“數(shù)”躍然眼前 “意”靈動(dòng)于心
——多元表征在“數(shù)”概念教學(xué)中的運(yùn)用思考

□ 鄭小琳

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。“數(shù)”是描述數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，其地位不言而喻。數(shù)、數(shù)量不僅是孩子認(rèn)識(shí)世界的基本元素，也是認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的開始。數(shù)的概念、數(shù)的意義伴隨著孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終身，小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的整個(gè)過程是從自然數(shù)開始逐步擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)的，在內(nèi)化或順應(yīng)“數(shù)”的概念過程中不斷深化“數(shù)”的意義的理解和運(yùn)用。學(xué)生在認(rèn)識(shí)和構(gòu)建“數(shù)”的概念的過程中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用等，其中數(shù)的意義更是重中之重?！皵?shù)”的概念的建立對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)有著莫大的幫助。

對(duì)數(shù)量的表征是學(xué)生獲得“數(shù)”的概念并向更高級(jí)的數(shù)學(xué)能力發(fā)展的基礎(chǔ)。所謂表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現(xiàn)出來，以達(dá)到交流的目的。當(dāng)表征所表現(xiàn)的意義切實(shí)掌握后，可進(jìn)一步成為思維的材料，從而簡(jiǎn)化解題過程。理解概念涉及:概念的豐富表達(dá)形式——外在表征，概念的心理表達(dá)(表象)形式——內(nèi)在表征，以及內(nèi)外表征之間的轉(zhuǎn)換。在小學(xué)階段，尊重學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，尊重學(xué)生對(duì)知識(shí)的主觀認(rèn)識(shí)，運(yùn)用多元表征，對(duì)于學(xué)生理解數(shù)的意義、建立數(shù)的概念有重要的作用。

一、借助多元表征，感悟“數(shù)”的意義

對(duì)于未知世界的認(rèn)識(shí)，我們總是借助于熟悉的事物來刻畫，在對(duì)比、分析的過程中挖掘其共性，抽離出本質(zhì)。維果茨基曾提出“了解概念形成的過程，即可把握住兒童認(rèn)知與思維的過程”。概念形成的核心是理解，理解是一種心理結(jié)構(gòu)的構(gòu)造過程，可以說概念其實(shí)就是理解狀態(tài)下的某種心理表征。因此，在小學(xué)階段，學(xué)生數(shù)的概念的建立可借助已有經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用實(shí)物圖像、模型、言語、動(dòng)作等多種手段進(jìn)行直觀可視的外在表征，從而理解數(shù)的意義。

圖1

（一）圖形表征——以圖形語言話本質(zhì)

布魯納認(rèn)為，兒童的思維活動(dòng)依賴外在刺激的程度來決定兒童心智的成長(zhǎng)。認(rèn)識(shí)數(shù)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生盡可能通過實(shí)物、圖形等直觀可視的方式來表征抽象的數(shù)，為他們認(rèn)識(shí)、理解數(shù)提供“拐杖”。當(dāng)具體物體消失時(shí)，學(xué)生能在心中以原物的形象作為思考的材料并以畫圖的形式進(jìn)行展現(xiàn)，這種視覺化的闡述拉近抽象的數(shù)與學(xué)生個(gè)體心理的距離，從而易于學(xué)生理解和接受。在小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識(shí)中，起始課一般都借助于直觀的物或形，根據(jù)物與數(shù)的等價(jià)聯(lián)系及對(duì)應(yīng)關(guān)系，以具象的方式抽離出共同特征從而概括出數(shù)，建立數(shù)的概念。

如教學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第15頁“1～5的數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)（見圖2a），通過小狗、鴨子、小鳥的個(gè)數(shù)來抽象概括出數(shù)1、2、3，并通過擺小棒將數(shù)進(jìn)一步簡(jiǎn)約化表達(dá)，使學(xué)生體會(huì)到一只小狗記作“1”，1也可以用一根小棒來表示。通過表征，數(shù)字1變得直觀、可視，這樣的方式使學(xué)生很自然地理解自然數(shù)的內(nèi)涵。在低年級(jí)教學(xué)中，學(xué)生可以用畫圖等方式表示數(shù)，進(jìn)行組成、順序、大小比較等研究（見圖2b）。在研究6的組成時(shí)及時(shí)拋出問題“6可以分成幾和幾呢？請(qǐng)你想一想、畫一畫、擺一擺，讓人一看就明白”。學(xué)生通過擺小棒、畫圓形等方式思考6的分與合。從作品中可以看出，有的學(xué)生是無序的，有的則是按一定的規(guī)則在分、合。通過表征，不僅使分的結(jié)果變得可視，學(xué)生的思維過程也變得直觀。經(jīng)過多次的表征發(fā)現(xiàn)該階段的孩子，對(duì)數(shù)的表征慢慢地開始脫離實(shí)物，而用相對(duì)抽象的幾何圖形如三角形、圓等來替代。

圖2

學(xué)生認(rèn)數(shù)的過程中離不開直觀，以“形”譯數(shù)，化抽象為具體，在豐富的素材中學(xué)生感悟數(shù)的內(nèi)涵，建立表象，從而更好地溝通數(shù)的意義、數(shù)的讀寫、數(shù)感的培養(yǎng)。特別是那些相對(duì)較難理解且課本中抽象化水平較高的數(shù)，如分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等，課堂上借助畫一畫，找一找身邊事物等多種表征可以很好地化解數(shù)抽象的特點(diǎn)。這種可視的表征方式喚起了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生觸摸數(shù)的本質(zhì)。

（二）模型表征——借模型刻畫明關(guān)系

模型表征是以具體可觸摸的模型取代實(shí)物，并保留原物的可操作性。以模型表征數(shù)，使抽象的數(shù)和現(xiàn)實(shí)之間的數(shù)量建立聯(lián)系，這里的模型可以是幾何模型、計(jì)數(shù)器、直尺、數(shù)軸、方格圖等。在這種形式化的表征中，學(xué)生可觀察、操作，并從中掌握數(shù)的概念中很多重要但很抽象的內(nèi)容，比如計(jì)數(shù)單位、讀寫法等，模型與計(jì)數(shù)單位建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)很有幫助。

如在“11～20的數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)多次圈、捆、畫等操作活動(dòng)，以模型的形式為計(jì)數(shù)單位“十”的建立提供直觀支持。

師：你能想辦法讓人一看就知道有幾個(gè)草莓嗎？

生：可以5個(gè)5個(gè)地圈起來。

生：還可以10個(gè)圈起來,余下幾個(gè)就是十幾。

師：一個(gè)圈表示10個(gè)，這種方法真好。如果用小棒代替草莓，現(xiàn)在怎樣讓人一看就明白是幾根呢？

生：可以把10根小棒捆成一捆，一捆就是10根，和余下的3根合起來就是13根。

師：這里有兩個(gè)盒子，請(qǐng)你將小棒放好，并做好記錄。

生：左邊的盒子里放1捆，就畫1顆珠子，右邊的盒子里放3根，畫3顆珠子。

生：我左邊也放了1捆，但是我畫了10顆，右邊也是放了3根，畫3顆珠子。

生：左邊不能畫10顆，放1捆畫1顆，畫10顆就要放10捆了。

師：是啊，1顆珠子表示1捆，這一捆捆放的盒子我們把它叫作十位盒子，放1捆就記作1，一根根放的叫作個(gè)位盒子，放1根就記作1，放3根就記作3，合起來就是……

圖3

計(jì)數(shù)單位“十”及數(shù)位概念是11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)的要點(diǎn)。通過活動(dòng)使學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從單個(gè)的一個(gè)個(gè)數(shù)擴(kuò)展到十個(gè)為一群數(shù)，這是讓學(xué)生建立十進(jìn)制數(shù)位概念的重要階段。課堂上引導(dǎo)學(xué)生通過“怎樣讓人一看就明白有幾根”的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生建立10個(gè)一堆、10個(gè)一捆的觀念；再通過捆一捆、畫一畫、填一填等活動(dòng)，把圖與數(shù)結(jié)合，將抽象的數(shù)位與具體形象的小棒圖結(jié)合，通過直觀表征（圈10個(gè)草莓）到半直觀模型（一捆小棒）最后抽象出十位上的一顆珠子，以可視的方式將一捆小棒（計(jì)數(shù)單位十的模型）過渡到計(jì)數(shù)器十位上一顆珠子的模型。在操作中學(xué)生體會(huì)一個(gè)算珠在不同位置上的意義，以實(shí)現(xiàn)“以一當(dāng)一”到“以一當(dāng)十”的飛躍。

小學(xué)階段常用的計(jì)數(shù)器、小棒、方格紙、立方體等，都是一種“齊性”的“結(jié)構(gòu)化”特征的直觀可視的學(xué)具，用這些材料進(jìn)行表征可幫學(xué)生建立“單位”“位值”等概念，為他們以后讀寫、理解更大的數(shù)，進(jìn)行有意義的運(yùn)算打下基礎(chǔ)。

此外，數(shù)軸也是一種較為抽象的模型，在小學(xué)階段中經(jīng)常用到。在小學(xué)階段，很多內(nèi)容都可以借助數(shù)軸這一模型來表征，如“公約數(shù)和最大公約數(shù)”“近似數(shù)”“數(shù)的大小比較”等，利用數(shù)在數(shù)軸上的位置，使數(shù)與數(shù)之間的大小關(guān)系、重疊關(guān)系直觀呈現(xiàn)。學(xué)生通過在數(shù)軸上找—圈—觀察—對(duì)比等活動(dòng)感受直觀背景和概念間的關(guān)系，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)并及時(shí)整合，形成對(duì)應(yīng)的程序模型。

（三）言語表征——用樸素文字刻形象

言語表征是語言材料所負(fù)載的信息在頭腦中的存在方式，是一種相對(duì)圖形表征來說較為高級(jí)的表征方式。言語表征是符號(hào)性表征中的一種，它是儲(chǔ)存于頭腦中的“概念意向”在特定的時(shí)候被激活，適時(shí)描摹對(duì)象并用口語加以描述，其他個(gè)體可結(jié)合語言來構(gòu)畫具象的過程。如比較小數(shù)0.2和0.5的大小時(shí)，有的學(xué)生借助多年的生活經(jīng)驗(yàn)來描述：0.2就是2角，0.5就是5角，2角比5角小，所以0.2＜0.5；有的學(xué)生聯(lián)系圖來描述：把一條線段平均分成10份，0.2就是其中的2份，0.5是其中的5份。在研究負(fù)數(shù)（-2）所表示的意義時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為-2是地下二層，有的則認(rèn)為是欠了2元錢，還有的學(xué)生理解為零下2℃，等等。以言語符號(hào)進(jìn)行表征的兒童，他們的思維活動(dòng)不再依賴實(shí)物或圖像的操作，僅以口語這一符號(hào)來反映個(gè)體的心智活動(dòng)，故抽象思考性較高。

二、“轉(zhuǎn)譯”表征形式，理解“數(shù)”的概念

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)概念，往往可以借助多種形式來表征，不同的表征方式對(duì)概念或者問題進(jìn)行不同的解釋，也就是從不同的角度對(duì)知識(shí)的本質(zhì)進(jìn)行視覺化或者言語化的加工，因而使學(xué)生獲得深刻的體驗(yàn)，感悟“數(shù)”的本質(zhì)。課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種表征之間的轉(zhuǎn)換或轉(zhuǎn)譯，從而使學(xué)生對(duì)概念具有豐富的多元化的理解。

（一）適時(shí)轉(zhuǎn)換，提升概念的意義理解

由于每一種表征都是個(gè)體經(jīng)過加工后而生成的，不同的表征相互補(bǔ)充，相互完善，從而豐富概念的內(nèi)涵和外延。表征方式的多樣性有助于學(xué)生對(duì)數(shù)的概念的多重意義的認(rèn)識(shí)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生在多種表征方式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在各種表征方式之間轉(zhuǎn)換越順暢，學(xué)生對(duì)概念的理解也就越深刻。

圖4

在二下學(xué)習(xí)1000以內(nèi)數(shù)的組成時(shí)（見圖4），教師可先出示一袋小方塊，提問：這里一共有多少呢？請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，并用自己的方式記錄下來，讓人一看就明白。學(xué)生通過數(shù)數(shù)、用“百”去圈等方式來表征數(shù)，隨后引導(dǎo)學(xué)生以具有直觀結(jié)構(gòu)化的小棒和語言進(jìn)行表征，從中可以清楚地表示數(shù)的組成，最后借助計(jì)數(shù)器表示數(shù)并讀寫數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐對(duì)多種表征方式一一對(duì)應(yīng)進(jìn)行溝通：一個(gè)圈—一大捆小棒—百位上的一顆珠子，一列頭像—一捆小棒—十位上的一顆珠子，等等，在一對(duì)一的過程中向?qū)W生直觀地展示數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，同時(shí)又理順了知識(shí)間的關(guān)系。自然數(shù)概念是一個(gè)典型的過程性概念，這個(gè)過程就是“數(shù)數(shù)”，在不同形式的數(shù)數(shù)中“數(shù)”逐漸抽象，最后推理得到200可以用計(jì)數(shù)器百位上的2顆珠子代替等。

（二）轉(zhuǎn)譯語言，實(shí)現(xiàn)抽象與直觀的對(duì)接

皮亞杰的數(shù)概念學(xué)習(xí)理論中指出，兒童學(xué)會(huì)的思考除了“同一性思考”以外，還有可逆性思考，即對(duì)數(shù)這一對(duì)象加以操作，同時(shí)可以用相反的操作予以還原。因此，在數(shù)概念教學(xué)中要充分借助分、擺、圈、畫等活動(dòng)，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生說一說，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)的語言表述；同時(shí)學(xué)生能通過語言表征而描畫出具體的直觀形象，實(shí)現(xiàn)語言與圖形的對(duì)接，我們稱之為轉(zhuǎn)譯。如用自己的方式表示出時(shí)，有的學(xué)生會(huì)在腦中描畫出圖5所示的形式，并用語言加以正確的描述：把一個(gè)圓平均分成3份，每份就是這個(gè)圓的又如在表達(dá)數(shù)的組成時(shí)，能在頭腦中勾勒出具體的模型：2個(gè)頭腦中出現(xiàn)的是2份涂色部分或圖5中的白色部分。

圖5

數(shù)學(xué)源自生活，百分?jǐn)?shù)在學(xué)生生活中經(jīng)常可以看到，如商店打折、程序卸載、手機(jī)的容量?jī)?chǔ)存等。對(duì)于這些信息，學(xué)生或多或少已經(jīng)有所了解，因此尊重學(xué)生的原有知識(shí)儲(chǔ)備，通過畫圖、語言等方式進(jìn)行數(shù)學(xué)表征，讓抽象的百分?jǐn)?shù)變得具體形象。在口語符號(hào)、圖形圖像及操作的互譯中學(xué)生不斷完善百分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，形成更為完善的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，并在頭腦中儲(chǔ)存了百分?jǐn)?shù)的模型（直觀可視圖）。當(dāng)以后再次出現(xiàn)百分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生的頭腦中會(huì)結(jié)合具體情境直接閃現(xiàn)圖，這種將概念意象化數(shù)的虛擬抽象轉(zhuǎn)譯為直觀可視的圖形表征，對(duì)于解決更為復(fù)雜的有關(guān)百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題有很大的好處。

三、“回旋”表征方式，內(nèi)化“數(shù)”的運(yùn)用

在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)于數(shù)量的認(rèn)知離不開對(duì)實(shí)物、圖形的依賴，這對(duì)處于中低年級(jí)的學(xué)生而言更為明顯，這階段的學(xué)生更傾向于使用形象、具體的表征來理解數(shù)。但隨著年齡的增大,他們所使用的表征形式也趨于豐富，且對(duì)于數(shù)量的表征能力從具象逐漸朝著抽象化發(fā)展，但是還需要具體的感性經(jīng)驗(yàn)作支撐。

（一）直觀向抽象，深化理解

小學(xué)階段的學(xué)生對(duì)每一類數(shù)的研究從實(shí)物、圖像等具體外在表征開始，慢慢地引入模型、符號(hào)來開展進(jìn)一步的研究，并將數(shù)納入一個(gè)體系之中。以自然數(shù)為例（圖6），從圖6中可以看出，學(xué)生認(rèn)識(shí)自然數(shù)先從常見實(shí)物表征開始，逐漸過渡到算盤、尺子、小棒等半直觀半抽象的模型，最后借助點(diǎn)子圖將數(shù)抽象成在數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示。利用數(shù)軸可以將數(shù)有序地表示在一條有方向的線上，這對(duì)于整個(gè)數(shù)體系的建立具有重要的作用。

圖6

（二）回旋加停頓，走向運(yùn)用

學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)從直觀入手，并逐漸概括向抽象化發(fā)展，即具體研究數(shù)時(shí)我們常借助形象來感受并適時(shí)、適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行抽象，抽象化后有時(shí)根據(jù)需要又會(huì)回旋、停頓，通過外在表征來解釋數(shù)的概念，如性質(zhì)等，同時(shí)通過直觀理解數(shù)的運(yùn)算、實(shí)際運(yùn)用等。

在三年級(jí)學(xué)習(xí)《除數(shù)是一位數(shù)除法》的口算和筆算時(shí)，通過實(shí)物、圖形表征和模型表征的方式讓學(xué)生在操作過程中理解12個(gè)十平均分成3份，每份就是4個(gè)十，也就是40。借助操作或具體的圖像對(duì)于學(xué)生理解除數(shù)是一位數(shù)的口算與筆算是十分有幫助的，因?yàn)橐曈X和操作的表征對(duì)于中低年級(jí)的學(xué)生來說是比較容易接受的。因此在教學(xué)時(shí)，可以安排練習(xí)：“120÷3怎么算呢？你可以用畫畫圖、分分小棒、寫寫話等方式，讓人一看就明白你是怎么想的?！倍喾N形式的表征豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)，并溝通直觀圖、小棒與語言描述的聯(lián)系。以小棒聯(lián)結(jié)學(xué)生的具體活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和抽象化語言，使學(xué)生對(duì)算理的理解更為順暢，豐富數(shù)感，指向運(yùn)用。

有效的教學(xué)是建立在學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多元表征，是引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷自我建構(gòu)、自我生成的過程。多元表征幫助學(xué)生在對(duì)外部信息進(jìn)行主動(dòng)選擇、加工和處理過程中領(lǐng)悟數(shù)的意義，建立數(shù)的概念，豐富學(xué)生的數(shù)感，是學(xué)生探尋未知數(shù)學(xué)世界的一把智慧鑰匙。