常微分方程求解中改進(jìn)遺傳算法的應(yīng)用

劉艷云

（陽泉師范高等?？茖W(xué)校 山西·陽泉 045200）

在學(xué)術(shù)研究或工程應(yīng)用中，建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)踐問題是極為普遍的方式。但在利用常微分方程或微分方程組時(shí)，除少數(shù)特殊類型的微分方程能夠快速解析并得到較為精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)類型之外，其他多數(shù)方程組在解出數(shù)據(jù)信息時(shí)存在一定的困難，所得數(shù)據(jù)結(jié)果也僅為無限接近于真實(shí)情況的近似值。由于實(shí)踐問題類型復(fù)雜多樣，且無法針對(duì)其中的復(fù)雜因素加以排查，因此在實(shí)際研究過程中，必須針對(duì)復(fù)雜函數(shù)的運(yùn)算過程加以改善，將其求解近似值的難度加以弱化，進(jìn)而在求解過程中達(dá)到快速搜索最優(yōu)解集的效果，并將其最優(yōu)解集控制在精度較高的范圍。而運(yùn)用遺傳算法便是其中極為重要的求解思路，通過優(yōu)化解集路徑，并對(duì)比分析其中數(shù)據(jù)模型的契合度，從而在進(jìn)一步優(yōu)化解集條件時(shí)，改善最優(yōu)解集方案的流程，提高最終取值范圍的精確性。

一、應(yīng)用改進(jìn)遺傳算法解析常微分方程的優(yōu)勢(shì)

（一）遺傳算法的運(yùn)算機(jī)制

遺傳算法的英文全稱為：Genetic Algorithm，傳統(tǒng)意義的遺傳算法是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論中的自然選擇學(xué)說和遺傳學(xué)機(jī)理而設(shè)計(jì)的生物進(jìn)化計(jì)算模型。將遺傳算法應(yīng)用于常微分方程并未改變其原本的運(yùn)算機(jī)制，也是以模擬自然進(jìn)化流程尋找和搜尋最優(yōu)解集的方案，明確常微分方程的解題路徑。遺傳算法所描述的是潛在解集存在的最優(yōu)種群，而每一個(gè)種群都具有相應(yīng)的基因編碼個(gè)數(shù)，適用于常微分方程在常規(guī)條件下的適應(yīng)個(gè)體解集。在相對(duì)獨(dú)立的解集中，勢(shì)必存在遺傳因子的適應(yīng)度問題，如果適應(yīng)度較強(qiáng)，則說明染色體具備了優(yōu)先選擇機(jī)制，能作為最優(yōu)解集輸出，得到常微分方程的最優(yōu)解決方案。而適應(yīng)度較弱，則代表該染色體并不具備最優(yōu)解集特征，需要在運(yùn)算流程中予以剔除。利用遺傳算法的最優(yōu)解集尋找方案，能在進(jìn)化過程中摒棄并不重要的普通解集，有選擇性地開發(fā)具備遺傳特征的最優(yōu)解集。因此，在種群迭代反映后，最終從優(yōu)勝劣汰的演化機(jī)制中不斷接近于最優(yōu)解集的特征，便可逐代演化產(chǎn)生近似解，且在每一代個(gè)體適應(yīng)度上不斷接近遺傳因子的最佳運(yùn)行狀態(tài)，并從中篩選出具有遺傳特征的常微分方程最優(yōu)解。通過組合交叉、變異等過程，子代繼承了父代優(yōu)良基因，而并未脫離解集種群原有的運(yùn)算條件，因此其解碼過程更加契合常微分方程的求解需求，體現(xiàn)了優(yōu)化運(yùn)算流程和適應(yīng)度的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于強(qiáng)化常微分方程的最優(yōu)解集甄選具有支持作用[1]。而這樣的遺傳進(jìn)化過程，也相當(dāng)于將導(dǎo)致種群解集運(yùn)算偏差的不利因素進(jìn)行剝離，從而契合自然進(jìn)化的種群迭代演化機(jī)制，形成更加適應(yīng)全新后代種群生存條件的客觀環(huán)境。因此，末代種群中必然存在常微分方程的最優(yōu)個(gè)體，該個(gè)體也是在諸多解碼程序中最終得到的最優(yōu)解集，滿足了常微分方程所有求解需求，是優(yōu)化解題路徑和強(qiáng)化常微分方程解析環(huán)境的有效方式，得到的結(jié)果也可以作為常微分方程問題的近似最優(yōu)解。

（二）應(yīng)用遺傳算法解析常微分方程的優(yōu)勢(shì)

改進(jìn)遺傳算法，是針對(duì)對(duì)常微分方程求解近似值過程中的簡(jiǎn)化模式。基本應(yīng)用思路是：運(yùn)用最小二乘原理，并綜合運(yùn)用微分方程的函數(shù)模型，將求解問題轉(zhuǎn)為求解最小取值范圍的函數(shù)問題，從而利用改進(jìn)后的遺傳算法優(yōu)化問題類型，簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟與時(shí)間，并提供完整的最優(yōu)解集條件。

對(duì)于部分多目標(biāo)、多模型、非線性的函數(shù)解題優(yōu)化路徑而言，應(yīng)用遺傳算法是優(yōu)化解題路徑的過程，而且針對(duì)不可微和存在多峰值的函數(shù)類型，其他算法的求解過程更為繁瑣，難度也更大。由于遺傳算法本身具備更高的并行運(yùn)算條件，所得數(shù)據(jù)類型的分段運(yùn)算結(jié)果具有隨機(jī)性，故其自適應(yīng)能力較強(qiáng)，可以優(yōu)化全局解集的搜索概率與范圍，進(jìn)而得到最優(yōu)解集的可行性方案。因此，應(yīng)用遺傳算法解析常微方程是優(yōu)化求解路徑的有效方式之一，可以提供完整的解題思路與最佳解集方案。

將常微分方程求解的流程轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化解集方案的模式，是利用遺傳算法構(gòu)造近似方程組的解析模式，所以可以在最大程度上優(yōu)化方程解集的取值范圍，也是應(yīng)用遺傳算法優(yōu)化常微方程解題流程的有效措施。

（三）簡(jiǎn)單的函數(shù)優(yōu)化方向

設(shè)函數(shù)f（x）為x=a的臨近區(qū)域，在取值范圍內(nèi)以n+1為階，可推導(dǎo)出位于臨近區(qū)域的任意點(diǎn)x的點(diǎn)集空間，令a與x以及之間存在函數(shù)關(guān)系：

依據(jù)此公式，能明確多項(xiàng)式函數(shù)的取值空間，并由此空間構(gòu)造常微分方程的解集范圍，所得多項(xiàng)式函數(shù)的取值空間就是相對(duì)簡(jiǎn)化的函數(shù)χ，在其自身乘積范圍γn中作為線性組合所得到的具有函數(shù)特征的數(shù)值。利用這一函數(shù)空間，能令函數(shù)形式簡(jiǎn)化，從而在應(yīng)用過程中逐步簡(jiǎn)化，從而得到相對(duì)簡(jiǎn)易的函數(shù)特征，這一特征也是優(yōu)化計(jì)算機(jī)算法實(shí)現(xiàn)快速解集構(gòu)建的主要方式。尤其這一函數(shù)空間已經(jīng)無限接近于所有函數(shù)的近似值，因此其函數(shù)表達(dá)能力較強(qiáng)。但在邊界處理數(shù)據(jù)條件時(shí)，更加傾向于罰函數(shù)處理方案，以常微分方程解析流程的轉(zhuǎn)化，促使問題逐步最優(yōu)并得到最佳解集的取值范圍，具體實(shí)現(xiàn)流程為：

首先，構(gòu)建數(shù)據(jù)集合 M（x,wo,w1,…,wk）=w0+w1x+w2x2+…。類似形式的函數(shù)近似值是常微方程在求解過程中逐步優(yōu)化的參數(shù)變量。對(duì)于x,wo,w1,…,wk的集合而言，其參量的優(yōu)化方案也有助于提高后續(xù)運(yùn)算的便捷性。

其次，在選擇多項(xiàng)式的函數(shù)近似值時(shí)，其常微分方程本身的解集范圍也相對(duì)明確，并從中提取最為簡(jiǎn)單的解集方案?？梢岳枚囗?xiàng)式函數(shù)的取值范圍鎖定最小二乘解的取值空間，具體實(shí)現(xiàn)方法可以構(gòu)建Ⅳ個(gè)等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)模型，函數(shù)表達(dá)式為：

最后，在邊界條件相對(duì)明確后，可由構(gòu)造的罰函數(shù)模型約束其最優(yōu)化解集的取值空間，將類似問題轉(zhuǎn)化為并不存在約束條件的最優(yōu)化解集。因此，其罰函數(shù)可以完成基本運(yùn)算模式的推導(dǎo)，并能強(qiáng)化與之前解集取值范圍的對(duì)比效果。

此外，設(shè) E,P為針對(duì)（x,wo,w1,…,wk）的函數(shù)參量，其近似值令的解集范圍更為精準(zhǔn)，因此所得函數(shù)解集為解集組中那個(gè)最優(yōu)化方案，它支持運(yùn)算條件的不斷優(yōu)化與改善。在運(yùn)算過程中，令V=E（M）+αP（M）為最小取值空間，其中以α代表正函數(shù)的取值范圍，同時(shí)得到 α=1，x1，x2，…，xn-1 無限趨近于[a，b]的常微函數(shù)運(yùn)算條件。因此，利用遺傳算法，能有效降低常微函數(shù)方程的求解難度，并以最小值函數(shù)運(yùn)算的方式優(yōu)化求解流程。

二、常微分方程求解中改進(jìn)遺傳算法的應(yīng)用

設(shè)常微分方程應(yīng)用遺傳算法的函數(shù)表達(dá)式為：Y=-1/5y+exp（-x/5）cosx，y=0，x 無限接近于[0,1]。 該函數(shù)方程可以作為遺傳算法在常微分方程求解過程中的優(yōu)化方案，通過構(gòu)建數(shù)據(jù)集合的方式明確近似值的取值范圍。因此，常微分方程組的多項(xiàng)式經(jīng)過特定的解題次數(shù)，就能完成多項(xiàng)系數(shù)的歸集。求解初始條件y=0的常數(shù)項(xiàng)，相當(dāng)于約束了取值空間的具體范圍?；诖?，多項(xiàng)系數(shù)均可以利用遺傳算法的模型逐步進(jìn)化，并得到最優(yōu)解決方案?？梢岳眠z傳算法模型編寫優(yōu)化函數(shù)的文件M，同時(shí)令M文件生成平行向量，并得到初始標(biāo)量的運(yùn)算條件。在平行向量?jī)?nèi)的目標(biāo)函數(shù)長(zhǎng)度是由相對(duì)獨(dú)立的變量基數(shù)決定的，并依據(jù)遺傳算法在各個(gè)參量中的取值范圍鎖定函數(shù)目標(biāo)，其中包括變量個(gè)數(shù)、種群大小及其優(yōu)化條件，交叉概率以及種群迭代次數(shù)等一系列優(yōu)化求解的運(yùn)算環(huán)境。

在遺傳算法工具箱中，分別設(shè)number of variables 的取值為 1，2，3，…，7，相當(dāng)于分別構(gòu)建了完整的多項(xiàng)式近似方程的解集，運(yùn)算結(jié)果在很大程度上符合了三次多項(xiàng)式的求解要求，更加適用于最小值的求解流程，因此由適應(yīng)度的取值范圍擴(kuò)大便可說明其運(yùn)算規(guī)律的優(yōu)化形式已經(jīng)得到改善。其中，適應(yīng)度值越小，它所代表的函數(shù)求解方向越接近于精確解，因此相應(yīng)的解集中構(gòu)造三次多項(xiàng)式的運(yùn)算方案也會(huì)快速得到近似方程，并通過遺傳算法得到精準(zhǔn)度更高的解集。

（一）群體規(guī)模對(duì)遺傳算法最優(yōu)解集尋找效率的影響

當(dāng)群體規(guī)模存在相對(duì)較小的取值范圍時(shí)，遺傳算法所具有的搜索空間極為有限，而個(gè)體解集之間由于缺乏多樣性，并不容易快速獲取最優(yōu)解集。但當(dāng)群體規(guī)模逐步擴(kuò)大并增加到涵蓋了更多運(yùn)算信息與條件后，遺傳算法的進(jìn)化條件得以補(bǔ)充，因此可以快速搜索到更多的解集范圍。因此，在個(gè)體空間的基礎(chǔ)數(shù)量不斷增加與迭代累積時(shí)，獲得最優(yōu)解的可能性反而更高，得到近似于最優(yōu)解的取值范圍相對(duì)縮小，并無限接近于常微分方程的求解需求?；诟倪M(jìn)后的遺傳算法能為常微分方程求解提供更多的解集類型，并篩選出并不適應(yīng)當(dāng)前數(shù)據(jù)集合的參考值[3]。因此，當(dāng)種群大到一定程度時(shí)，遺傳迭代的最終結(jié)果也會(huì)不斷優(yōu)化其取值空間的合理性。

（二）交叉概率角度對(duì)遺傳算法收斂性的影響

從交叉概率角度對(duì)遺傳算法的收斂性進(jìn)行評(píng)估，能從微分方程的影響中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)交叉概率和搜索空間相對(duì)較小時(shí)，遺傳算法很難從中快速提取最優(yōu)解集。但在交叉率不斷增加時(shí)，遺傳算法在尋找最優(yōu)解的過程中也會(huì)不斷提高發(fā)掘幾率。如果交叉率過高，這樣的現(xiàn)象并不會(huì)持續(xù)，此類現(xiàn)象與遺傳算法過度擴(kuò)增其搜索范圍與解集空間有關(guān)。如果忽略了微分方程的局部特征，或者搜索區(qū)域的穩(wěn)定性與集中性，同樣也無法快速尋找到最優(yōu)解集。相關(guān)研究表明，將交叉概率盡量控制在0.65至0.85的取值范圍時(shí)，才能夠達(dá)到預(yù)期的收斂效果，才能為尋找最優(yōu)解集創(chuàng)造便利條件。

（三）進(jìn)化代數(shù)對(duì)遺傳算法收斂效果的影響

從進(jìn)化代數(shù)對(duì)遺傳算法收斂效果的影響中能夠發(fā)現(xiàn)，隨著進(jìn)化代數(shù)的不斷增加，收斂效果有可能發(fā)生好轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。但當(dāng)進(jìn)化代數(shù)不斷擴(kuò)增至較高范圍時(shí)，反而會(huì)降低運(yùn)算效率或頻次，令實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象無法充分顯現(xiàn)。如果運(yùn)行時(shí)間不斷增加，遺傳算法中的進(jìn)化代數(shù)也會(huì)不斷上升。將所有參數(shù)全部設(shè)為依據(jù)遺傳算法而得到的最優(yōu)解集時(shí)，早期代數(shù)信息中個(gè)體離理想值仍然較遠(yuǎn)，那么遺傳算法所尋求的最佳值也會(huì)被迅速發(fā)掘。因此，對(duì)于遺傳算法，后代中多種群解集越接近于最佳點(diǎn)時(shí)，最優(yōu)解集的可利用價(jià)值越高，最佳值改進(jìn)的效果也相對(duì)放緩。最終求得的代優(yōu)化參數(shù)為精確解集的理論參考值，將精確解和近似解進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)求得的近似解在定義域內(nèi)，且不存在與定義域外精確解的近似度，因此其最優(yōu)解集的運(yùn)算效果更為明顯和突出。

結(jié)語

綜上所述，在眾多工程技術(shù)問題中，糾結(jié)于常微分方程求解的數(shù)學(xué)形式并無法快速消解其中的解題難度。求解流程中應(yīng)用遺傳算法，能以不斷演化和衍生出的子代信息優(yōu)化父代解集中的缺陷，同時(shí)令常微分方程的求解能力更強(qiáng)，所得解集更加接近于實(shí)際情況，進(jìn)而支持由求解問題向最優(yōu)解集問題的轉(zhuǎn)化，支持求解精度的進(jìn)一步提升。對(duì)常微分方程求解中改進(jìn)遺傳算法的應(yīng)用進(jìn)行分析能夠發(fā)現(xiàn)，群體規(guī)模對(duì)遺傳算法最優(yōu)解集尋找效率的影響，交叉概率角度對(duì)遺傳算法的收斂性影響，進(jìn)化代數(shù)對(duì)遺傳算法的收斂效果影響，都是在最大程度上優(yōu)化遺傳算法最優(yōu)解集尋找速度的刺激方式。因此，在拓寬遺傳算法的適用范圍后，能為微分方程的求解提供全新的運(yùn)算環(huán)境，從而實(shí)現(xiàn)微分方程求解速度的優(yōu)化，進(jìn)一步證明遺傳算法在求解最優(yōu)化問題的有效性，并最終完成微分方程的求解，提高微分方程的求解精度。