拉普拉斯算子多項(xiàng)式第二特征值估計(jì)的不等式

楊曉華，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

設(shè)??Rm(m≥2)是一個(gè)有界區(qū)域，Ω的邊界??是逐片光滑的，考慮如下的拉普拉斯算子多項(xiàng)式第二特征值λ2的上界估計(jì)的問(wèn)題

式中：ν是區(qū)域Ω的邊界??的外法向量；l和r是非負(fù)整數(shù)且l≥2r；P(t)=al-rtl+al-r-1tl-1+…+a1tr+1，常數(shù)al-r=1，當(dāng)i=1，2，…，l-r-1時(shí)，常數(shù)ai≥0；Q(t)=brtr+br-1tr-1+…+b1t，常數(shù)br=1，當(dāng)i=1，2，…，r-1時(shí)，常數(shù)bi≥0。

關(guān)于此類第二特征值估計(jì)已有結(jié)果[1-7]。在本文中，將文獻(xiàn)[8]與[9]中的常微分方程的第二特征值估計(jì)推廣到拉普拉斯算子更廣泛的一類問(wèn)題，即問(wèn)題(1)。

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)λ1，λ2是問(wèn)題(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，則有

式中r1={j│b1=b2=…=bj-1=0，bj≠0}。對(duì)于給定l與r選正整數(shù)參數(shù)σ使得式(2)的右端達(dá)到最小值，且r≤σ≤l-r。

注2 在式(1)中，取r=r1，ai=0(i=1，2，…，l-r-1)與bi=0(i=1，2，…，r-1)，則式(2)變?yōu)?，此結(jié)果是文獻(xiàn)[6]中的定理1。在文獻(xiàn)[5]中，取s=l，ai1i2…il(x) = 1(i1，i2，…，il=1，2，…，m)，r=1，bii(x)=1(i=1，2，…，m)，與bij(x)=0 (i≠j)，此結(jié)果是文獻(xiàn)[5]中的定理1.1。

注3 在式(1)中，取bi=0(i=1，2，…，r-1)，則式(2) 變?yōu)?/p>

在文獻(xiàn)[7]中，取 ai1i2…is(x)=as-r(s=r+1，r+2，…，l；i1，i2，…，is=1，2，…，m)，t=l與r=rt，式(3)是文獻(xiàn)[7]中的定理2。因此，本文的結(jié)果是文獻(xiàn)[1]-[7]的推廣。

2 定理的證明

假設(shè)

式中：k=1，2，…，m；x=(x1，x2，…，xm)；hk是一個(gè)實(shí)常數(shù)，且

設(shè)λ1是問(wèn)題(1)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征函數(shù)為u，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，用∫替代∫?，且滿足

利用分部積分，得

由式(4)知，φk與u正交，k=1，2，…，m，得

利用Rayleigh定理，有

計(jì)算得

利用分部積分，容易得

利用式(7)和式(8)，計(jì)算得

引理1 設(shè)u是問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù)，則

證明 ①利用數(shù)學(xué)歸納法，容易證明

利用式(1)與式(5)，有

因?yàn)閘≥2r，所以r≤σ≤l-r。利用①與②，得到

引理2 設(shè)u是問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù)，則

證明 利用分部積分，容易證明。

引理3 設(shè)λ1是問(wèn)題(1)的第一特征值，則

式中：r1={j│b1=b2=…=bj-1=0，bj≠0}；正整數(shù)σ=r，r+1，…，l-r。證明 利用 ?k=（ xk- hk) u、引理2②和引理1③，有

類似地得

結(jié)合式 (13) 和式 (14) ，有

引理4 設(shè)λ1是問(wèn)題(1)的第一特征值，則

式中：r1={j│b1=b2=…=bj-1=0，bj≠0}；σ=r，r+1，…，l-r。

證明 利用引理2②，得

利用式(15)、分部積分、引理1②和Schwarz不等式，有

因此引理4成立。

定理1的證明 利用引理3、引理4和式(10)，容易證明。

3 結(jié)論

本文利用變分法、Rayleigh定理、分部積分、Schwartz不等式和Young不等式等估計(jì)方法與技巧，考慮拉普拉斯算子多項(xiàng)式的第二特征值上界估計(jì)，獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，上界與區(qū)域的幾何度量無(wú)關(guān)，很多結(jié)果都是本文的特例。