回轉(zhuǎn)副測量安裝位姿不確定性影響分析與評價

向?明，王?智，王德倫，吳南星

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回轉(zhuǎn)副測量安裝位姿不確定性影響分析與評價

向?明1, 2，王?智1，王德倫1，吳南星2

(1. 大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院，大連 116024；2. 景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)機械電子工程學(xué)院，景德鎮(zhèn) 333001)

將測量儀軸線矢量描述為直紋面的直母線，直母線隨回轉(zhuǎn)軸一起誤差運動，其軌跡形成直紋面，通過建立的直紋面幾何模型分析測量儀安裝位姿不確定性對測量結(jié)果影響，并提出一種消除儀器安裝位姿不確定性影響的評價新方法．定義了球面像誤差和腰線誤差去描述直紋面的誤差運動范圍，并通過優(yōu)化得到全局不變量．采用全局不變量對主軸誤差運動進(jìn)行評價具有唯一性，可以剔除安裝位姿不確定對測量結(jié)果的影響．通過Lion公司的雙標(biāo)準(zhǔn)球測量儀實際測量得到主軸誤差運動參數(shù)，通過3次安裝實驗優(yōu)化結(jié)果對比，驗證該方法的有效性．

運動幾何學(xué)；直紋面；不確定性；回轉(zhuǎn)副；誤差運動

回轉(zhuǎn)軸在真實轉(zhuǎn)動過程中做六自由度誤差運動．在ASME標(biāo)準(zhǔn)B89.3.4中，介紹了回轉(zhuǎn)軸誤差運動(error motion)的測量方法與分析[1]．標(biāo)準(zhǔn)中定義了回轉(zhuǎn)軸誤差運動為軸線偏離平均軸線的程度[2-3]. Anandan等[4]采用激光測量高轉(zhuǎn)速主軸的誤差運動，并對測量不確定性的影響因素進(jìn)行研究．陳衡等[5]對超精密主軸進(jìn)行測量，并通過試驗分析了影響測量結(jié)果不確定性的因素．崔中等[6]建立柔性體動力學(xué)模型研究高速磨床主軸精度，對其不確定性進(jìn)行數(shù)值模擬和研究．文獻(xiàn)[7-9]研究測量中不確定度評定方法和影響因素．為了獲得實測環(huán)節(jié)中的各測量因素對測量結(jié)果的影響，艾燁霜等[10]采用反演方法進(jìn)行數(shù)值模擬研究遙感測量中的影響因素．

在主軸測量過程中有許多影響因素導(dǎo)致測量結(jié)果的不確定性，其影響因素自身也具有不確定性．本文關(guān)注測量儀安裝位姿的不確定性對測量結(jié)果的影響．標(biāo)準(zhǔn)[2-3]中介紹了在平面內(nèi)測量中，儀器安裝偏心會產(chǎn)生心形線，在評價結(jié)果時需要消除安裝偏心對測量結(jié)果的影響．武利生等[11]研究如何消除CCD平面與被測尺寸平面不平行而帶來的測量誤差．林清鋒等[12]分析了球桿儀的安裝位置對測量誤差的影響規(guī)律，提出了一種安裝誤差分離的方法．

上述文獻(xiàn)說明安裝不確定性與精度測量不確定性有著密切關(guān)聯(lián)．在分析和研究回轉(zhuǎn)誤差運動中，王德倫等[13-15]以運動微分幾何學(xué)為基礎(chǔ)，提出定軸圓柱、定軸回轉(zhuǎn)、定軸螺旋運動不變量的表達(dá)式．本文采用Lion公司的雙標(biāo)準(zhǔn)球測量儀進(jìn)行測試獲得主軸誤差運動參數(shù)．建立描述回轉(zhuǎn)誤差運動的直紋面運動幾何學(xué)模型，通過誤差運動的反演，分析儀器軸線矢量的位置和方向不確定性對測量結(jié)果的影響．定義了球面像誤差和腰線誤差概念去描述誤差運動的角擺誤差和位移誤差．通過優(yōu)化得到固定坐標(biāo)系上最小球面像誤差矢量和最小腰線誤差矢量．最小球面像矢量和最小腰線誤差矢量是全局不變量，具有唯一性．采用全局不變量對回轉(zhuǎn)副誤差運動進(jìn)行評價，可以剔除儀器安裝位姿不確定性對評價結(jié)果的影響.

1?回轉(zhuǎn)軸誤差運動幾何學(xué)模型

回轉(zhuǎn)軸誤差運動描述為運動坐標(biāo)系相對于固定坐標(biāo)系的六自由度誤差運動．其誤差運動變換矩陣可以通過離散測量得到．本文采用車床主軸作為回轉(zhuǎn)軸測量實例，采用Lion公司的雙標(biāo)準(zhǔn)球測試儀進(jìn)行實際測試．雙標(biāo)準(zhǔn)球測量儀軸線表示為直紋面的直母線，離散測量得到的直母線在空間中的軌跡形成直紋面．

1.1?運動坐標(biāo)系與運動幾何模型

如圖1所示，沿主軸方向為f軸方向，在理想加工過程中，車床主軸繞f軸旋轉(zhuǎn)，其他5個自由度被約束．但是在實際工況中，主軸做無規(guī)律誤差運動，對于回轉(zhuǎn)誤差運動通常采用5個自由度的誤差運動來描述(不關(guān)注繞f軸的誤差運動)．

圖1?誤差運動幾何模型

???(1)

?????(2)

???(3)

1.2?主軸誤差運動測量的幾何方程

圖2?雙標(biāo)準(zhǔn)球測量圖

在固定坐標(biāo)系中，有閉環(huán)矢量方程

???(4)

(5)

1.3?車削主軸測試與直紋面

采用雙標(biāo)準(zhǔn)球精度測試儀進(jìn)行車床CKD6136主軸測量，轉(zhuǎn)速100,r/min．雙標(biāo)準(zhǔn)球測量儀球體圓度誤差小于50,nm，非接觸測量距離值范圍為50,μm．將雙標(biāo)準(zhǔn)球測試儀安裝在臥式車床上，如圖3所示．

圖3?車削誤差運動測量實驗

Fig.3 Measurement experiment of turning error motion

根據(jù)式(1)～(5)計算并繪制出雙標(biāo)準(zhǔn)球、兩球在空間運動形成的直紋面．如圖4(a)所示上述測量結(jié)果得到主軸誤差運動的直紋面，圖4(b)、(c)為主軸誤差運動的腰點和球面像(去除安裝方向誤差).

圖4?直紋面及其腰點和球面像

Fig.4 Ruled surface and its spherical image points and striction points

2?直紋面的誤差運動參數(shù)

在運動幾何學(xué)[14-15]中，球面像和腰線是描述直紋面性質(zhì)參數(shù)．給出球面像誤差和腰線誤差的定義和計算方法，對應(yīng)為誤差運動中的角擺誤差和位置誤差.

2.1?離散誤差運動的球面像和腰線

???(6)

直紋面的腰點處公垂線：在固定坐標(biāo)系中直紋面腰線計算公式為

???(7)

(8)

2.2?球面像誤差和腰線誤差

在分析回轉(zhuǎn)誤差運動時需要進(jìn)行方向誤差和位置誤差的擬合，得到回轉(zhuǎn)運動的擬合軸線，擬合軸線分為方向擬合和位置擬合兩步完成．軸線方向擬合函數(shù)為

???(9)

軸線位置擬合函數(shù)表示為

???(10)

為了描述誤差運動的方向與距離變化范圍，定義了球面像誤差和腰線誤差概念．

圖5?球面像誤差示意

圖6?腰線誤差示意

球面像誤差和腰線誤差在幾何意義上直觀地表達(dá)了方向和位置誤差范圍，建立了運動幾何學(xué)與剛體誤差運動的幾何聯(lián)系．

3?測量儀安裝不確定性對測量結(jié)果影響分析

安裝在卡盤上的矢量可抽象表示為運動坐標(biāo)系中的矢量．如圖7所示，在卡盤運動坐標(biāo)系中有兩矢量.

圖7?運動坐標(biāo)系上的兩個矢量

每次安裝時，測量矢量都不會重復(fù)上一次安裝的位置和方向，這就是儀器安裝的不確定性．如圖8所示，設(shè)置兩個位置不同矢量，矢量端點[0，7.5mm，1.0mm]和[20×103mm，7.5,mm，1,mm]，矢量端點[0，7.5,mm，4.0,mm]和[20×103mm，7.5,mm，4.0,mm]，對比兩個矢量，通過誤差運動的反演，即通過式(1)～(3)可得到不同的直紋面．

由于每次測量儀器安裝矢量不確定性，對于相同的主軸誤差運動，其直接測量值會有所不同．那么，在測得主軸誤差運動后，如何消除安裝矢量不確定性對評價結(jié)果的影響呢？

圖8?兩個相同球面像的矢量

如圖9(a)為矢量所形成的直紋面，9(b)為矢量所形成的直紋面．從圖可以看出工件安裝在卡盤不同的位置得到的直紋面是不同的．同時，其球面像誤差和腰線誤差也是不同的．

圖9?兩個工件安裝位置矢量的直紋面

4?全局不變量與實驗驗證

從上述分析中可以看出，對于相同的誤差運動變換矩陣，即在相同的誤差運動情況下，測量儀器的安裝位置和方向?qū)τ跍y量結(jié)果會產(chǎn)生影響．本節(jié)通過優(yōu)化方法得到最小球面像誤差矢量和最小腰線誤差矢量，最小球面像誤差矢量和最小腰線誤差矢量為全局不變量，具有唯一性．

4.1?最小球面像誤差矢量和最小腰線誤差矢量

如圖4的直紋面測量，通過優(yōu)化方法可得到球面像誤差最小矢量，其優(yōu)化方程可表示為

???(11)

如圖4的直紋面測量，通過優(yōu)化方法同樣可得到腰線誤差最小矢量，其優(yōu)化方程可表示為

???(12)

通過上述分析可得到最小球面像誤差矢量和最小腰線誤差矢量，其值具有唯一性．其物理意義可以理解為儀器矢量最佳安裝位姿，當(dāng)儀器安裝矢量與最佳安裝位姿重合時，其測得直紋面角擺(球面像)誤差和位置(腰線)誤差值為全局最小值．并且全局不變量可以通過反演計算得到，不需要調(diào)整儀器矢量位姿，即測量結(jié)果可以排除安裝位姿不確定性的影響．

4.2?兩次安裝對評價結(jié)果的影響

通過優(yōu)化得到儀器矢量最佳安裝位姿．針對同一機床主軸，3次安裝雙標(biāo)準(zhǔn)球測量儀并測量，求得第2次球面像誤差和腰線誤差，并將第1次、第2次和第3次計算結(jié)果兩兩對比，得到最大差值百分比，如表1所示．

表1?3次安裝所得直紋面球面像誤差和腰線誤差

Tab.1 Error of the spherical surface and the waist line from the three installations

由于主軸本身誤差運動具有不確定性．所以，通過3次測量并以不變量進(jìn)行描述同一主軸誤差運動時，球面像誤差最大相差4.41%,，腰線誤差最大相差1.96%,．

5?結(jié)?論

(1) 建立描述回轉(zhuǎn)副誤差運動的直紋面模型，全面、直觀地描述測量儀器安裝矢量的空間誤差運動．通過直紋面模型，采用反演方法可以分析得到儀器安裝矢量對回轉(zhuǎn)軸誤差運動的影響規(guī)律．提出了一種新的回轉(zhuǎn)副評價方法，該方法可以消除儀器安裝位姿不確定性對測量結(jié)果的影響．

(2) 從運動幾何學(xué)角度定義了球面像誤差和腰線誤差概念對應(yīng)回轉(zhuǎn)軸誤差運動的角擺和位置誤差，建立了運動幾何學(xué)與剛體誤差運動的幾何聯(lián)系．

(3) 通過建立誤差運動分析模型，優(yōu)化找到了最小腰線誤差和最小球面像誤差矢量，對應(yīng)儀器矢量最佳安裝位姿．從運動幾何角度分析了最小腰線誤差和最小球面像誤差矢量具有唯一性．

(4) 本文通過Lion公司的雙標(biāo)準(zhǔn)球測試儀實際測量得到主軸誤差運動，并通過3次安裝測量同一主軸誤差運動，計算最小腰線誤差和最小球面像誤差矢量，通過對比實驗驗證了該方法的可行,．

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Wang Delun，Wang Wei.[M]. Beijing：China Machine Press，2015(in Chinese).

(責(zé)任編輯：孫立華)

Analysis and Evaluation of Installation Uncertainty in Rotary Pair Measurement

Xiang Ming1，2，Wang Zhi1，Wang Delun1，Wu Nanxing2

(1. School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China； 2. School of Mechanical and Electrical Engineering，Jingdezhen Ceramic Institute，Jingdezhen 333001，China)

The axis of two master balls is expressed as straight generatrix of a ruled surface. The straight generatrix traces a ruled surface along with the error motion of spindle. The paper presents a new ruled surface model to describe the error motion and analyze the influence of measuring equipment installation error on measurement results. Based on the analysis，a new method of evaluation is formed that can eliminate the influence of equipment installation error on measurement results. The spherical image error and the striction error are defined as parameters to describe the range of the error motion. The minimum spherical image error vector and the minimum waist line error vector are obtained by traversing the vectors on all the discrete points in the moving coordinate system. The influence of equipment installation error on measurement results can be eliminated by using the best position and attitude vector. The error motion measurement is obtained by actual measurement of the two master balls of Lion Corporation. The feasibility of the method is verified by three contrast tests.

kinematic geometry；ruled surface；uncertainty；rotary pair；error motion

the National Natural Science Foundation of China(No.51775079).

TH122

A

0493-2137(2018)11-1210-07

2018-03-28；

2018-05-01.

向?明（1977—??），男，博士研究生.

向?明，xiangmingjx@163.com.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51775079).

10.11784/tdxbz201803104