“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)建議
——基于各版教材編排差異的比較分析

“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的古算題，最早出現(xiàn)在公元4～5世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》，隨著歷史的發(fā)展，“雞兔同籠”從問(wèn)題的敘述到算法都經(jīng)歷了不同形式的變化，但它一直是人們喜聞樂(lè)見(jiàn)的趣題，蘊(yùn)含著豐富的教育價(jià)值。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此問(wèn)題也非常重視，如首都師范大學(xué)郜舒竹教授對(duì)《孫子算經(jīng)》、《算法統(tǒng)宗》以及《鏡花緣》中出現(xiàn)的“雞兔同籠”問(wèn)題的各種算法進(jìn)行了梳理，并探討了產(chǎn)生這些算法的思想基礎(chǔ)。美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞在介紹“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)寫(xiě)道：“下面這道智力測(cè)驗(yàn)題……”以此問(wèn)題考察人們的智力水平。

自新課程改革以來(lái)，我國(guó)不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都把“雞兔同籠”問(wèn)題納入其中，充分發(fā)揮其強(qiáng)大的教育功能。那么各版本教材又是如何編排的呢？下面是筆者對(duì)新人教版（2014年）、舊人教版（2009年）、張?zhí)煨⒅骶幍恼憬贪妫?014年）、蘇教版（2014年）、北師大版（2014年）、青島版（2015年）、滬教版（2015年）[1]滬教版為五年制教材。這七個(gè)版本教材進(jìn)行的差異比較和分析，以期為優(yōu)化“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)教學(xué)提供可行的建議。

一、教學(xué)內(nèi)容的編排順序存在明顯差異

從教材的編排順序上看，《雞兔同籠》這一教學(xué)內(nèi)容被安排到了不同年級(jí)進(jìn)行教學(xué)。從表1中可以看出，該內(nèi)容所涉及的教學(xué)對(duì)象，年級(jí)最低的是二年級(jí)學(xué)生，最高的是六年級(jí)學(xué)生，年級(jí)跨度較大。究其原因，編排順序的差異或與編者想滲透的解決方法相關(guān)。

表1 各版本教材編排冊(cè)次分布情況

二、例題所滲透的解決方法呈現(xiàn)多樣性

各版本教材例題中所滲透的解決方法呈現(xiàn)出多樣性，如表2。

表2 各版本教材例題所滲透的解決方法

第一，不同版本教材的例題所要滲透的解決方法并不完全一致，呈現(xiàn)多樣性。如“列表法”“畫(huà)圖法”“假設(shè)法”“列方程”等。第二，“列方程”只出現(xiàn)在舊人教版教材的例題中，其他版本教材的例題都沒(méi)有出現(xiàn)此方法。第三，畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法互為結(jié)合補(bǔ)充，方法之間互相轉(zhuǎn)化，有助于幫助學(xué)生理解并解決問(wèn)題。如蘇教版教材在滲透了“畫(huà)圖法與列表法”之后，繼而總結(jié)兩種方法的異同，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地溝通兩種方法之間的聯(lián)系，從而找到解決問(wèn)題的最優(yōu)方案。第四，“列表法”成為唯一相同的解決方法。雖然各版教材例題所要滲透的解決方法多種多樣，但列表法卻是各版教材所共同采用的解決方法。第五，雖同為“列表法”，實(shí)則各有側(cè)重。如新人教版偏重“一一枚舉”列表方法，浙教版重于“折半枚舉”列表方法，北師大版則呈現(xiàn)“一一枚舉”列表方法、“中間跳躍枚舉”列表法和“折半枚舉”列表法三種解決問(wèn)題的列表方法。

三、解決方法存在顯著差異的緣由

為什么會(huì)導(dǎo)致各個(gè)版本在解決方法上存在這么多差異呢？把表1和表2合并為表3，個(gè)中緣由可見(jiàn)一斑。

表3 各版本教材編排冊(cè)數(shù)分布情況及解決方法

1.不同年級(jí)，面對(duì)不同的教學(xué)對(duì)象，所要滲透的解決方法不同。

例如“列方程”，在舊人教版教材中，《雞兔同籠》的教學(xué)內(nèi)容被安排在了六上，教學(xué)對(duì)象為六年級(jí)學(xué)生，學(xué)生在五年級(jí)已經(jīng)熟練掌握了列方程解決問(wèn)題的方法，因此在滲透了“列表法”“假設(shè)法”之后，教師可以順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生用“列方程”的方法解決問(wèn)題，這樣會(huì)更符合學(xué)生的認(rèn)知和學(xué)習(xí)規(guī)律。但新人教版教材中，就沒(méi)有“列方程”的方法，因?yàn)椤半u兔同籠”的教學(xué)內(nèi)容被安排到四下進(jìn)行教學(xué)，教學(xué)對(duì)象為四年級(jí)學(xué)生，不具備“列方程”解決問(wèn)題的能力，因此在教材中刪除了這一方法。

2.同個(gè)年級(jí)，面對(duì)不同的單元目標(biāo)，所要滲透的解決方法不同。

同樣面對(duì)六年級(jí)學(xué)生，“蘇教版”和“青島版”沒(méi)有在例題中滲透“列方程”的方法。究其原因，主要由于這兩個(gè)版本教材的單元教學(xué)目標(biāo)存在差異。在蘇教版教材中，該單元的教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)：第一，學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中初步學(xué)會(huì)運(yùn)用假設(shè)的策略、分析數(shù)量關(guān)系、確定解題思路，并有效地解決問(wèn)題。第二，學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中不斷反思，感受假設(shè)的策略對(duì)解決特定問(wèn)題的價(jià)值，進(jìn)一步發(fā)展分析、綜合和簡(jiǎn)單的推理能力。第三，學(xué)生進(jìn)一步積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)解決問(wèn)題的策略意識(shí)，獲得解決問(wèn)題的成功經(jīng)驗(yàn)，提高其學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。畫(huà)圖法和列表法更容易獲得直觀的感受，有助于實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。青島版的教學(xué)目標(biāo)則為“智慧廣場(chǎng)”的內(nèi)容，結(jié)合生活情境，在運(yùn)用一一列舉策略解決問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并學(xué)會(huì)運(yùn)用假設(shè)的策略解決問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，用列表法和假設(shè)法更能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。

四、針對(duì)不同水平層次的教學(xué)建議

對(duì)比分析這七個(gè)版本的教材后發(fā)現(xiàn)：“雞兔同籠”這道古算題適合于小學(xué)階段的任何一個(gè)年級(jí)，但教師在教學(xué)時(shí)，不能“一刀切”地使用同一種教學(xué)方式，而應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)方案。為此，筆者將1～6年級(jí)的教學(xué)對(duì)象，劃分為三個(gè)水平層次，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議。

1.畫(huà)圖感知思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)對(duì)象：第一水平（一、二年級(jí)學(xué)生）

教師可引導(dǎo)學(xué)生分層解決問(wèn)題。問(wèn)題1：雞和兔一起圈在一籠子里，其中有1只雞，2只兔。一共有幾個(gè)頭？一共有幾條腿？比較容易接受和理解的方法為：

（1）畫(huà)圖法：

（圖 1）

（2）列式法：

頭：1+2=3（個(gè)） 腳：2+4+4=10（條）

問(wèn)題2：雞和兔一起圈在一籠子里，從上面數(shù)有5個(gè)頭，從下面數(shù)有16條腿。雞、兔各有幾只？針對(duì)這一問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：?jiǎn)栴}1與問(wèn)題2有什么不同？并進(jìn)一步啟發(fā)：?jiǎn)栴}1中知道雞和兔的只數(shù)，求頭的個(gè)數(shù)和腿的條數(shù)；問(wèn)題2中知道頭的個(gè)數(shù)和腿的條數(shù)，求雞和兔的只數(shù)。最后提出用畫(huà)圖法解決這個(gè)問(wèn)題。

方法1

第一步，假設(shè)5個(gè)頭都是雞，那么腿就畫(huà)10條，還剩下6條腿，畫(huà)出如圖2；第二步，把剩下的6條腿添加到雞，每只雞添加2條，剛好添3次，得到4條腿的有3只，也就是兔有3只，另外2只就是雞，結(jié)果如圖3。

（圖 2）

（圖 3）

方法2

第一步，假設(shè)5個(gè)頭都是兔，那么腿就畫(huà)了20條，20-16=4，多了4條腿，如圖 4；第二步，把多的4條腿刪除，每個(gè)頭刪除2條腿，剛好刪2次，得到2條腿的有2只，也就是雞有2只，另外3只就是兔，如圖5。

（圖 4）

（圖 5）

2.列表法與假設(shè)法相整合，建立數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)對(duì)象：第二水平（三、四年級(jí)學(xué)生）

教學(xué)建議：列表法、假設(shè)法

教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)精選例題，例如：雞兔同籠，有 8個(gè)頭，26條腿，雞、兔各有幾只？然后引導(dǎo)學(xué)生分別用列表法和假設(shè)法解決問(wèn)題。

（1）列表法：先算有8只雞，這樣一共就有16條腿，顯然不對(duì)，再減去一只雞，加上一個(gè)兔，這樣一個(gè)一個(gè)地試，把結(jié)果列成表格，最后得出3只雞、5只兔。

（2）假設(shè)法：

方法1 假設(shè)8只都是雞，腿：8×2=16（條），少的腿：26-16=10（條）

方法2 假設(shè)8只都是兔，腿：8×4=32（條），多的腿：32-26=6（條）

溝通列表法與假設(shè)法的聯(lián)系，借助畫(huà)圖進(jìn)行理解，發(fā)現(xiàn)假設(shè)法與列表法的思路其實(shí)是相通的。列表法中的第一種情況：8只雞，0只兔，就是假設(shè)“籠子里全是雞”的情況?！凹僭O(shè)8只全是雞，就有幾條腿”與問(wèn)題中的“與26條相比少了幾條腿”分別可以用算式來(lái)表示：8×2=16（條），26-16=10（條）。繼續(xù)思考：少的 10條腿，應(yīng)該添給幾只雞？為什么？這一過(guò)程也可以用算式來(lái)表示：4-2=2（條），10÷2=5（條）。教師可以利用畫(huà)圖法幫助學(xué)生理解。也可以用列表法幫學(xué)生分析，在此基礎(chǔ)上列出式子，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)思想。

3.列表法與代數(shù)法相整合，初步感知代數(shù)思想。

教學(xué)對(duì)象：第三水平（五、六年級(jí)學(xué)生）

教學(xué)建議：列表法、代數(shù)法（列方程解決）

在列表法的表格中，假設(shè)兔子的只數(shù)為x只，追問(wèn)：那么雞的只數(shù)應(yīng)該怎么表示呢？受表格數(shù)據(jù)的影響，學(xué)生很容易想到應(yīng)該用（8-x）只表示。然后根據(jù)表格所提供的數(shù)量關(guān)系：雞的總腿數(shù)+兔的總腿數(shù)=雞和兔的總腿數(shù)，用列方程的方式為 4x+2（8-x）=26，進(jìn)而計(jì)算得到方程的解：x=5。同樣，也可以假設(shè)雞的只數(shù)為x只，那么兔子的只數(shù)就是（8-x）只，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程并解方程，得出答案。列表法較為直觀，能有效地幫助學(xué)生明確數(shù)量關(guān)系，在理解的基礎(chǔ)上順利列出方程，從而解決問(wèn)題。