基于偏最小二乘方法的ARIMA模型在股票指數(shù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

方坷昊,趙 凌

(1.四川文理學(xué)院教務(wù)處，四川達(dá)州635000；2.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610068)

1 引言

股票市場(chǎng)作為國(guó)家經(jīng)濟(jì)的重要組成部分，對(duì)國(guó)家經(jīng)濟(jì)有較強(qiáng)的影響，其活躍程度更是衡量國(guó)家經(jīng)濟(jì)的一項(xiàng)重要指標(biāo).此外，股票指數(shù)的上漲(下跌)幅度大小亦對(duì)投資者的投資決策有著積極(消極)的作用，間接地反饋了股市的活躍程度信息.而股票指數(shù)作為股票市場(chǎng)的重要綜合指標(biāo)，所以較普通股票而言，對(duì)股市有著更為重大的影響，更具備研究意義.

1999年，國(guó)內(nèi)學(xué)者最早在國(guó)內(nèi)給出了ARIMA模型在股票價(jià)格預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用;[1]2006年，覃思乾利用ARIMA模型與GM模型的組合模型對(duì)股票指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)；[2]2011年，李美利用ARIMA模型對(duì)股價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并利用傅立葉修正方法進(jìn)行修正；[3]2012年，王丹楓實(shí)證分析了從投資者視角來(lái)進(jìn)行股票價(jià)格預(yù)測(cè)的可能性.ARIMA模型結(jié)合股票指數(shù)序列的自身規(guī)律對(duì)股票指數(shù)進(jìn)行了較好的預(yù)測(cè)，但并未考慮其他的相關(guān)變量對(duì)股票指數(shù)的影響.[4]1983年，偏最小二乘回歸由S.Wold和C.Alban首次提出后，該方法在關(guān)于存在多重共線性問(wèn)題的解決方面迅速得到應(yīng)用，在股市方面的研究亦有廣泛應(yīng)用，2004年，鄭承利應(yīng)用偏最小二乘法對(duì)美式期權(quán)的仿真定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究；[5]2010年，姬強(qiáng)應(yīng)用偏最小二乘法對(duì)中美股票市場(chǎng)的協(xié)動(dòng)性作出分析.[6]偏最小二乘回歸在股票指數(shù)預(yù)測(cè)的應(yīng)用上考慮了把股票指數(shù)影響較大的變量納入自變量組進(jìn)行回歸分析，較好地對(duì)各個(gè)相關(guān)指標(biāo)的多重共線性進(jìn)行消除，但并未利用自身存在的規(guī)律性進(jìn)行分析.

本文的意義在于以上證指數(shù)為例利用偏最小二乘方法對(duì)股票指數(shù)進(jìn)行回歸分析，將ARIMA模型得出的股票指數(shù)預(yù)測(cè)值歸為原始變量組，在建立偏最小二乘回歸模型時(shí)充分地利用了股票指數(shù)自身存在的規(guī)律性，且納入投資者視角所關(guān)注的股票指數(shù)相關(guān)變量，建立了在真正意義上充分考慮了投資者行為的偏最小二乘回歸模型，在統(tǒng)計(jì)于行為金融方面的探究中有重大意義.

2 數(shù)據(jù)與模型

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文數(shù)據(jù)包括上海證券交易所公布的2016年1月到2016年6月上證指數(shù)數(shù)據(jù)、上證指數(shù)證券成交量、人民幣對(duì)美元匯率、上證指數(shù)期貨價(jià)格；美國(guó)NASDAQ證券交易所公布的NASDAQ指數(shù)數(shù)據(jù)，變量選取如下：因變量Y為上證指數(shù)當(dāng)日價(jià)格、自變量X1為上證指數(shù)當(dāng)日ARIMA模型預(yù)測(cè)價(jià)格、X2為上證指數(shù)上一日交易量，其數(shù)值大小代表每日交易所成交數(shù)量，一定程度上能反映短期內(nèi)股民投資意愿、X3為上證指數(shù)上一日期貨價(jià)格，此變量的意義在于反映市場(chǎng)對(duì)目標(biāo)股票的漲跌期望，同時(shí)對(duì)目標(biāo)股票價(jià)格具有一定的指導(dǎo)意義、X4為美元對(duì)人民幣匯率，反映短期內(nèi)金融市場(chǎng)的活躍程度、X5為美國(guó)NASDAQ指數(shù)價(jià)格，作為NASDAQ世界最大的股票交易市場(chǎng)，其指數(shù)價(jià)格作為同類型股票對(duì)上證指數(shù)價(jià)格亦具有相當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)意義，如表1所示：

表1 變量關(guān)系表

2.2 模型理論

2.2.1 ARIMA模型

自回歸滑動(dòng)平均模型(Auto-RegressionIntegrated Moving Average Model，ARIMA)是由自回歸模型(Auto-Regression Model，AR)、差分項(xiàng)I(d)和滑動(dòng)平均模型(Moving Average Model，MA)兩部分組成，主要用于短期時(shí)間序列建模，與傳統(tǒng)相比，優(yōu)勢(shì)在于建模簡(jiǎn)便，對(duì)非線性模型有較好的解釋能力.且定義如下：

若{εt}是高斯白噪聲WN(0,σ2)，φ1,φ2,…,φp(φp≠0),?1,?2,…,?q(?q≠0)，皆為實(shí)數(shù)，則稱

φ(B)dXt=θ(B)εt

為求和自回歸滑動(dòng)平均模型，并記為ARIMA(p,d,q)模型.其中B為延遲算子，d=(1-B)d為差分算子，φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp為自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，θ(B)=1-?1B-?2B2-…-?pBq為滑動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式.

1.2.2 偏最小二乘回歸模型

偏最小二乘回歸(Partial Least Squares Regression，PLSR)是在1983年由S.Wold和C.Alban首次提出的， 是近年來(lái)應(yīng)實(shí)際需要而生產(chǎn)和發(fā)展的一個(gè)有廣泛適用性的多元統(tǒng)計(jì)方法.在常見的多因變量對(duì)多自變量的回歸建模中，特別是在觀測(cè)值數(shù)量少以及存在多重相關(guān)性等問(wèn)題時(shí)，該方法具有傳統(tǒng)的回歸方法所不具備的意義明確、計(jì)算簡(jiǎn)便、省時(shí)、建模效果好、解釋性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).

偏最小二乘回歸是一類解決由p個(gè)自變量X=(X1,X2,…,Xp)和q個(gè)因變量Y=(Y1,Y2,…,Yq)的n個(gè)觀測(cè)值組成的數(shù)據(jù)表存在多重相關(guān)性時(shí)的回歸分析問(wèn)題的模型，首先偏最小二乘回歸不直接對(duì)X與Y進(jìn)行回歸，而是先從X和Y中提取成分t1和u1，在提取成分時(shí)，有下列兩個(gè)要求：

a.t1和u1應(yīng)盡可能大地?cái)y帶他們各自數(shù)據(jù)表X和Y中的變異信息；

b.t1與u1的相關(guān)程度最大.

在第一輪提取后，分別實(shí)施X對(duì)t1的回歸及Y對(duì)t1的回歸，如果回歸方程已經(jīng)達(dá)到滿意的精度，則算法終止；否則，將利用X被解釋后殘余信息以及Y被t1解釋后的殘余信息進(jìn)行第二輪的成分提取，直到達(dá)到回歸方程滿意精度，算法終止.

若最終提取成分?jǐn)?shù)量為m，則偏最小二乘回歸將通過(guò)施行yk對(duì)t1,…,tm的回歸，然后表達(dá)為yk關(guān)于原自變量x1,…,xp的回歸方程，k=1,2,…,q.

3 實(shí)證結(jié)果與分析

3.1 實(shí)證步驟

本文首先對(duì)上證股票指數(shù)序列進(jìn)行ARIMA模型建立與分析：對(duì)股票指數(shù)序列做二階差分處理后序列平穩(wěn)，采用ARIMA模型對(duì)其價(jià)格進(jìn)行一個(gè)初步的預(yù)測(cè)后，模型擬合效果較為理想，為進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度，根據(jù)偏最小二乘回歸在處理多重共線性方面問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)；第二步把ARIMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果納入原始變量組，記為X1、再選取上證指數(shù)上一日交易量X2、上證指數(shù)上一日期貨價(jià)格X3、上一日美元對(duì)人民幣匯率X4、美國(guó)NASDAQ指數(shù)價(jià)格X5四個(gè)對(duì)股票指數(shù)價(jià)格Y影響較大的變量作為原始變量組對(duì)股票指數(shù)作回歸分析，利用回歸分析進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，研究表明，組合模型較ARIMA模型取得較大的修正效果.

3.2 ARIMA模型預(yù)測(cè)效果檢驗(yàn)

3.2.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

圖1 上證指數(shù)價(jià)格時(shí)間序列

首先在EVIEWS軟件中作出上證指數(shù)股票價(jià)格的時(shí)間序列圖(圖1)，由時(shí)序圖法，可見圖像變化并不規(guī)則，不存在對(duì)于一個(gè)確定的價(jià)格附近震蕩的現(xiàn)象，并無(wú)規(guī)律可言，認(rèn)為該序列并不具有平穩(wěn)性，需要對(duì)其做出差分處理；在對(duì)上證指數(shù)股票價(jià)格序列二階差分(DDLAVE)后，差分序列在0附近震蕩，初步確定平穩(wěn)，對(duì)其做單位根檢驗(yàn)(圖2)，可見該序列的ADF統(tǒng)計(jì)量的p值趨近于0，遠(yuǎn)小于0.01，通過(guò)平穩(wěn)性檢驗(yàn)，上證指數(shù)股票價(jià)格二階差分序列為平穩(wěn)序列，下面對(duì)該序列進(jìn)行模型建立.

圖2 單位根檢驗(yàn)圖

3.2.2 模型選擇

圖3 自相關(guān)檢驗(yàn)圖

由自相關(guān)檢驗(yàn)圖(圖3)，Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)p值均趨于零，可見模型并非白噪聲.我們對(duì)所要建立的ARIMA模型階數(shù)進(jìn)行確定：首先，對(duì)上證股票指數(shù)二階差分序列做自相關(guān)檢驗(yàn)后，得出該差分序列的自相關(guān)圖(圖3)，可見該序列的自相關(guān)系數(shù)與偏相關(guān)系數(shù)都具有拖尾性，考慮建立ARIMA模型，有圖三可見，自相關(guān)系數(shù)三階后有迅速下降且趨于0的趨勢(shì)，偏相關(guān)系數(shù)在二階后有迅速下降且趨于0的趨勢(shì)，因此建立ARIMA(1，2，1)、ARIMA(1，2，2)、ARIMA(2，2，2)、ARIMA(2，2，3)模型進(jìn)行比較,模型對(duì)應(yīng)結(jié)果如表2所示：

表2 ARIMA模型階數(shù)選擇

由表2可見ARIMA(2，2，3)模型在四個(gè)模型中擬合優(yōu)度最大，AIC值最小，模型效果最好，所以對(duì)序列建立ARIMA(2，2，3)模型.

3.2.3 模型評(píng)價(jià)

圖4 ARIMA模型

Xt=-0.905Xt-4-0.047Xt-3+1.809Xt-1-0.143Xt-1+εt+0.942εt-1-0.943εt-2-0.965εt-3

由圖四可見，對(duì)該模型做t檢驗(yàn)后，各參數(shù)對(duì)應(yīng)t統(tǒng)計(jì)量均處在較好水平，模型系數(shù)對(duì)應(yīng)p值均小于0.01，通過(guò)顯著性檢驗(yàn)；對(duì)殘差做白噪聲檢驗(yàn)后，Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)p值均大于0.05，結(jié)果表明殘差為白噪聲，ARIMA模型為有效模型.結(jié)合上證指數(shù)與其ARIMA模型預(yù)測(cè)價(jià)格的時(shí)間序列圖(圖5)以及ARIMA模型對(duì)上證指數(shù)Xt的四期預(yù)測(cè)結(jié)果(表3)可見：模型的平均相對(duì)誤差率為0.5%，說(shuō)明ARIMA模型能較好地預(yù)測(cè)出上證指數(shù)股票價(jià)格.

表3 ARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果

圖5 ARIMA模型擬合效果圖

3.3 偏最小二乘模型

3.3.1 模型建立

在2.2中，通過(guò)ARIMA模型對(duì)上證指數(shù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，擬合優(yōu)度達(dá)到0.71，平均相對(duì)誤差率為0.5%.為進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度，使用線性回歸對(duì)ARIMA模型進(jìn)行修正,基于偏最小二乘方法處理復(fù)共線性數(shù)據(jù)上的適用性：首先把ARIMA模型預(yù)測(cè)值納入原始變量組，記為X1、再加入與上證指數(shù)價(jià)格相關(guān)的上證指數(shù)上一日交易量X2、上證指數(shù)上一日期貨價(jià)格X3、上一日美元對(duì)人民幣匯率X4、美國(guó)NASDAQ指數(shù)價(jià)格X5作為原始變量組進(jìn)行偏最小二乘回歸分析，組合模型得出結(jié)果后與ARIMA模型輸出結(jié)果X1進(jìn)行比較.

本文用SIMCA-P軟件對(duì)上證指數(shù)Y進(jìn)行偏最小二乘回歸分析，輸入標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)進(jìn)行成分提取，建立解釋變差表(表4)進(jìn)行分析后，對(duì)模型成分個(gè)數(shù)進(jìn)行選擇，可以得出模型成分?jǐn)?shù)量為3時(shí)自變量可被解釋變差累計(jì)為96.9%，因變量可被解釋變差累計(jì)為81.7%，均處在較好水平，所以確定模型提取成分個(gè)數(shù)為3，建立模型如下：

Y=30.300+0.655X1+0.010X2+0.320X3+0.027X4-0.055X5+ε

表4 解釋變差表

3.3.2 模型評(píng)價(jià)

得出模型結(jié)果為數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的模型，組合模型結(jié)果較單ARIMA模型得到較大修正，擬合優(yōu)度由原本的0.71上升到0.82.

通過(guò)基于偏最小二乘方法的ARIMA組合模型對(duì)上證指數(shù)Y的后四期預(yù)測(cè)值與單ARIMA模型預(yù)測(cè)值對(duì)比(表5)可見，四個(gè)上證指數(shù)預(yù)測(cè)值殘差均有較大程度的減少，平均相對(duì)誤差值減少27.5%.這說(shuō)明基于偏最小二乘方法的ARIMA組合模型預(yù)測(cè)值較單ARIMA模型預(yù)測(cè)值效果更好，使用偏最小二乘方法的組合修正模型能夠有效提高預(yù)測(cè)精度.

對(duì)模型中每個(gè)變量的重要程度作出分析：由于本文建立的模型為標(biāo)準(zhǔn)化模型，其系數(shù)只與影響方向有關(guān)，不能決定其影響大小；本文選取SIMCA-P軟件中的VIP統(tǒng)計(jì)量(圖6)對(duì)模型的每個(gè)變量重要程度作出分析，VIP統(tǒng)計(jì)量的值越大說(shuō)明該變量的重要程度越高.由圖可見，自變量重要程度排名依次為X1、X3、X5、X4、X2；說(shuō)明ARIMA(2,2,3)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)偏最小二乘回歸模型的結(jié)果影響最大.ARIMA模型在股票價(jià)格預(yù)測(cè)中通過(guò)添加相關(guān)變量做偏最小二乘回歸的方法可以有效提高預(yù)測(cè)精度.

表5 組合模型預(yù)測(cè)結(jié)果

圖6 VIP統(tǒng)計(jì)量圖

結(jié) 論

本文首先在ARIMA模型對(duì)股票價(jià)格得出預(yù)測(cè)值的基礎(chǔ)上，根據(jù)偏最小二乘方法在股票類數(shù)據(jù)的相關(guān)性消除方面的優(yōu)勢(shì)，引入ARIMA模型預(yù)測(cè)值作為因變量，再加入上一日交易量，上一日期貨價(jià)格，上一日美元對(duì)人民幣匯率，美國(guó)NASDAQ指數(shù)價(jià)格等變量，以上變量具有較強(qiáng)的相關(guān)性，通過(guò)偏最小二乘方法對(duì)其回歸建模，能得到較好的修正模型，有效提高模型精度.