變步長(zhǎng)LMS算法及在數(shù)字預(yù)失真中的應(yīng)用*

云 濤

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第十研究所，四川 成都 610000）

0 引 言

業(yè)界對(duì)功放行為模型進(jìn)行了大量研究，提出了許多簡(jiǎn)單高效的預(yù)失真模型，如Wiener[1]、Hammerstein[2]、GMP[3]和DVR[4]模型等，并在民用通信領(lǐng)域取得了極大成功，但是研究預(yù)失真參數(shù)提取的文獻(xiàn)相對(duì)較少。文獻(xiàn)[5]指出用一組樣條基函數(shù)來(lái)代替多項(xiàng)式函數(shù)，不僅可增強(qiáng)模型擬合能力，而且提高了參數(shù)求解的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[6]指出通過線性插值和外推可減少待求參數(shù)個(gè)數(shù)，以降低參數(shù)求解的資源開銷；文獻(xiàn)[7]指出通過頻率選擇性壓縮采樣可降低計(jì)算量。以上文獻(xiàn)介紹的參數(shù)提取方法大多基于數(shù)據(jù)塊，不利于FPGA實(shí)時(shí)處理，收斂時(shí)間在秒量級(jí)。文獻(xiàn)[8]提出利用LMS算法求解預(yù)失真參數(shù)。LMS算法要求不同時(shí)刻的輸入信號(hào)向量線性無(wú)關(guān)。不滿足該條件時(shí)，LMS算法的收斂速率將會(huì)變慢、跟蹤性能變差。

對(duì)預(yù)失真參數(shù)快速提取問題，本文提出了一種自適應(yīng)變步長(zhǎng)的隨機(jī)梯度下降算法（ALMS）。該方法利用參考信號(hào)和誤差信號(hào)的指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（EWMA），自適應(yīng)調(diào)整迭代步長(zhǎng)，提高了收斂速率，同時(shí)降低了穩(wěn)態(tài)波動(dòng)。

本文安排如下：首先介紹廣義記憶多項(xiàng)式模型和基于樣條基函數(shù)的化簡(jiǎn)，其次詳細(xì)分析最速下降算法的迭代步長(zhǎng)和收斂性之間的關(guān)系，再次介紹ALMS的原理和實(shí)現(xiàn)，最后給出歸一化LMS和ALMS收斂時(shí)間和性能的對(duì)比。

1 數(shù)字預(yù)失真

1.1 預(yù)失真訓(xùn)練架構(gòu)

數(shù)字預(yù)失真訓(xùn)練架構(gòu)分為直接和間接訓(xùn)練架構(gòu)。間接訓(xùn)練架構(gòu)首先求取功放失真模型，再求逆得到預(yù)失真模型。然而，求逆過程不僅消耗計(jì)算資源，也因求逆精度存在性能損失。而直接訓(xùn)練架構(gòu)直接求解功放的逆模型，省去了求逆過程，性能更優(yōu)，架構(gòu)如圖1所示。

圖1 直接訓(xùn)練架構(gòu)

圖1 中，x為預(yù)失真輸入，z為預(yù)失真輸出，oRx為功放耦合輸出，v為經(jīng)反饋處理和x對(duì)齊后的失真信號(hào)，y=v-x為誤差信號(hào)。

1.2 預(yù)失真模型

本文采用廣義記憶多項(xiàng)式模型：

其中k表示非線性階數(shù)，i和j分別表示信號(hào)延時(shí)和幅度延時(shí)，ci,j,k表示多項(xiàng)式系數(shù)。直接按照式（1）進(jìn)行預(yù)失真會(huì)消耗大量的乘法器資源，且高階多項(xiàng)式條件數(shù)大，系數(shù)求解不穩(wěn)定。對(duì)式（1）進(jìn)行適當(dāng)變換，先對(duì)k求和得到：

其中fp為樣條基函數(shù)，為對(duì)應(yīng)基函數(shù)系數(shù)，w為參數(shù)矢量，u為x和fp生成的模型輸入矢量。

LMS迭代公式如下：其中，η=μγ為泄露因子，γ為正則化因子，μ為迭代步長(zhǎng)。

1.3 收斂分析

設(shè)wo=R-1up為維納解，相關(guān)矩陣Ru=E[uuH]，互相關(guān)向量p=E[ux*(n)]。令偏差εn=wn-wo，帶入最速下降迭代公式，整理得到：

εn+1=(I-μ(Ru+γI))εn（4）矩陣Ru+γI特征值分解為VΛVH，其中：

λi為矩陣Ru的特征值。帶入式（4）并令bn=VHεn，整理得到：

為了保證迭代算法的收斂性，要求 |1-μ(λi+γ)|＜1對(duì)所有i均成立，且收斂速度最快的步長(zhǎng)為：

從圖2可以更好地理解式（7）。

主要結(jié)論如下：

（1）當(dāng) μ∈(0,2/(λmax+γ))時(shí)，可保證迭代算法的收斂性；

（2）當(dāng) μ*=2/(λmax+λmin+2γ)時(shí)，收斂速度最快；一般有 λmax?γ?λmin，有 μ*≈2/λmax，區(qū)域 1 長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于區(qū)域2長(zhǎng)度；

（3）根據(jù)小步長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)理論，在統(tǒng)計(jì)意義上，以上結(jié)論對(duì)LMS仍然成立。

1.4 ALMS算法

從章節(jié)1.3的分析可看到，在區(qū)域1內(nèi)，步長(zhǎng)μ越大，收斂速度越快，但隨機(jī)擾動(dòng)也越大，造成預(yù)失真后發(fā)射底噪抬升。此外，μ*由λmax決定，而λmax由Ru決定。為了利用上述關(guān)系，可以建立模型輸入u、誤差信號(hào)y和步長(zhǎng)μ之間的映射關(guān)系。當(dāng)

自相關(guān)ru(0)較小或誤差較大時(shí)，用大步長(zhǎng)；當(dāng)ru(0) 較大或誤差較小時(shí)，用小步長(zhǎng)。

圖2 SGD收斂分析

本文采用指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（EWMA）對(duì)ru(0)和誤差信號(hào)功率p(n)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)：

β1和β2為可調(diào)參數(shù)，可在響應(yīng)速度和估計(jì)性能之間折中選取。

ALMS迭代公式為：

式中，迭代步長(zhǎng)的調(diào)整同時(shí)考慮了模型輸入功率和實(shí)時(shí)誤差功率，并用EWMA代替了瞬時(shí)估計(jì)，提高了歸一化LMS算法的收斂速度和穩(wěn)定性。此外，采用對(duì)數(shù)函數(shù)log2對(duì)和進(jìn)行預(yù)處理，可避免除法運(yùn)算，便于FPGA實(shí)現(xiàn)。

2 實(shí)測(cè)結(jié)果與分析

本文基于xilinx zc706和AD9371開發(fā)dpd算法，對(duì)比歸一化LMS和ALMS算法的收斂時(shí)間和穩(wěn)態(tài)性能。測(cè)試功放為U頻段AB類功放，dpd模型采用11個(gè)查找表，dpd建模速率和反饋速率均為245.76 MHz，測(cè)試信號(hào)為10 MHz的OFDM信號(hào)，信號(hào)中心頻點(diǎn)350 MHz。測(cè)試358 MHz處的100 kHz帶寬內(nèi)信號(hào)電平分析收斂時(shí)間，收斂時(shí)間定義為從啟動(dòng)迭代到達(dá)穩(wěn)態(tài)性能減3 dB的時(shí)間。測(cè)試方案如圖3所示。

圖3 測(cè)試方案

測(cè)試結(jié)果如圖4、圖5所示。測(cè)試結(jié)果的具體指標(biāo)，如表1所示（注：μ=1/2mu）。

從圖4可得出，本文提出的ALMS算法的穩(wěn)態(tài)性能和小步長(zhǎng)mu=24一致。相對(duì)大步長(zhǎng)mu=18，底噪改善約5 dB。從圖5可看到，ALMS的收斂時(shí)間相比小步長(zhǎng)大幅縮短，逼近大步長(zhǎng)收斂時(shí)間。綜上，ALMS在穩(wěn)態(tài)性能和收斂時(shí)間之間取得了較好平衡。

圖4 穩(wěn)態(tài)性能對(duì)比

圖5 收斂時(shí)間對(duì)比

表1 測(cè)試結(jié)果

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出根據(jù)輸入模型信號(hào)和誤差信號(hào)的EWMA自適應(yīng)變步長(zhǎng)LMS算法，進(jìn)一步縮短了歸一化LMS算法收斂時(shí)間，同時(shí)降低了穩(wěn)態(tài)波動(dòng)，優(yōu)化了算法的跟蹤性能。最后，通過兩組對(duì)比試驗(yàn)，證明了算法的有效性。