電動(dòng)機(jī)中反電動(dòng)勢(shì)模型的建立與釋疑*

吳廣國

(北京景山學(xué)校 北京 100006)

張思宇

(北京市東城區(qū)教師研修中心 北京 100009)

黃琭琰 鄒斌

(中央民族大學(xué)理學(xué)院 北京 100081)

1 問題來源

人教版普通高中《物理·選修3-2》的“法拉第電磁感應(yīng)定律”一節(jié)中講到反電動(dòng)勢(shì)．教材中給出如圖1所示的直流電動(dòng)機(jī)，并提出了這樣的問題：處于磁場(chǎng)中的線圈轉(zhuǎn)動(dòng)，會(huì)使得線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．那么，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)對(duì)電源產(chǎn)生的電流是起了加強(qiáng)作用還是減弱作用呢？是推動(dòng)還是阻礙線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)呢？[1]

圖1 直流電動(dòng)機(jī)的模型和側(cè)面圖[2]

由圖1可知，直流電動(dòng)機(jī)工作時(shí)，當(dāng)線圈處于圖中位置處，ab與cd均切割磁感線，根據(jù)右手定則，該兩部分動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)串聯(lián)在電路中，與原回路中電源相反，使得原電源產(chǎn)生的電流減小，并阻礙了線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)．

電動(dòng)機(jī)工作時(shí)，線圈中也會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)對(duì)電源電動(dòng)勢(shì)總是起反作用，因此通常把這個(gè)電動(dòng)勢(shì)稱為反電動(dòng)勢(shì)．它的作用是阻礙線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)．如果電動(dòng)機(jī)工作中發(fā)生突發(fā)情況使得機(jī)械阻力過大，導(dǎo)致電動(dòng)機(jī)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)反電動(dòng)勢(shì)為零，線圈就等于直接短接在電源兩端；而一般線圈電阻都很小，這時(shí)通過其的電流很大，長時(shí)間的大電流很容易把線圈燒毀．因此，當(dāng)發(fā)現(xiàn)電動(dòng)機(jī)由于機(jī)械故障停轉(zhuǎn)時(shí)，應(yīng)立刻切斷電源，維修檢查．

如圖2通過實(shí)驗(yàn)研究直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，回路中電流隨時(shí)間變化情況．電流的測(cè)量用Vernier電流傳感器，每秒鐘測(cè)樣200次，通過I-t圖像可以看出，當(dāng)閉合開關(guān)電動(dòng)機(jī)開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電流較大等于0.37 A，隨著電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速越來越高，反向電動(dòng)勢(shì)越來越大，從而消弱了電源產(chǎn)生的電流．在該實(shí)驗(yàn)中，電動(dòng)機(jī)處于空載狀態(tài)，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速較高，從而產(chǎn)生較大的反向電動(dòng)勢(shì)，電動(dòng)機(jī)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)后，回路中的實(shí)際電流很小等于0.024 A．在5 s時(shí)刻后用手去摩擦電動(dòng)機(jī)阻礙電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)，直到電動(dòng)機(jī)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)驗(yàn)圖像和數(shù)據(jù)表明，當(dāng)降低轉(zhuǎn)速時(shí)，反向電動(dòng)勢(shì)減小，回路中電流增大，當(dāng)電動(dòng)機(jī)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，回路中電流約等于0.404 A．

圖2 利用傳感器觀察電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)過程中電流的變化情況

2 電動(dòng)機(jī)中反電動(dòng)勢(shì)模型

在直流電動(dòng)機(jī)中，無論是圖1電動(dòng)機(jī)中線圈的切割磁感線產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)，還是如圖3所示運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)原理都是相同的．如圖3所示，足夠長的平行光滑導(dǎo)軌PQ，MN相距l(xiāng)，處在同一水平面中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向下穿過導(dǎo)軌面．橫跨在導(dǎo)軌上的金屬棒ab靜止，質(zhì)量為m，電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．導(dǎo)軌間通過開關(guān)S將電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)電阻r的電池接在M，P兩端，試分析開關(guān)S剛閉合的瞬間和后續(xù)過程中，金屬棒ab的加速度、速度如何變化？導(dǎo)體棒中的電流如何變化？

圖3 導(dǎo)體棒ab運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)

開關(guān)S閉合瞬間，導(dǎo)體棒的速度為零

BIl=ma

求得此時(shí)加速度為最大值

(1)

設(shè)后續(xù)任意時(shí)刻t,導(dǎo)體棒ab的速度為v(t)，則ab棒切割磁感線產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)，電路圖變?yōu)閳D4所示．

圖4 ab棒充當(dāng)反電動(dòng)勢(shì)

E-Blv(t)=I(t)(R+r)

(2)

(3)

安培力使導(dǎo)體棒產(chǎn)生的加速度可由牛頓第二定律得

(4)

所以

(5)

解該微分方程，得

(6)

(7)

(8)

通過以上v(t)、a(t)、I(t) 3個(gè)物理量的表達(dá)式，可以定性地畫出v(t)、a(t)、I(t)函數(shù)圖像如圖5所示．

圖5 導(dǎo)體棒v-t，a-t和I-t圖像

3 從微觀角度理解電動(dòng)機(jī)的工作原理

2017年高考北京物理卷中第24題考查了電動(dòng)機(jī)的問題，如圖6所示，ab棒充當(dāng)電動(dòng)機(jī)中導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒ab最后通過定滑輪拉動(dòng)重物勻速直線運(yùn)動(dòng)．軌道端點(diǎn)MP間接有直流電源，導(dǎo)體棒ab通過滑輪勻速提升重物，電路中的電流為I.

(1)求在Δt時(shí)間內(nèi)，圖6“電動(dòng)機(jī)”輸出的機(jī)械能；

(2)從微觀角度看，導(dǎo)體棒ab中的自由電荷所受洛倫茲力在上述能量轉(zhuǎn)化中起著重要作用．為了方便，可認(rèn)為導(dǎo)體棒中的自由電荷為正電荷．

我們知道，洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功．那么，導(dǎo)體棒ab中的自由電荷所受洛倫茲力是如何在能量轉(zhuǎn)化過程中起到作用的呢？請(qǐng)以圖6“電動(dòng)機(jī)”為例，通過計(jì)算分析說明．

圖6 2017年高考北京第24題“電動(dòng)機(jī)”模型

解析：

(1)“電動(dòng)機(jī)”輸出的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為重物重力勢(shì)能的增加

ΔEp=mgvΔt

mg=BIl

所以 ΔEp=BIlvΔt

(9)

拓展：其實(shí)該“電動(dòng)機(jī)”的輸出功率P出=Iε反，對(duì)整個(gè)回路，由閉合電路歐姆定律有

(E-ε反)=I(R+r)

等式兩邊同時(shí)乘以電流I，得

I(E-ε反)=I2(R+r)

移項(xiàng)得IE=I2(R+r)+Iε反

(10)

由能量守恒定律可知，電源E消耗的電功率，一部分為電路中ab棒電阻R與電源內(nèi)阻r產(chǎn)生焦耳熱功率，其他為提升重物的機(jī)械輸出功率，即P出=Iε反．

(2)如圖7所示為電動(dòng)機(jī)中導(dǎo)體棒ab中載流子所受洛倫茲力的情況．設(shè)導(dǎo)體棒橫截面積為S，單位體積內(nèi)自由電荷的數(shù)目為n，自由電荷電荷量為q，自由電荷沿桿方向速率為vy，則

垂直于導(dǎo)體棒方向(x方向)洛倫茲力分力為

Fx=Bqvy

沿導(dǎo)體棒方向(y方向)洛倫茲力分力為

Fy=Bqv

因此，得到洛倫茲力x，y方向的分力所做功

Wx=nSlFxvΔt=

nqSvyBlvΔt=BIlvΔt

(11)

Wy=-nSlFyvyΔt=

-nqSvyBlvΔt=-BIlvΔt

(12)

綜上，洛倫茲力不做功，但沿導(dǎo)體棒方向的洛倫茲力分力Fy做負(fù)功，阻礙自由電荷運(yùn)動(dòng)，消耗電能；垂直導(dǎo)體棒方向洛倫茲力分力Fx做正功，推動(dòng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)，使得機(jī)械能增加．從微觀上說，雖然洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功，但在宏觀上看，運(yùn)動(dòng)的自由電荷借助于洛倫茲力將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能[4]．

圖7 電動(dòng)機(jī)導(dǎo)體棒ab中載流子所受洛倫茲力情況

疑惑1：為何“沿桿方向洛倫茲力分力Fy做負(fù)功是在消耗電能”？

從功能關(guān)系角度來看，“垂直導(dǎo)體棒方向洛倫茲力分力Fx做正功，推動(dòng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)，使桿的機(jī)械能增加”，這個(gè)結(jié)論很好理解，因?yàn)楦鶕?jù)動(dòng)能定理：合外力對(duì)物體做正功，其作用是使質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加，因此判斷出Fx的功為正值，即可知其作用是使電荷的動(dòng)能增加．但是“沿導(dǎo)體棒方向的洛倫茲力分力Fy做負(fù)功，阻礙自由電荷運(yùn)動(dòng)，消耗電能”，這個(gè)結(jié)論就不容易找到依據(jù)了．如果根據(jù)動(dòng)能定理，通過Fy對(duì)電荷做負(fù)功，只能得出使電荷的動(dòng)能減少的結(jié)論；如果從“靜電力和非靜電力做功”的角度來看，電荷在電路中的電池(E,r)提供的靜電力作用下沿桿從a向b運(yùn)動(dòng)，若將洛倫茲力分力Fy視為“非靜電力”，此“非靜電力”正在克服靜電力做功，而克服靜電力做功的結(jié)果應(yīng)該是使電勢(shì)能增加．到底如何解釋Fy做負(fù)功所起的作用呢？可以結(jié)合圖4所示的宏觀模型來解釋Fy的作用：確實(shí)可以將Fy視為“非靜電力”，但它是電路中另一個(gè)電源，即圖4中由于切割磁感線產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)的ab棒這個(gè)電源的“非靜電力”，它的作用是克服靜電力做功使ab棒這個(gè)電源的電勢(shì)能增加，而非使電路中電池的電勢(shì)能增加[5]．從整個(gè)電路的角度來看，正是由于這個(gè)反電動(dòng)勢(shì)的存在，使圖4中由電池所提供的電能沒有全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能(與沒有反電動(dòng)勢(shì)時(shí)相比)，而是通過Fy做功產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)使電流減小的途徑將本來也會(huì)變?yōu)閮?nèi)能的一部分電能“接住”，再通過Fx做正功轉(zhuǎn)化為機(jī)械能．這就從微觀解釋了是通過反電動(dòng)勢(shì)完成了電能到機(jī)械能的轉(zhuǎn)化．

疑惑2：所有載流子在x方向上的洛倫茲力的合力∑Fxi，宏觀上表現(xiàn)為導(dǎo)體棒受到的安培力，洛倫茲力是作用在導(dǎo)體棒中的載流子，如何就體現(xiàn)為作用在導(dǎo)體棒的安培力呢？

拓展釋疑：以靜止的載流導(dǎo)體為例，如圖8所示．

圖8 靜止載流導(dǎo)體霍爾效應(yīng)圖

如圖8所示為一載流導(dǎo)體，載流導(dǎo)體置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，載流導(dǎo)體中所有定向運(yùn)動(dòng)的電子都受到洛倫茲力f洛作用，f洛=-ev×B,沿z方向.這導(dǎo)致導(dǎo)體的上表面出現(xiàn)負(fù)電荷堆積，而在下表面出現(xiàn)正電荷的堆積，結(jié)果與霍爾效應(yīng)一樣，載流導(dǎo)體產(chǎn)生了沿+z方向的電勢(shì)差.一段時(shí)間后，電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，此時(shí)電子運(yùn)動(dòng)情況與外磁場(chǎng)B不存在時(shí)相同(沿-x方向運(yùn)動(dòng))；不同在于載流導(dǎo)體內(nèi)部出現(xiàn)了橫向電場(chǎng)[6].而對(duì)定向移動(dòng)的電子進(jìn)行受力分析可知，電場(chǎng)力和洛倫茲力受力平衡。由穩(wěn)恒的電場(chǎng)力必須遵從牛頓第三定律可知，電子將給載流導(dǎo)體上下表面上聚集的電荷施加沿+z軸的反作用力，這個(gè)反作用力與外磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電子施加的沿+z軸的洛倫茲力等大反向.綜上，外磁場(chǎng)作用在運(yùn)動(dòng)電子上的洛倫茲力雖不做功，但能通過橫向電場(chǎng)的中間作用，表現(xiàn)為外磁場(chǎng)推動(dòng)載流導(dǎo)體的安培力做功[7].因此，安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn).