遞增二次約束混沌系統(tǒng)基于圓判據(jù)觀測器的同步*

趙友男 ， 章 偉 ， 宋 芳

（1.上海工程技術(shù)大學(xué)智能控制和機器人實驗室，上海 201620；2.華中科技大學(xué)教育部圖像處理與智能控制重點實驗室，湖北 武漢 430074）

0 引 言

混沌是一種存在于非線性系統(tǒng)中的特殊現(xiàn)象。由于它對初始條件的高度敏感性，混沌在保密通信等領(lǐng)域有著較好的應(yīng)用。近年來，作為混沌保密通信基礎(chǔ)的混沌同步，已經(jīng)成為這一領(lǐng)域的研究熱點。Pecora和Carroll[1]最早使用驅(qū)動響應(yīng)的方法研究混沌同步。之后，很多研究者提出了很多不同的混沌同步方案[2-4]。

隨著非線性系統(tǒng)觀測器的研究深入，研究者們提出了很多基于觀測器的混沌同步與控制方案[5-7]。Boutayeb等人[8]為一類滿足Lipschitz條件的混沌系統(tǒng)提出了一種一般的基于觀測器的混沌同步。楊俊起和朱芳來[9]使用一種步進(jìn)滑模觀測器實現(xiàn)了混沌同步。Cherrier等人[10]設(shè)計了滑模觀測器，實現(xiàn)了帶有未知輸入的混沌系統(tǒng)的同步。王劃等人[11-12]研究了帶有未知參數(shù)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題。

觀測器可以產(chǎn)生漸近趨近于系統(tǒng)狀態(tài)的估計值。最初，Thau[13]介紹了一種用于Lipschitz非線性系統(tǒng)的保證觀測器誤差漸近穩(wěn)定的條件。之后，很多觀測器設(shè)計方案被提出[14-15]。近些年，滿足單邊Lipschitz條件的非線性系統(tǒng)的觀測器成為一個熱門領(lǐng)域[16]。這主要是由于用于單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)的觀測器在Lipschitz常數(shù)較大時也能表現(xiàn)出較好的性能。這一點要優(yōu)于傳統(tǒng)的Lipschitz非線性系統(tǒng)的觀測器。最近，D’Alto和Corless[17]提出了一種滿足遞增二次約束（Incremental Quadratic Constraint，δQC）的非線性系統(tǒng)觀測器。δQC為多種常見的非線性系統(tǒng)提供了統(tǒng)一的描述，也就是說，很多常見的非線性約束條件如Lipschitz條件[18]、扇形有界條件[19]和單邊Lipschitz條件[20]都是δQC的一種特例。滿足δQC的非線性系統(tǒng)的觀測器的存在條件已經(jīng)被提出[21]。Chakrabarty等人[22]研究了在δQC非線性系統(tǒng)存在有界的外部輸入時的觀測器設(shè)計問題。

受到文獻(xiàn)[23]的啟發(fā)，本文主要為滿足δQC的非線性系統(tǒng)設(shè)計了一種圓判據(jù)觀測器，并且使用此觀測器實現(xiàn)了基于觀測器的混沌同步。由于δQC為多種常見的非線性系統(tǒng)提供了統(tǒng)一描述，本文的混沌同步方案適用于多種常見混沌系統(tǒng)。

文章安排如下：第1節(jié)介紹預(yù)備知識和系統(tǒng)的模型；第2節(jié)設(shè)計基于觀測器的混沌同步；第3節(jié)進(jìn)行仿真驗證；第4節(jié)總結(jié)全文。

1 系統(tǒng)描述和遞增二次約束

考慮如式（1）所示的一類混沌系統(tǒng)：

統(tǒng)一混沌系統(tǒng)可以由以下形式描述[11]：

當(dāng)α∈[0,1]時，這個系統(tǒng)是混沌的；當(dāng)α=0時，系統(tǒng)簡化為原始的Lorenz系統(tǒng)；當(dāng)α=1時，系統(tǒng)變?yōu)樵嫉腃hen系統(tǒng)。上述統(tǒng)一系統(tǒng)可以寫為式（1）的形式，其中：

Liu系統(tǒng)的方程為[24]：

當(dāng)a=10，b=40，k=1，c=2.5，h=4時，系統(tǒng)有一個混沌吸引子。上述系統(tǒng)寫成式（1）的形式，其中：

下面將給出關(guān)于遞增二次約束（δQC）[17]條件的如下定義。

定義1[21]：一個對稱矩陣 M ∈是向量值非線性函數(shù)f(q)的一個遞增乘數(shù)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)f(q)滿足如式（12）所示的遞增二次約束條件：

遞增乘數(shù)矩陣M為向量值非線性函數(shù)f(q)刻畫了一種具有遞增意義的性質(zhì)。實際上，很多常見的非線性函數(shù)滿足δQC條件。

例如，假設(shè)f(q)滿足Lipschitz條件，即存在某個標(biāo)量γ＞0，使不等式：

遞增乘數(shù)矩陣M為：

再如，當(dāng)f(q)滿足單邊Lipschitz條件[16]時，即存在某個ρ∈R，有：

混沌是一種經(jīng)常出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中的現(xiàn)象。很多混沌系統(tǒng)是滿足δQC的。例如，Bloch系統(tǒng)[25]：

其中 δ=-0.4π，λ=30，Ψ=0.173，τ1=5，τ2=2.5。然后，這個系統(tǒng)可以改寫為：

Bloch系統(tǒng)的非線性部分屬于與文獻(xiàn)[17]中的多胞體情形（Polytope Case）。根據(jù)文獻(xiàn)[17]中的結(jié)論，通過求解線性矩陣不等式，可以得到遞增乘數(shù)矩陣：

2 系統(tǒng)描述和觀測器設(shè)計

本節(jié)考慮一種具有線性輸出的混沌系統(tǒng)模型：

構(gòu)造一種基于圓判據(jù)的觀測器：

定理1：假設(shè)混沌系統(tǒng)滿足δQC，其中遞增乘數(shù)矩陣M滿足式（25）的形式且M22≤0，M11＞0。若對于某個已知的α＞0，存在矩陣P=PT＞0，Lq、R使線性矩陣不等式：

成立，其中：

則式（28）是系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定觀測器，其中增益矩陣L=P-1R。對于所有的t＞0都有狀態(tài)值誤差e(t)滿足：

證明：系統(tǒng)的狀態(tài)誤差動力學(xué)方程為：

其中：

根據(jù)式（4）和式（12），可得：

其中Φ由式（16）給出。選擇V(e)=eTPe作為Lyapunov函數(shù)，V沿著狀態(tài)軌跡的時間導(dǎo)數(shù)為：

由于M11＞0，用Schur補引理可以將不等式（10）寫成如下形式：

其中：

顯然，有解的一個必要條件是M22≤0。

記：

不等式（15）可以改寫成如下形式：

因此，用[eTδfT]及其轉(zhuǎn)置分別左右乘不等式（37），結(jié)果為：

由不等式（13）和不等式（18）可得：

利用比較引理（見文獻(xiàn)[26]的定理3.4），可知：

結(jié)合：

可得：

因此：

3 仿真實例

在這一章節(jié)，通過一個實例來展示觀測器系統(tǒng)的同步效果。這里選取第2節(jié)中使用的例子Bloch系統(tǒng)作為本章的仿真實例。

設(shè)系統(tǒng)的線性輸出為：

這個系統(tǒng)可以改寫為：

根據(jù)第2節(jié)的例子，f(q)滿足δQC且M由等式（22）給出。使用第3節(jié)的定理1，求解得到的觀測器的增益矩陣為：

當(dāng)初值為x(0)=[0 0 0]、x(0)=[8 -10 12]時，圖1展示了Bloch系統(tǒng)的混沌吸引子，圖2展示了觀測器產(chǎn)生的估計值與實際值的誤差衰減的曲線。綜合圖1和圖2可以看出，盡管Bloch系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象十分復(fù)雜，但是設(shè)計的混沌同步方案使觀測器系統(tǒng)和混沌系統(tǒng)之間的估計誤差在很短的時間內(nèi)以指數(shù)速率收斂到0，實現(xiàn)了系統(tǒng)間的同步。仿真結(jié)果說明，提出的基于圓判據(jù)觀測器的混沌同步方案是可行的。

圖1 Bloch系統(tǒng)的混沌吸引子

圖2 觀測器的估計誤差e

4 結(jié) 語

本文為滿足遞增二次約束（δQC）條件的非線性系統(tǒng)設(shè)計了一種圓判據(jù)觀測器，并將這種觀測器用于混沌同步。因為δQC條件為很多常見的非線性系統(tǒng)提供了一種統(tǒng)一的描述形式，相比于傳統(tǒng)的混沌同步方案，所以本文的同步方案可以適用于多種不同的混沌系統(tǒng)。此外，觀測器存在的充分條件由線性矩陣不等式給出，易于求解。觀測器的估計誤差以指數(shù)速率收斂到0，實時性好。仿真的結(jié)果表明，該混沌同步方案的有效性。后續(xù)工作會考慮在系統(tǒng)中增加有界的外部擾動，即在非線性系統(tǒng)中添加未知輸入，并對系統(tǒng)的進(jìn)行魯棒控制，或者設(shè)計自適應(yīng)控制方案。