:

(26)

(27)

(28)

(29)

由于我們的目的是得到av(y)的空間位置,根據(jù)文獻(xiàn)[25],可得到下述求取av(y)空間位置的散射地震數(shù)據(jù)波形偏移計(jì)算公式。

1) 地下入射波場(chǎng)的計(jì)算(對(duì)應(yīng)公式(27))。

(30)

2) 基于波場(chǎng)逆時(shí)傳播的地下散射波場(chǎng)近似重建(對(duì)應(yīng)積分方程(28)的近似求解)。

(31)

3) 得到對(duì)av(x)的近似反演(對(duì)應(yīng)公式(29)的近似計(jì)算)。

(32)

由于我們將產(chǎn)生散射波的散射體近似為一個(gè)點(diǎn)源體,因此公式(32)所得到的av(x)的近似反演結(jié)果也同樣能實(shí)現(xiàn)對(duì)其空間位置的成像[26]。

上述散射數(shù)據(jù)偏移計(jì)算公式完全是根據(jù)散射數(shù)據(jù)的正演表達(dá)式,利用反演方法得到,不需要應(yīng)用常規(guī)偏移中必須用的成像原理(公式)。由于利用了散射數(shù)據(jù)的正演方程,所得到的偏移方法可以可靠地利用散射數(shù)據(jù)的波形信息,因此這樣的偏移方法稱為波形偏移方法。

6 地震散射數(shù)據(jù)的最小二乘波形偏移

上節(jié)提出的由散射數(shù)據(jù)波形偏移方法得到的av(x)雖然能有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)散射體相對(duì)速度擾動(dòng)空間位置的成像,但在有關(guān)相對(duì)速度擾動(dòng)av(x)數(shù)值的保真度和分辨率方面與上文的最小二乘偏移方法一樣會(huì)受地下速度變化導(dǎo)致的地震波照明不均勻的影響和公式(32)對(duì)公式(29)所做的近似的影響。為了消除這些影響,得到高分辨和高保真度的相對(duì)速度擾動(dòng)av(x)反演結(jié)果,我們依照第4節(jié)的最小二乘偏移方法并結(jié)合文獻(xiàn)[27]提出的時(shí)間二階積分波場(chǎng)的全波形反演方法,提出了下述基于迭代的地震數(shù)據(jù)最小二乘波形偏移方法。

給定背景速度模型v0(x)、震源函數(shù)f(t)和散射地震數(shù)據(jù)δu(xg,t;xs),可利用下述迭代格式的最小二乘波形偏移求解av(x)。

1) 初始化。

2) 迭代過程。

計(jì)算數(shù)據(jù)殘差:

數(shù)據(jù)殘差的逆時(shí)外推:

(33)

(34)

k=k+1

式中:δui(xg,t;xs)表示共炮道集地震散射數(shù)據(jù)的時(shí)間二階積分。修正公式(34)中的α為步長因子,α可用類似于上面最小二乘偏移中的方法求取。

在迭代過程中,如果將前述的照明補(bǔ)償加進(jìn)來則可以有效提高迭代的收斂速度。

7 地震反射數(shù)據(jù)的波形偏移

相對(duì)于散射波數(shù)據(jù),反射波數(shù)據(jù)是地震勘探中最常見的數(shù)據(jù),反射數(shù)據(jù)的偏移與反演方法是地震數(shù)據(jù)處理中重要的方法技術(shù),也是獲取地下三維構(gòu)造圖像的重要手段。上面推導(dǎo)出的基于速度相對(duì)擾動(dòng)和反射率變化的兩個(gè)反射波方程(23)、方程(25)和背景速度下的入射波方程(18)是進(jìn)行反射波模擬和反演成像的基礎(chǔ)方程。所謂地震反射數(shù)據(jù)的波形偏移就是在給定背景速度模型v0(x)、震源函數(shù)f(t)和反射地震數(shù)據(jù)ur(xg,t;xs)的條件下,根據(jù)反射數(shù)據(jù)的正演方程(反射波方程(23)或方程(25)),利用反演的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)反射體速度相對(duì)擾動(dòng)和反射率的近似反演。

7.1 速度相對(duì)擾動(dòng)的波形偏移

基于上面推導(dǎo)出的基于速度相對(duì)擾動(dòng)的反射波方程(23)和入射波方程(18),采用類似于推導(dǎo)地震散射數(shù)據(jù)波形偏移的方法,我們可以推導(dǎo)出地震反射數(shù)據(jù)的速度相對(duì)擾動(dòng)波形偏移(近似反演)計(jì)算公式。

1) 地下入射波場(chǎng)的計(jì)算。

(35)

2) 基于波場(chǎng)逆時(shí)傳播的地下反射波場(chǎng)近似重建。

(36)

式中:ur(xg,t;xs)為共炮道集地震反射數(shù)據(jù)。

3) 得到對(duì)速度相對(duì)擾動(dòng)vr(x,σ)的近似反演結(jié)果。

(37)

速度的相對(duì)擾動(dòng)是一個(gè)階躍函數(shù),因此在對(duì)其進(jìn)行反演成像時(shí)數(shù)據(jù)的低頻成分非常重要,為了凸顯數(shù)據(jù)中的低頻成分,根據(jù)公式(29)和文獻(xiàn)[26]提出的時(shí)間二階積分波場(chǎng)的全波形反演方法,我們將公式(36)和公式(37)分別改寫公式(38)和公式(39)。

(38)

(39)

本節(jié)所提出的速度相對(duì)擾動(dòng)波形偏移方法可以用于對(duì)地下反射層巖性變化進(jìn)行成像[30]。

7.2 反射率的波形偏移

基于反射率變化的反射波方程(25)和入射波方程(18),采用類似于推導(dǎo)上述地震反射數(shù)據(jù)的速度相對(duì)擾動(dòng)波形偏移方法,我們可以推導(dǎo)出地震反射數(shù)據(jù)的反射率波形偏移計(jì)算公式[25]。

1) 地下入射波場(chǎng)的計(jì)算。

(40)

2) 基于波場(chǎng)逆時(shí)傳播的地下反射波場(chǎng)近似重建。

(41)

式中:ur(xg,t;xs)為共炮道集地震反射數(shù)據(jù)。

3) 得到關(guān)于反射率r(x,σ)的近似反演結(jié)果。

(42)

反射率是速度相對(duì)擾動(dòng)的方向?qū)?shù),理論上在速度分界面處是一個(gè)δ函數(shù),一個(gè)沿速度分界面的分布函數(shù),因此即使對(duì)于帶限地震反射數(shù)據(jù),本節(jié)所得到的r(x,σ)的近似反演結(jié)果也能有效地刻畫反射面的空間位置。

上述推導(dǎo)出的波形偏移方法不同于當(dāng)前基于Claerbout成像原理的波動(dòng)方程逆時(shí)偏移方法,它是一種基于反射波動(dòng)方程的近似反演方法,不需要應(yīng)用所謂的偏移成像原理及其成像公式,能夠在波動(dòng)方程意義下真實(shí)地應(yīng)用地震數(shù)據(jù)的波形信息,是一種真正的波動(dòng)方程偏移方法。

8 地震反射數(shù)據(jù)的最小二乘波形偏移

上節(jié)提出的反射數(shù)據(jù)波形偏移方法雖然可以實(shí)現(xiàn)對(duì)速度相對(duì)擾動(dòng)vr(x,σ)和反射率r(x,σ)的近似反演成像,但其結(jié)果的保真度和分辨率會(huì)受到因地下速度變化引起的地震波照明不均勻和反演近似的影響。為了消除這些影響,得到對(duì)速度相對(duì)擾動(dòng)vr(x,σ)和反射率r(x,σ)的高分辨和高保真反演結(jié)果,依照地震散射數(shù)據(jù)最小二乘波形偏移方法,提出地震反射數(shù)據(jù)最小二乘波形偏移方法。

8.1 速度相對(duì)擾動(dòng)的最小二乘波形偏移

根據(jù)前述地震反射數(shù)據(jù)速度相對(duì)擾動(dòng)波形偏移計(jì)算公式,我們提出基于迭代的地震反射數(shù)據(jù)速度相對(duì)擾動(dòng)的最小二乘波形偏移。

給定背景速度模型v0(x)、震源函數(shù)f(t)和反射地震數(shù)據(jù)ur(xg,t;xs),可利用下述迭代格式的最小二乘波形偏移求解速度相對(duì)擾動(dòng)vr(x,σ)。

1) 初始化。

2) 迭代過程。

計(jì)算數(shù)據(jù)殘差:

(43)

數(shù)據(jù)殘差時(shí)間二階積分的逆時(shí)外推:

(44)

(45)

k=k+1

在迭代過程中,如果將照明補(bǔ)償加進(jìn)來則可以有效提高迭代的收斂速度。

本節(jié)所提出的速度相對(duì)擾動(dòng)最小二乘波形偏移實(shí)際上是一種對(duì)地下反射層巖性變化的線性反演,所得到的反演結(jié)果相對(duì)于速度相對(duì)擾動(dòng)波形偏移的結(jié)果具有更好的保真性和更高的分辨率。

8.2 反射率的最小二乘波形偏移

根據(jù)前述地震反射數(shù)據(jù)反射率波形偏移計(jì)算公式,我們提出基于迭代的地震反射數(shù)據(jù)反射率的最小二乘波形偏移[31]。

給定背景速度模型v0(x)、震源函數(shù)f(t)和反射地震數(shù)據(jù)ur(xg,t;xs),可利用下述迭代格式的最小二乘波形偏移求解反射率r(x,σ)。

1) 初始化。

令:rk(x,σ)=0,k=0,計(jì)算震源波場(chǎng):

2) 迭代過程。

計(jì)算數(shù)據(jù)殘差:

(46)

數(shù)據(jù)殘差的逆時(shí)外推:

(47)

對(duì)rk(x,σ)的修正:

rk+1(x,σ)=rk(x,σ)+αv0(x)·

(48)

k=k+1

在迭代過程中,如果將照明補(bǔ)償加進(jìn)來則可以有效提高迭代的收斂速度。

本節(jié)所提出的反射率最小二乘波形偏移實(shí)際上是一種對(duì)地下反射層界面反射率變化的線性反演,所得到的反演結(jié)果相對(duì)于反射率波形偏移的結(jié)果具有更好的保真性和更高的分辨率。

9 結(jié)論

在給定偏移的宏觀速度模型下,本文根據(jù)地下非均勻體大小和其速度變化與地震波長之間的相對(duì)關(guān)系,將非均勻體劃分為散射體和反射體,相應(yīng)地產(chǎn)生散射波和反射波。在散射理論的基礎(chǔ)上,首先得到描述散射波傳播與散射的散射波方程;然后再利用高頻近似,得到兩種描述反射波的反射波方程,即基于速度相對(duì)擾動(dòng)的反射波方程和基于反射面上反射率的反射波方程。將得到的散射波方程和反射波方程作為地震散射數(shù)據(jù)和反射數(shù)據(jù)的正演方程,利用線性反演方法,分別提出地震散射數(shù)據(jù)的波形偏移與最小二乘波形偏移和地震反射數(shù)據(jù)的波形偏移與最小二乘波形偏移。地震反射數(shù)據(jù)的波形偏移與最小二乘波形偏移包括了目標(biāo)分別為速度相對(duì)擾動(dòng)和反射率兩種不同形式。基于地震數(shù)據(jù)正演方程所提出的地震數(shù)據(jù)波形偏移與最小二乘波形偏移是對(duì)當(dāng)前地震數(shù)據(jù)偏移和最小二乘偏移方法的理論完善,其偏移結(jié)果相對(duì)于當(dāng)前的偏移與最小二乘偏移的結(jié)果具有更明確的數(shù)學(xué)物理意義。