寧在曲中取 不在直中求
——點(diǎn)共圓在解題中的應(yīng)用

四川省德陽市中江縣青市鄉(xiāng)中心學(xué)校 龔輝倫

圓是初中繼三角形、四邊形學(xué)習(xí)后的唯一一種曲線型圖形，它具有完美的對稱性。圓的出現(xiàn)，為我們的幾何學(xué)習(xí)提供了一種新的認(rèn)識圖形的方式。雖然課標(biāo)要求對圓的教學(xué)要把握好一定的“度”，但由于圓這個完美圖形本身具有不可替代的優(yōu)勢，我們?nèi)匀豢梢越柚n本呈現(xiàn)的相關(guān)定理和探究活動的結(jié)論，靈活應(yīng)用它們來解決一些看似與圓無關(guān)，卻又深深反映出圓的性質(zhì)特征的直線型題目，使復(fù)雜的問題變得簡單，提高解題能力。

一、應(yīng)用圓的定義，構(gòu)造輔助圓來解決數(shù)學(xué)問題

試題呈現(xiàn)：如圖1-1，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長（ ）

圖 1-1

圖 1-2

圖 1-3

嘗試分析：雖然本題可以根據(jù)AB=AC=AD=2這個條件，聯(lián)想到等腰三角形的相關(guān)知識，通過構(gòu)造全等三角形來解決（如圖1-2），當(dāng)然也可以通過延長BA來構(gòu)造全等三角形，但這些三角形之間的邊角關(guān)系比較復(fù)雜，一般基礎(chǔ)的學(xué)生不容易看出其中的關(guān)系，很難完整地解答出來。

解題依據(jù)：在人教課本九年級上冊第119頁，在教學(xué)圓的定義后，課本上有如下陳述：“從畫圓的過程可以看出，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個圓上?！?/p>

解法生成：從題目中的描述可以看出，點(diǎn)B、C、D到點(diǎn)A的距離都等于2，滿足B、C、D共圓的條件，所以，我們可以構(gòu)造以點(diǎn)A為圓心，以AB的長為半徑的輔助圓（如圖1-3），結(jié)合DC∥AB的條件，易想到延長BA，將BC轉(zhuǎn)化為DF，再利用圓的直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形，輕松求出BD的長為

方法總結(jié)：當(dāng)題目中遇到有相等的線段且共端點(diǎn)時，可根據(jù)圓的定義，考慮構(gòu)造輔助圓來解決問題，往往事半功倍。

二、應(yīng)用同弧所對的圓周角相等，構(gòu)造輔助圓來解決數(shù)學(xué)問題

試題呈現(xiàn)：如圖2-1，在等邊三角形ABC內(nèi)有任意一點(diǎn)P，且，若三角形邊長為6，求AP的最小值是多少。

圖2-1

圖2-2

解題依據(jù)：同弧所對的圓周角相等。

解法生成：根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，我們可以作出過符合條件的點(diǎn)P及點(diǎn)B、C三點(diǎn)的圓弧，找出隱形圓，再通過圓外一點(diǎn)到圓上的距離最短找出P點(diǎn)的位置，也就是說A、P兩點(diǎn)和隱形圓圓心O在同一條直線時，AP最短，從圖2-2中不難看出，這條線也過BC的中垂線，所以，過點(diǎn)P作BC的中垂線，與弧的交點(diǎn)就是所求的P點(diǎn)，再通過解直角三角形，可求線段AD和PD的長，就能得到AP的最小值為

方法總結(jié)：當(dāng)題目中出現(xiàn)了一個定角，且這個定角所對的線段是固定線段時，我們可以知道該題中可能隱含著一個過線段端點(diǎn)及定角頂點(diǎn)固定的圓，此時定線段為這個圓的一條弦，這個定角就是這條弦所對的一個圓周角，這樣，我們就可以借助圓的解題優(yōu)勢，順利解決直線型問題。

三、應(yīng)用四點(diǎn)共圓的條件，構(gòu)造輔助圓來解決數(shù)學(xué)問題

圖3-1

圖3-2

嘗試分析：在初中階段，證明角相等的方法有很多，大多數(shù)情況下，我們能根據(jù)圖形的特點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形來解決相關(guān)問題。但本題，我們通過觀察發(fā)現(xiàn)，若∠CDE=∠COE成立，它們所對的線段都是CE，根據(jù)上述兩類題目的經(jīng)驗(yàn)分析，初步判斷點(diǎn)C、D、O、E共圓，可構(gòu)造輔助圓來解決相關(guān)問題。

解題依據(jù)：人教版課本九上P119的活動二，從“探究四點(diǎn)共圓的條件”結(jié)果所知，當(dāng)四邊形對角互補(bǔ)時或者一個外角等于四邊形的內(nèi)對角時，這個四邊形是一個定圓的內(nèi)接四邊形，即四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。

方法總結(jié)：當(dāng)四邊形有一組對角互補(bǔ)時，我們可以利用四點(diǎn)共圓的條件，構(gòu)造輔助圓來解決相關(guān)問題。同時，在本題中，由于對角所在的兩個角都是直角，我們根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，不但可以判斷D、C、E、O四點(diǎn)共圓，而且還可以得到線段DE就是這個輔助圓的直徑。

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想就是要對條件和結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將分散轉(zhuǎn)化為集中、將隱性轉(zhuǎn)化為顯性。從以上三種構(gòu)造輔助圓的情況可以看出，這些構(gòu)造方法涉及圓的定義及判定，均有課本定理或者探究活動的結(jié)論為據(jù)，符合數(shù)學(xué)課標(biāo)對圓教學(xué)要有“度” 的要求，且中考中不乏此類題目的呈現(xiàn)，所以在教學(xué)中，我們要培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，不斷積累知識經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力。