淺談“截取法”解決周期性電磁場的多解問題

張樹國

(無錫市玉祁高級中學 江蘇 無錫 214183)

帶電粒子在周期性電磁場運動的多解性問題，學生困難在于難以畫出粒子的軌跡圖，不能形成運動情境，從而寫不出正確的規(guī)律方程．筆者在教學中嘗試用“截取法”來解決此類問題，取得了良好的教學效果，下面舉例說明．

【例1】如圖1(a)所示，長為L，間距為d的兩金屬板A，B水平放置，ab為兩板的中心線，一個帶電粒子以速度v0從a點水平射入，沿直線從b點射出，若將兩金屬板接到如圖1(b)所示的交變電壓上，欲使該粒子仍能從b點以速度v0射出，求：交變電壓的周期T應(yīng)滿足什么條件？

圖1 例1題圖

在教學中，先引導學生在不考慮極板的長度和寬度的情況下，畫出粒子從a點出發(fā)在對應(yīng)的周期性電壓下(周期性電場下)的多時間的軌跡圖(圖2).

圖2 粒子多時間的軌跡圖

易發(fā)現(xiàn)這樣的時間起點不可能沿著直線從b點射出，再引導從0.25T開始畫圖，便可以實現(xiàn)粒子從b點射出，如圖3所示．

圖3 從0.25 T開始畫圖，粒子從b點射出

筆者提示，我們現(xiàn)在是沒有任何的空間條件的制約，此題在這樣的周期電壓下的粒子軌跡圖不該僅局限于圖3吧？會有很多個這樣的情況啊，便有了圖4的出現(xiàn)．

圖4 沒有任何空間條件下粒子軌跡圖

在教學中，讓學生在現(xiàn)有的軌跡圖中把極板的長度和寬度“補”到軌跡圖4中使其滿足題意要求．學生非常容易上手，也比較順利地寫出空間制約條件下對應(yīng)的方程式．如下

L=nv0T(n=1,2,3，…)

學生開始雖然知道粒子做類平拋，但畫圖受到現(xiàn)有圖形空間限制，很難作出符合題意的粒子運動軌跡，筆者在多次教學中嘗試，先不考慮空間約束去畫粒子在無窮大空間中運動軌跡，看什么樣的軌跡符合題意的要求，再在現(xiàn)有的正確的軌跡圖中(圖5)去“截取”其中符合題意的圖形，這樣就容易寫出相應(yīng)的方程．筆者把這種做法稱之為“截取法”．

圖5 截取正確的軌跡圖

【例2】如圖6(a)所示，MN為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個小孔O和O′正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強度隨時間的變化如圖6(b)所示.有一群正離子在t=0時垂直于M板從小孔O射入磁場.已知正離子質(zhì)量為m，帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應(yīng)強度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所受重力.求：

(1)磁感應(yīng)強度B0的大?。?/p>

(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度v0的可能值.

設(shè)垂直于紙面向里的磁場方向為正方向.

圖6 例2題圖

應(yīng)用“截取法”，先把邊界條件去掉，大膽地根據(jù)力和運動的關(guān)系，作出多周期下的軌跡圖，再把空間制約條件補上去(定性而已)，便能很好地突破此題的難點．

步驟1：先不考慮MN之間的空間制約，作出帶電粒子在如圖6(b)所示的磁場中運動的軌跡(多周期)，如圖7所示.

圖7 帶電粒子在如圖6(b)所示的磁場中運動的軌跡

步驟2：將MN兩平板邊界“補”上去，只需注意能滿足題意要求的．不難發(fā)現(xiàn)有很多種可截取的情況，便出現(xiàn)了多解．

步驟3：學生結(jié)合軌跡圖像(圖8)，寫出相應(yīng)的關(guān)系等式．

圖8 學生結(jié)合軌跡圖像，寫出相應(yīng)的關(guān)系式

設(shè)偏轉(zhuǎn)圓半徑為r

d=n·4r(n=1,2,3,…)

【例3】(2014年高考江蘇卷第14題)某裝置用磁場控制帶電粒子的運動，工作原理如圖9所示．裝置的長為L，上下兩個相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B,方向與紙面垂直且相反，兩磁場的間距為d．裝置右端有一收集板，M，N，P為板上的3點，M位于軸線OO′上，N，P分別位于下方磁場的上、下邊界上．在紙面內(nèi)，質(zhì)量為m，電荷量為-q的粒子以某一速度從裝置左端的中點射入，方向與軸線成30°角，經(jīng)過上方的磁場區(qū)域一次，恰好到達P點．改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達收集板上的位置．不計粒子的重力．

(1)求磁場區(qū)域的寬度h；

(2)欲使粒子到達收集板的位置從P點移到N點，求粒子入射速度的最小變化量Δv；

(3)欲使粒子到達M點，求粒子入射速度大小的可能值．

試題分析：此題的難點依舊是學生難以作出滿足題目要求的軌跡圖，也就難以書寫出正確的幾何關(guān)系方程式．

答題策略：學生可以先不考慮磁場空間的限制，根據(jù)力和運動的規(guī)律作出帶電粒子在無場區(qū)和磁場區(qū)的往復性運動的軌跡圖,如圖10所示.

圖10 不考慮磁場帶電粒子運動軌跡

然后根據(jù)題目要求在圖10上截取符合題意要求的部分軌跡，如圖11所示.

圖11 在圖10中截取符合題意的部分軌跡

(1)由圖11，學生易得

L=3rsin30°+3dcos30°

h=r(1-cos30°)

(2)同樣采用“截取法”便可得圖12.

圖12 采用“截取法”得到的帶電粒子運動的軌跡

易得幾何關(guān)系：3rsin30°=4r′sin30°

得解．

(3)設(shè)粒子經(jīng)過上方磁場n次，利用“截取法”可得圖13．

圖13 利用“截取法”，得到粒子經(jīng)過磁場n次的運動軌跡

由圖13 易得

L=(2n+2)dcos30°+(2n+2)rnsin30°

得解．

綜上所述，應(yīng)用“截取法”能準確地找到某一要求下的具體“方位”，在解決周期性多解問題時能起到化繁為簡的效果，學生若能用好這種方法來解決此類問題，便能在較短的時間里尋找到所要書寫的幾何規(guī)律方程，大大提升解題的準確率，起到事半功倍的效果．