動載作用下復(fù)合型裂紋擴展的近場動力學(xué)模擬

錢 劍， 姜冬菊， 龔 慶， 黃 丹＊

（1．河海大學(xué) 工程力學(xué)系，南京211100；2．重慶市質(zhì)量和標(biāo)準(zhǔn)化研究院，重慶400020）

1 引 言

工程構(gòu)件中往往存在初始裂紋等缺陷，其中復(fù)合型裂紋較為常見。復(fù)合型裂紋的擴展規(guī)律和擴展過程模擬，尤其是動載作用下的擴展過程模擬，一直是研究的難點。為了探索含復(fù)合型裂紋構(gòu)件的裂紋擴展過程與破壞機制，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量相關(guān)理論、試驗和數(shù)值研究。John等［1］通過混凝土梁沖擊試驗研究了復(fù)合型裂紋動態(tài)擴展路徑以及初始裂紋位置對破壞路徑的影響；Carmona等［2］通過試驗分析了配筋對鋼筋混凝土梁裂紋擴展的影響及其破壞機理。各種新型數(shù)值方法也應(yīng)用于含復(fù)合型裂紋構(gòu)建的動力破壞過程模擬，Song等［3］應(yīng)用基于虛擬結(jié)點的有限元法模擬了三維圓盤沖擊梁的破壞，得到了裂紋擴展路徑和裂尖擴展速度；章青等［4］基于廣義擴展有限元法進(jìn)行了復(fù)合型裂紋擴展分析。此外，Zhang等［5］應(yīng)用晶格胞元模型分析了動載作用下裂紋擴展速度和擴展時間與初始裂紋長度的關(guān)系。

近年來，基于非局部思想建模的近場動力學(xué)PD（Peridynamics）方法［6，7］以其在模擬不連續(xù)力學(xué)問題方面的獨特優(yōu)勢而日益受到關(guān)注。早期的單參數(shù)常規(guī)鍵型PD本構(gòu)模型［7］在應(yīng)用時受到諸多限制，Gerstle等［8］考慮物質(zhì)點對的旋轉(zhuǎn)，提出了PD微極模型。另一方面，文獻(xiàn)［9，10］在常規(guī)PD本構(gòu)模型中引入可以反映長程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項以提高定量計算精度，并應(yīng)用于混凝土構(gòu)件的沖擊破壞模擬［11］。黃丹等［12－14］進(jìn)一步改進(jìn)和討論了核函數(shù)修正項的作用。

本文基于PD微極模型引入能反應(yīng)長程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項，構(gòu)建計算精度更高的雙參數(shù)微極模型和相應(yīng)的粒子系統(tǒng)動力加載算法。通過模擬動載作用下含復(fù)合型裂紋混凝土三點彎梁的破壞過程，并與試驗結(jié)果對比，對模型和算法進(jìn)行驗證。在此基礎(chǔ)上，分組模擬分析了動載作用下復(fù)合型初始裂紋位置、長度和方向?qū)θc彎混凝土梁破壞模式、破壞時間與承載能力的影響。

2 模型和算法

將固體離散為空間域內(nèi)一系列包含所有物性信息的物質(zhì)點。如圖1所示，對空間域R內(nèi)任一物質(zhì)點x，在其鄰域范圍δ內(nèi)的任一點x′與x之間的相互作用力為

圖1 物質(zhì)點間相互作用Fig．1 Interaction of material points

式中ρ為材料密度，u為物質(zhì)點位移，x為物質(zhì)點的位置，b為外力密度。

若物質(zhì)點間的作用力與時間歷史無關(guān)，則有

式中η和ξ分別為物質(zhì)點相對位移與相對位置。

若將物質(zhì)點間的作用力視為一種中心彈簧［15］作用，可引入物質(zhì)點對的勢能密度

c（ξ）為物質(zhì)點對的拉伸微模量系數(shù)（類似于中心彈簧的拉伸剛度），s1為物質(zhì)點對的伸長率。本構(gòu)力（點對力）可表示為

以往近場動力學(xué)模擬中應(yīng)用最廣泛的是常規(guī)微彈脆性PMB（Prototype Microelastic Brittle）近場動力學(xué)本構(gòu)模型，其微模量c通常通過與傳統(tǒng)彈性理論中的應(yīng)變能等效［16］：

常規(guī)PMB模型在求解平面應(yīng)力問題時受到泊松比ν＝1／3的限制［16］，為突破該限制，Gerstle等［8］引入物質(zhì)點對的轉(zhuǎn)動自由度，得到PD雙參數(shù)微極模型。應(yīng)用應(yīng)變能等效可計算出平面應(yīng)力問題的微模量系數(shù)為

式中c為拉伸微模量系數(shù)，d為彎曲微模量系數(shù)。ν＝1／3時，d＝0，模型退化為PMB模型。

若進(jìn)一步引入能夠反映長程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項g，則PD物質(zhì)點點對勢能為

核函數(shù)需滿足長程力隨物質(zhì)點對變化規(guī)律，其選取準(zhǔn)則如下［9］：

式中 Δ（ξ）為Dirac Delta函數(shù)。經(jīng)試算比較，根據(jù)式（8）取g＝［1－（ξ／δ）2］2，由上述應(yīng)變能等效原理，可求得平面應(yīng)力問題的微模量系數(shù)為

對于物質(zhì)點xi近場范圍內(nèi)的任一點xj，式（1）的離散形式可表示為

式中n為時間步數(shù)，對于平面問題，Vj＝。針對動力問題，本文應(yīng)用顯式差分求解，采用中心差分格式，通過自主編寫的Fortran語言程序?qū)崿F(xiàn)。給定模型的初始狀態(tài)（位移u、速度u·和位置x），經(jīng)過迭代，記錄每一步循環(huán)物質(zhì)點的速度、加速度和位移等變量，更新物質(zhì)點所在位置和所受合力，從而完成計算。

3 動載作用下復(fù)合型裂紋擴展模擬

3．1 模型驗證

為了驗證核函數(shù)修正項對計算精度的提高作用，對相同參數(shù)的模型，分別用本文模型、不含修正項的微極模型和有限元方法進(jìn)行模擬比較。模型參數(shù)如下，材料彈性模量E＝31．37GPa，泊松比ν＝0．2，密度ρ＝2400kg／m3，fc＝41MPa，ft＝3．19MPa。梁上側(cè)中點受集中動荷載P作用，加載速率為4×107N／s。模型尺寸如圖2所示。

如圖3所示，取梁下邊界點1ms時的y方向位移作為參考對象，對比無核函數(shù)、含核函數(shù)和FEM結(jié)果可知，加入核函數(shù)修正項后，梁下邊界y方向位移（即梁下邊界撓度）更接近有限元解，說明核函數(shù)能有效提高計算精度。下文計算均使用該模型。

圖2 驗證模型Fig．2 Test model

John等［1］開展了動荷載作用下含復(fù)合型裂紋混凝土三點彎梁的破壞試驗，得到含不同裂紋位置的三點彎梁破壞模式與破壞路徑。為了驗證本文模型和算法應(yīng)用于模擬動載作用下復(fù)合型裂紋擴展路徑的可靠性，采用與文獻(xiàn)［1］相同工況進(jìn)行模擬。模型相關(guān)尺寸如圖4所示，其中L＝0．063m。材料參數(shù)與上文一致。近場動力學(xué)模擬中物質(zhì)點離散間距Δx＝4mm，時間步長取5×10－7s，s0＝1．02×10－4（本文臨界伸長率均取s0＝ft／E）。與試驗工況一致，梁上側(cè)中點受集中動荷載P作用，加載速率為4×107N／s。

圖5為本文模擬得到的裂紋起裂和擴展路徑?？梢钥闯?，裂紋從130μs起裂，至173μs整體破壞。本文所得裂紋起裂角為60．66°（與水平方向夾角），與John等［1］試驗觀測（60°）結(jié)果吻合較好，如圖5（b）所示。裂紋貫穿時，起裂點與裂紋終點的連線與水平面的夾角為44．69°，如圖5（e）所示，與圖5（f）試驗結(jié)果［2］及圖5（g）中擴展有限元模擬結(jié)果［4］均吻合較好。結(jié)果表明，應(yīng)用本文的粒子類模型和算法能較好地模擬動載作用下復(fù)合型裂紋擴展全過程。

3．2 初始裂紋位置的影響

圖3 三點彎梁撓度Fig．3 Deflection of three－point bending beam

圖4 三點彎梁動載模型（單位：mm）Fig．4 Three－point bending beam model under dynamic load（unit：mm）

為研究裂紋初始位置對含復(fù)合型裂紋三點彎梁破壞模式及其承載能力的影響，取含垂直裂紋混凝土梁參數(shù)與John等［1］的試驗一致，如圖4所示，變化初始裂紋位置分別取L／s＝0．0625，0．1172，0．1406，0．1484，0．25和0．5（s為支座間距），對應(yīng)的裂紋擴展路徑如圖6所示，均與John等［1］的試驗結(jié)果吻合較好。

可以看出，隨著初始裂紋位置的變化，三點彎梁的破壞主要有兩種模式。當(dāng)裂紋在支座附近時，梁中心產(chǎn)生新裂紋并擴展，初始邊裂紋不擴展；當(dāng)初始裂紋離開支座一定距離時（考慮單邊情況，L／s約為0．1172～0．5，單裂紋在梁的另一側(cè)時結(jié)果對稱），沿初始裂紋裂尖向加載點附近擴展。

圖7為含不同位置初始裂紋混凝土梁的動力破壞時間比較?？梢钥闯觯?dāng)初始裂紋趨于兩端的支座附近時，由于要在跨中新形成裂紋并沿新裂紋裂尖擴展，梁的承載能力較高。當(dāng)初始裂紋離開支座一定距離，偏向跨中加載位置時，沿初始裂紋裂尖起裂，破壞時間隨著裂紋靠近梁跨中而提前，表明梁的承載能力較低，與實際情況吻合。L／s＝0．1484～0．25時，梁的承載能力下降明顯；L／s＝0．25～0．5時，梁的承載能力變化不明顯，但整體承載能力非常低，在0．5時承載力最低，此時直接由裂紋垂直向上方加載點快速擴展，與實際情況相符。

圖5 裂紋擴展過程Fig．5 Crack propagation process

3．3 初始裂紋長度和方向的影響

工程中常見含不同長度和不同方向的初始裂紋，影響梁的破壞過程和承載能力。本節(jié)對含不同初始長度和不同初始傾角的裂紋進(jìn)行分組模擬和分析，得到其擴展路徑、裂紋起裂與完全破壞時間。

為提高計算效率，三點彎梁取長為0．8m，高為0．2m，下邊界存在預(yù)置裂紋，裂紋初始長度為l，均勻離散間距 Δx＝2mm。L／s＝0．2143，0．3571，l／h＝0．1，0．2，0．3（h 為梁高），α ＝30°，60°，90°，120°，150°（α為裂紋方向與水平向左方向的夾角），其余參數(shù)均與3．2節(jié)一致。

圖8為L／s＝0．3571，l／h＝0．3，α＝30°，60°，90°，120°，150°時的裂紋擴展路徑。其他情況下的裂紋擴展路徑與該圖一致?？梢钥闯?，動載作用下初始裂紋的擴展均由裂尖開始，向加載點附近擴展。裂紋起裂角約為60°～70°，最后的破壞路徑與水平方向夾角約為45°～57°。

圖6 含不同裂紋位置的裂紋破壞模式Fig．6 Failure mode with different positions of crack

表1為裂紋位置L／s＝0．2143和0．3571兩種工況下，含單一初始邊裂紋的混凝土梁的裂尖起裂時間以及結(jié)構(gòu)破壞時間（從開始加載至最后裂紋失穩(wěn)擴展至上邊界的總時間）隨初始裂紋長度與角度的變化。由表1可知，無論初始裂紋位置如何，隨著初始裂紋傾角的增大，起裂時間均先減小后增大（梁承載能力先降低后提升）。

圖7 裂紋位置對破壞時間的影響Fig．7 Influence of crack location on failure time

圖8 含缺陷三點彎梁的破壞模式Fig．8 Failure modes of notched three－point bending beam

表1 三點彎梁起裂時間與破壞時間Tab．1 Crack failure and failure time of three－point bending beam

分析模擬幾種工況的具體數(shù)據(jù)可知，當(dāng)初始裂紋位置和長度給定而初始裂紋方向改變時，總是當(dāng)α＝120°時裂尖最先起裂，或與此時該裂尖最靠近動力加載點有關(guān)；而三點彎梁完全破壞（裂紋快速失穩(wěn)擴展至上邊界）最快的情況總是對應(yīng)于α＝90°時，說明雖然α＝120°情況裂尖最先開始起裂，但α＝90°情況裂紋擴展更快。

此外，初始裂紋方向?qū)α鸭y擴展起裂角和擴展路徑也有影響。裂紋擴展方向均從裂尖指向加載點附近，起裂角為60°～70°，破壞路徑與水平方向夾角為45°～57°；當(dāng)初始裂紋偏向其所在梁一側(cè)的支座時，承載能力明顯高于偏向于跨中一側(cè)的情況。

裂紋位置對擴展過程的影響與3．2節(jié)結(jié)論一致，在各種給定初始長度和傾角的復(fù)合型裂紋情況下，當(dāng)L／s增大，即初始裂紋位置更靠近跨中時，裂紋起裂時間和結(jié)構(gòu)完全破壞時間均明顯加快。

初始裂紋越長，起裂時間與破壞時間越短，表明梁的承載能力越差，符合實際情況。

4 結(jié) 論

（1）本文在常規(guī)近場動力學(xué)微極模型基礎(chǔ)上，引入反映物質(zhì)點間長程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項以提高計算精度，并構(gòu)建相應(yīng)粒子系統(tǒng)動力算法，通過模擬動載作用下含復(fù)合型裂紋三點彎梁的破壞過程，驗證了本文模型和算法的適用性。

（2）通過模擬含不同位置復(fù)合型裂紋三點彎梁的動力破壞過程可知，三點彎梁中復(fù)合型裂紋的擴展主要有兩種典型的模式。當(dāng)初始裂紋位置靠近支座時，梁跨中產(chǎn)生新裂紋并沿新生裂紋裂尖起裂和擴展；當(dāng)初始裂紋離開支座一定距離（單側(cè)L／s約為0．1172～0．5）時，沿初始裂紋尖端起裂和擴展。此外，沿邊裂紋裂尖擴展時，梁的承載力隨著L／s的增大而顯著減小，在L／s＝0．5時最小。

（3）初始裂紋越長，起裂時間越早，梁的承載能力越低。初始裂紋方向主要影響裂紋擴展的起裂角和擴展路徑，其起裂角為60°～70°，破壞路徑與水平方向夾角為45°～57°；當(dāng)初始裂紋偏向其所在梁一側(cè)的支座時，其承載能力明顯高于裂紋偏向跨中一側(cè)的情況。以上邊界中點受集中動荷載、下邊界左側(cè)含初始裂紋的三點彎梁為例，初始裂紋與水平向左方向夾角為120°時，裂尖最早起裂，但破壞最快的則總是在初始裂紋豎直的情況下。