面積法在反比例函數(shù)中的應(yīng)用
——初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

江蘇省南京市金陵中學(xué)岱山分校 周 蓓

德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾曾說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)是無(wú)窮的科學(xué)?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和探究過(guò)程是廣闊和博大的，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師需要不斷改進(jìn)自己的教學(xué)方法，并選取新穎的、有效的知識(shí)導(dǎo)入和教授方式來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的開(kāi)展，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)興趣和熟練掌握程度。面積法是利用圖形的面積和比例來(lái)進(jìn)行知識(shí)探究和證明的學(xué)習(xí)過(guò)程。對(duì)于反比例函數(shù)而言，常規(guī)的問(wèn)題解決方法往往局限于函數(shù)的解答過(guò)程，其實(shí)，如果教師可以將數(shù)形結(jié)合的面積法引入函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，往往可以收到事半功倍的教學(xué)效果。接下來(lái)，筆者將從三個(gè)方面簡(jiǎn)述面積法在反比例函數(shù)教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用。

一、面積法強(qiáng)化函數(shù)的幾何意義

在反比例函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合是提高課堂教學(xué)效率的有效教學(xué)方式，同時(shí)，面積法作為重要的反比例函數(shù)教學(xué)模式，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，還可以幫助學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)和幾何意義。學(xué)生可以通過(guò)面積法在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中的應(yīng)用來(lái)深入探究相關(guān)習(xí)題，并通過(guò)對(duì)反比例函數(shù)幾何意義的理解來(lái)完成知識(shí)的消化和問(wèn)題的解答。

例如：如右圖，若點(diǎn)P（x0，y0）是反比例函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，則有也就是說(shuō)，x0和y0的乘積是一個(gè)定值。同時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別是M、N。通過(guò)一系列驗(yàn)證和推演，筆者與學(xué)生一起得出結(jié)論：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸和y軸的垂線，兩垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于k的絕對(duì)值，過(guò)該點(diǎn)與垂足、坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的面積為

同時(shí)，還有一種反比例函數(shù)的題目，需要學(xué)生通過(guò)面積法和反比例函數(shù)公式來(lái)求解出函數(shù)的解析式。例如：如右圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在x軸上，且BC∥AD，四邊形ABCD的面積為4，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是什么？這道題目的解答首先要求學(xué)生過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，并根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義聯(lián)想到平行四邊形的面積就是|k|，再結(jié)合函數(shù)圖像存在于第二、四象限，最后求解出函數(shù)解析式為

筆者通過(guò)面積法的講述，幫助學(xué)生拆解比例系數(shù)k的幾何意義，并通過(guò)面積法數(shù)形結(jié)合的特性，強(qiáng)化了反比例函數(shù)的幾何意義在實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的知識(shí)應(yīng)用。面積法這種數(shù)形結(jié)合的解答反比例函數(shù)問(wèn)題的模式不僅可以深化學(xué)生對(duì)于知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，還能通過(guò)圖像幫助學(xué)生直觀感受反比例函數(shù)的幾何意義。

其實(shí)，反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)不難理解，卻需要數(shù)形結(jié)合和面積法的應(yīng)用才能得以實(shí)現(xiàn)。如果僅僅憑借學(xué)生的幾何想象或者函數(shù)的抽象化學(xué)習(xí)，學(xué)生將會(huì)很難得到直觀的數(shù)學(xué)感悟和高效的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。因此，教師將面積法應(yīng)用到反比例函數(shù)的教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，可以顯著改善反比例函數(shù)的知識(shí)講解難度，也可以增加學(xué)生對(duì)于反比例函數(shù)幾何意義的理解程度。

二、面積法突出反比例函數(shù)知識(shí)屬性

反比例函數(shù)的圖像具有對(duì)稱性，也就是說(shuō)，反比例函數(shù)的圖像是以兩個(gè)分支的形式存在的，并且這兩部分的函數(shù)圖像是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的。反比例函數(shù)圖像的對(duì)稱性是其重要的性質(zhì)，也是這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中不可或缺的知識(shí)內(nèi)容。如果學(xué)生可以利用面積法和圖像面積當(dāng)中的對(duì)稱性來(lái)解答函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，則可以快速簡(jiǎn)便地解決相關(guān)面積問(wèn)題。

例如，下圖中，哪個(gè)陰影部分的面積最?。?）

筆者引導(dǎo)學(xué)生使用面積法來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的梳理。學(xué)生自主完成的問(wèn)題分析為：選項(xiàng)A的函數(shù)圖像,根據(jù)圖像法確定陰影面積為2；選項(xiàng)B中兩個(gè)小三角形面積相等，且通過(guò)面積法求得總陰影面積為2；同法求得D選項(xiàng)的陰影面積也是2。因此，可以推斷出只有C選項(xiàng)結(jié)果與之不同，為最小，故選C。

在反比例函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，教師往往會(huì)發(fā)現(xiàn)有些題目設(shè)計(jì)得很巧妙。在解答題目的過(guò)程中，并不需要完全計(jì)算出確切的數(shù)值，而是根據(jù)反比例函數(shù)當(dāng)中的對(duì)稱性等知識(shí)屬性來(lái)完成題目解答?？梢?jiàn)，面積法不僅可以梳理函數(shù)知識(shí)，還可以通過(guò)突出函數(shù)的特性來(lái)解決函數(shù)難題。

三、面積法簡(jiǎn)化解題過(guò)程

反比例函數(shù)的應(yīng)用范圍十分廣泛，也是中考當(dāng)中十分重要的一部分內(nèi)容。因此，教師不僅需要將課本上的基礎(chǔ)知識(shí)傳授給學(xué)生，還需要將面積法的應(yīng)用切實(shí)督促學(xué)生熟練掌握。因?yàn)槊娣e法在一部分反比例函數(shù)問(wèn)題解答過(guò)程中，可以顯著簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題步驟，幫助學(xué)生耗費(fèi)最少的學(xué)習(xí)時(shí)間來(lái)獲得最好的學(xué)習(xí)效果。

這道題目的解答方向是面積法的直接利用，也是面積法作用的集中體現(xiàn)。因?yàn)檫@道題目不需要考慮反比例函數(shù)的幾何意義，也不需要討論其圖像的對(duì)稱性，而是只需要利用圖像中某點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)判斷出圖形面積的邊長(zhǎng)和高即可求得題目的結(jié)果。最后，學(xué)生通過(guò)面積法的利用直接求得題目結(jié)果是

任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法都是為了簡(jiǎn)化解題步驟，面積法也不例外。面積法不僅可以簡(jiǎn)化反比例函數(shù)問(wèn)題的解題步驟，還可以強(qiáng)化和突出反比例函數(shù)的幾何意義以及屬性，這不僅可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化題目的解答過(guò)程，還可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)于反比例函數(shù)相關(guān)知識(shí)的理解和應(yīng)用。在反比例函數(shù)問(wèn)題的實(shí)際解答過(guò)程中，無(wú)論是面積法的直接應(yīng)用，還是需要學(xué)生針對(duì)題目刪繁就簡(jiǎn)、從復(fù)雜的題目當(dāng)中篩選有用信息并結(jié)合面積法來(lái)進(jìn)行知識(shí)解答，都是通過(guò)面積法的應(yīng)用來(lái)簡(jiǎn)化反比例函數(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)嘗試。因此，教師應(yīng)該在普及基本函數(shù)代數(shù)解題方法的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生使用面積法來(lái)計(jì)算反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)能力，以便擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并幫助學(xué)生在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題解答過(guò)程中，能以最快的速度反應(yīng)出最合適的解題方法，并適時(shí)地將面積法應(yīng)用到簡(jiǎn)化反比例函數(shù)的運(yùn)算過(guò)程當(dāng)中。

綜上所述，在反比例函數(shù)的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該將面積法系統(tǒng)化地教授給學(xué)生，并通過(guò)不同類型的題目來(lái)梳理面積法在問(wèn)題解答過(guò)程中的實(shí)際應(yīng)用。通過(guò)例題的解答和合理總結(jié)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)面積法對(duì)于反比例函數(shù)問(wèn)題解答的優(yōu)越性，并從中總結(jié)出反比例函數(shù)的幾何意義、理解比例系數(shù)k對(duì)于面積法的重要作用。同時(shí)，面積法的教學(xué)過(guò)程還是簡(jiǎn)化反比例函數(shù)解題步驟的過(guò)程，也是幫助學(xué)生深入理解反比例函數(shù)對(duì)稱性的重要學(xué)習(xí)過(guò)程。因此，教師應(yīng)該積極推廣面積法在反比例函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，并幫助學(xué)生在掌握數(shù)形結(jié)合知識(shí)的過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)問(wèn)題的精妙及合理解決問(wèn)題的成就感。天文學(xué)家哥白尼曾說(shuō)：人的天職在于勇于探索真理。在筆者看來(lái)，教師的天職就是帶領(lǐng)學(xué)生在探索真理的道路上尋找正確的方向，并積極引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)探索能力。相信經(jīng)過(guò)教師對(duì)于面積法的普及和系統(tǒng)化教育，學(xué)生不僅可以熟練掌握反比例函數(shù)中各種問(wèn)題的解答方式，還可以以小見(jiàn)大，逐步完備自己數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維與問(wèn)題解答能力。