改進(jìn)卡爾曼濾波的對(duì)流層散射多徑噪聲抑制方法

吳文溢，熊益波，王雷元，李艷潔，陳西宏

(1.西北核技術(shù)研究所，陜西 西安 710024；2.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051)

0 引言

對(duì)流層散射多徑效應(yīng)是影響對(duì)流層散射雙向時(shí)間比對(duì)(Two Way Troposphere Time Transfer, TWT3)系統(tǒng)[1-3]通信質(zhì)量的關(guān)鍵因素，研究對(duì)流層散射多徑時(shí)延模型和多徑噪聲抑制方法對(duì)TWT3系統(tǒng)設(shè)計(jì)和性能提升具有至關(guān)重要的作用。目前國(guó)際上采用的多徑抑制方法主要有窄相關(guān)法[4]，Bayesian法[5]，波形分解法[6]等，這些方法通過(guò)建立直達(dá)信號(hào)的函數(shù)統(tǒng)計(jì)模型來(lái)抑制滯后于直達(dá)信號(hào)的多徑信號(hào)，需考慮相關(guān)間隔和預(yù)相關(guān)帶寬，且相關(guān)器數(shù)量繁多。通過(guò)最大似然估計(jì)、粒子濾波和小波濾波等信號(hào)估計(jì)方法能有效地抑制多徑效應(yīng)，文獻(xiàn)[7]提出一種基于自適應(yīng)盲均衡和回歸最小二乘相結(jié)合的削弱GPS動(dòng)態(tài)多徑效應(yīng)的算法，通過(guò)仿真表明該算法能夠較好地減小多徑對(duì)載波相位和延遲的影響。文獻(xiàn)[8]提出了一種結(jié)合無(wú)跡卡爾曼濾波和小波閾值自適應(yīng)濾波的混合粒子濾波算法，削弱了多徑影響。

現(xiàn)有的多徑抑制模型多是針對(duì)鏡面多徑的情況，而散射多徑在接收端表現(xiàn)為大量多徑信號(hào)的疊加，通?？梢暈楦郊右粋€(gè)噪聲通道[9]?？紤]到對(duì)流層散射信道的復(fù)雜性和隨機(jī)性，其直達(dá)信號(hào)的函數(shù)統(tǒng)計(jì)模型難以建立，因此，目前尚未有對(duì)TWT3系統(tǒng)的散射多徑噪聲進(jìn)行抑制的普遍方法。文獻(xiàn)[10]針對(duì)TWT3系統(tǒng)的多徑抑制問(wèn)題，提出了基于Kalman濾波的散射多徑抑制方法，分析了不同基線距離和波束寬度下的最大多徑時(shí)延擴(kuò)展量，建立了TWT3系統(tǒng)的多徑濾波模型，通過(guò)仿真驗(yàn)證了該方法能有效提升鐘差數(shù)據(jù)的精度和穩(wěn)定性，但該模型假設(shè)條件是系統(tǒng)過(guò)程噪聲和觀測(cè)誤差噪聲均為高斯白噪聲，并沒(méi)有考慮測(cè)量系統(tǒng)性誤差的影響。在對(duì)流層散射雙向時(shí)間同步應(yīng)用中，由于散射信道多徑效應(yīng)復(fù)雜性和隨機(jī)性帶來(lái)的系統(tǒng)誤差的干擾，將極大可能地影響卡爾曼濾波的精度和準(zhǔn)確性，甚至使得濾波結(jié)果發(fā)散[11]。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出了基于增廣參數(shù)KF的散射多徑噪聲抑制方法。

1 基于Sunde散射模型的多徑時(shí)延模型

對(duì)流層散射信道是無(wú)線電通過(guò)對(duì)流層中散射體進(jìn)行傳播而形成的一種典型的時(shí)變多徑衰落信道。在圖1中，對(duì)流層中存在相當(dāng)大數(shù)目的散射體在收發(fā)天線波束交匯形成的公共體積中進(jìn)行了二次輻射，由于散射體隨機(jī)錯(cuò)落分布在公共體積的不同空間處，當(dāng)時(shí)間信號(hào)通過(guò)散射體由發(fā)射機(jī)向接收站傳播時(shí)，接收天線將會(huì)收到經(jīng)不同路徑到達(dá)且存在時(shí)延差異的各個(gè)信號(hào)的合成信號(hào)，該合成信號(hào)在時(shí)域上將表現(xiàn)為相對(duì)于原信號(hào)的時(shí)延擴(kuò)展。在數(shù)字通信中，散射多徑信道的這種時(shí)散特性對(duì)時(shí)間信號(hào)的傳輸是十分有害的，不但可能會(huì)導(dǎo)致信號(hào)波形失真，而且會(huì)造成較嚴(yán)重的符號(hào)間干擾，這種現(xiàn)象稱(chēng)為頻率選擇性衰落[12]。為了減少碼間干擾對(duì)正確碼元的比例，避免造成錯(cuò)誤判定，通常會(huì)增加碼元寬度，而這將極大地限制散射通信的傳輸速率，因此，建立合適的多徑時(shí)延模型對(duì)TWT3系統(tǒng)最大傳輸速率和最佳波形設(shè)計(jì)至關(guān)重要。

事實(shí)上，對(duì)流層散射多徑時(shí)延與散射體的分布是緊密相關(guān)的。這些對(duì)流層中的散射體可以理解為不均勻的大氣擾動(dòng)，由于受到溫度、濕度以及大氣壓強(qiáng)等因素影響，散射體的形狀、尺寸和密度無(wú)時(shí)無(wú)刻不在變化，其介電常數(shù)同樣也在不斷變動(dòng)。圖2為Sunde散射信道模型簡(jiǎn)易圖，Sunde模型給出了以下幾條假設(shè)[13]：

1)由于不同路徑的接收信號(hào)之間不相關(guān)，因此對(duì)流層散射信道為多條獨(dú)立路徑的連續(xù)集合；

2)設(shè)收發(fā)站之間信號(hào)最短路徑的傳播時(shí)延為T(mén)0，則其余的路徑時(shí)延表示為T(mén)(x)=T0+δ(x)，δm(x)表示最遠(yuǎn)路徑與最短路徑的最大多徑時(shí)延差；

3)散射能量按照路徑延遲均勻分布。

圖2 Sunde散射信道模型Fig.2 Sunde scattering channel model

對(duì)流層中的散射體對(duì)流層中的散射體對(duì)于無(wú)線電信號(hào)是有方向性的，可近似等效為一個(gè)定向的天線，具有散射方向圖(見(jiàn)圖3)，且散射角越大，散射信號(hào)強(qiáng)度越弱[14]。這在理論和實(shí)踐中均可說(shuō)明。在Sunde模型中，散射體依照散射角的變化而分成不同的層，每一層有著相同的散射角。由于電波傳輸損耗與散射角有關(guān)，假設(shè)在每一層中的各個(gè)路徑信號(hào)到達(dá)接收端時(shí)的能量相同。接收端信號(hào)的接收認(rèn)為是不同層的信號(hào)疊加。不同層有著不同的散射角，一般來(lái)說(shuō)，隨著散射角的增大，散射信號(hào)能量不斷降低。

圖3 散射場(chǎng)方向圖Fig.3 Scattering field pattern

假定收發(fā)天線均水平放置，則可知在圖3中，徑TCR的無(wú)線電信號(hào)傳播路徑最短，徑的路徑最遠(yuǎn)。徑TCR和徑TQR的路徑延遲可以表示為：

(1)

(2)

式(1)、式(2)中，φ和ψ分別表示天線波束的水平和垂直角度(單位：rad)，d表示收發(fā)兩站間的通信距離(單位：km)，Re表示等效地球半徑，取Re=8 500 km。

最大多徑時(shí)延δm是可以用來(lái)描述多徑時(shí)延展寬的重要特征參數(shù)，可通過(guò)徑TQR的路徑減去徑TCR的路徑除以光速表示：

(3)

式(3)中，c表示光速，取300 000 km/s；θ0表示最小散射角。

由上述多徑時(shí)延模型可知，對(duì)流層散射信道的最大多徑時(shí)延δm與通信距離d，收發(fā)天線的水平波束寬度φ，垂直波束寬度ψ，散射角大小θ以及地理環(huán)境等因素相關(guān)?？紤]在同一垂直平面的路徑延遲情況(φ=0°)，將天線水平放置(仰角為0°)，實(shí)際應(yīng)用中，受地貌環(huán)境的影響，天線仰角會(huì)略有增加，但一般不會(huì)超過(guò)5°。天線的波速寬度與天線的尺寸有關(guān)，天線尺寸D=2 m時(shí)，其波束寬度ψ一般為2.5°，而D=3 m時(shí)，ψ≈1.2°，表1是ψ取不同值時(shí)，計(jì)算得到不同通信距離d相對(duì)應(yīng)的最大多徑時(shí)延δm。

表1 不同通信距離的最大多徑時(shí)延Tab.1 Maximum multipath delay with different communication distance

如表1所示，最大多徑時(shí)延δm隨著通信距離和波束寬度的增加而增大，通信距離為300 km，波束寬度為1.2°時(shí)，對(duì)應(yīng)最大多徑時(shí)延可達(dá)到0.4 μs。在TWT3系統(tǒng)中進(jìn)行雙向時(shí)間信號(hào)傳遞時(shí)，路徑延遲可相互抵消95%～98%，最大多徑時(shí)延可達(dá)到納秒量級(jí)。

2 對(duì)流層散射多徑噪聲抑制

多徑效應(yīng)誤差是TWT3系統(tǒng)的重要誤差來(lái)源，研究散射多徑抑制方法對(duì)提升TWT3系統(tǒng)時(shí)同精度意義重大。對(duì)流層散射信道多徑效應(yīng)具有隨機(jī)性和連續(xù)性，接收天線接收到的是各個(gè)信號(hào)的疊加，通常表現(xiàn)為一個(gè)附加的噪聲通道。TWT3系統(tǒng)中收發(fā)站在傳遞時(shí)間比對(duì)信號(hào)時(shí)，由于對(duì)流層散射信道多徑效應(yīng)的影響，在接收站的信號(hào)會(huì)產(chǎn)生較大的時(shí)延擴(kuò)展，相當(dāng)于附加了一個(gè)多徑噪聲，觀測(cè)鐘差會(huì)存在較大的抖動(dòng)，極大地抑制了系統(tǒng)的性能?？柭鼮V波是一種參數(shù)最優(yōu)估計(jì)方法，能有效地從帶有色噪聲干擾的信號(hào)中提取有用信號(hào)實(shí)現(xiàn)信號(hào)估計(jì)，提升系統(tǒng)時(shí)間比對(duì)精度。

2.1 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波[15-16]是典型的最小方差估計(jì)方法，通過(guò)不斷地修正和更新，獲取后驗(yàn)概率的誤差協(xié)方差最小的估計(jì)值實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波，因此，卡爾曼濾波非常適合實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理。

Kalman濾波離散模型由狀態(tài)方程和觀測(cè)方程來(lái)進(jìn)行描述：

Xk=Φk,k-1Xk-1+Wk

(4)

Lk=AkXk+ek

(5)

式(4)、式(5)中，Xk為狀態(tài)向量，Lk為觀測(cè)向量，Φk,k-1為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Ak為觀測(cè)矩陣，Wk為系統(tǒng)過(guò)程噪聲向量，ek為觀測(cè)誤差噪聲向量。系統(tǒng)過(guò)程噪聲Wk和觀測(cè)誤差噪聲ek的統(tǒng)計(jì)特性滿足下式：

(6)

差噪聲式中，δkj為均值為零的高斯白噪聲序列，Qk為系統(tǒng)過(guò)程噪聲Wk的正定方差矩陣，Rk為觀測(cè)誤差噪聲，ek的正定方差矩陣。

Kalman濾波有兩個(gè)更新過(guò)程：時(shí)間更新和量測(cè)更新。時(shí)間更新實(shí)質(zhì)是預(yù)測(cè)，推算當(dāng)前狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差估計(jì) ，為下一時(shí)刻進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)；量測(cè)更新實(shí)質(zhì)是修正，利用觀測(cè)值和上一時(shí)刻的先驗(yàn)估計(jì)進(jìn)行反饋，以得到改善的后驗(yàn)估計(jì)。

2.2 基于增廣參數(shù)Klman濾波的多徑噪聲抑制方法

Kalman最優(yōu)估計(jì)的假設(shè)條件是系統(tǒng)過(guò)程噪聲向量Wk和觀測(cè)誤差噪聲向量ek均為高斯白噪聲，忽略了系統(tǒng)誤差的影響。在對(duì)流層散射雙向時(shí)間同步應(yīng)用中，由于散射信道多徑效應(yīng)系統(tǒng)誤差的干擾，將極大可能地影響卡爾曼濾波的精度和準(zhǔn)確性，甚至使得濾波結(jié)果發(fā)散。因此，本文考慮將多徑系統(tǒng)誤差作為狀態(tài)參數(shù)增廣狀態(tài)向量，并利用一階AR模型對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行建模，從而補(bǔ)償濾波來(lái)抑制濾波參數(shù)估計(jì)中系統(tǒng)性誤差的影響，提高卡爾曼濾波的精度和可靠性。

由式(6)可知，卡爾曼濾波是假定Wk、Wj、ek、ej之間互不相關(guān)且Wk和ek的數(shù)學(xué)期望為0，但由于對(duì)流層散射多徑效應(yīng)的隨機(jī)性和復(fù)雜性，在實(shí)際觀測(cè)中觀測(cè)誤差ek的期望可能出現(xiàn)不為零的情況，即：

(7)

若忽略系統(tǒng)誤差uk的影響，得到的卡爾曼估計(jì)值是有偏的。當(dāng)觀測(cè)誤差ek的期望不為零時(shí)，ek可以用下式表示：

ek=uk+δk

(8)

式(8)中，δk為均值為零的高斯白噪聲序列。

建立觀測(cè)噪聲系統(tǒng)誤差uk的函數(shù)模型通常需要一些先驗(yàn)信息，如量測(cè)對(duì)象、實(shí)驗(yàn)條件等，根據(jù)TWT3系統(tǒng)的對(duì)流層散射多徑效應(yīng)特點(diǎn)和有色噪聲函數(shù)模型，利用一階AR模型建立觀測(cè)系統(tǒng)誤差模型[17-18]，具體表達(dá)式如下：

uk=ψk,k-1uk-1+ηk

(9)

式(9)中，ψk,k-1為觀測(cè)系統(tǒng)噪聲狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，ηk為均值為零且協(xié)方差為正定矩陣的高斯白噪聲序列。

系統(tǒng)誤差具有復(fù)雜性、延續(xù)性和偶然性，在進(jìn)行觀測(cè)系統(tǒng)誤差狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣ψk,k-1的設(shè)計(jì)時(shí)，必須考慮對(duì)流層散射多徑效應(yīng)的特點(diǎn)?，F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)誤差uk作一些近似的假設(shè)，認(rèn)為uk在極短的時(shí)間間內(nèi)變化微小且具有隨機(jī)波動(dòng)性，其模型可以表示為：

uk=uk-1+ηk

(10)

再將建立的觀測(cè)系統(tǒng)誤差模型作為狀態(tài)參數(shù)納入狀態(tài)方程中，增廣狀態(tài)向量，并對(duì)觀測(cè)方程也進(jìn)行擴(kuò)增。對(duì)于TWT3系統(tǒng)，其觀測(cè)鐘差受初始鐘差、原子鐘頻率不穩(wěn)定性變化率等因素的影響，具體表達(dá)式為[19-20]：

(11)

式(11)中，τ(t)表示觀測(cè)鐘差，τ0表示初始鐘差，f0為標(biāo)準(zhǔn)額定頻率，df為頻率變化恒量，ρ為用來(lái)描述頻率不穩(wěn)定性的相關(guān)頻率噪聲，對(duì)于頻率穩(wěn)定性能良好的原子鐘來(lái)說(shuō)，式(11)的末項(xiàng)可忽略不計(jì)。

因此，對(duì)于TWT3系統(tǒng)對(duì)流層散射信道，可建立狀態(tài)和觀測(cè)方程為：

(12)

式(12)中，dtk中表示測(cè)量間隔。

根據(jù)式(8)—式(10)建立的系統(tǒng)誤差的模型，下面推導(dǎo)增廣參數(shù)卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程：

(13)

簡(jiǎn)化可得：

(14)

3 算例與結(jié)果分析

為了能驗(yàn)證上述方法的效果，設(shè)計(jì)了對(duì)流層散射時(shí)鐘信號(hào)傳輸試驗(yàn)。圖4為對(duì)流層散射傳遞時(shí)間信號(hào)的框圖。試驗(yàn)中采用的銣鐘型號(hào)為PRS10型銣原子鐘，時(shí)間間隔測(cè)試儀的型號(hào)為Agilent53132A。

圖4 對(duì)流層散射傳遞時(shí)間信號(hào)框圖Fig.4 Diagram of tropospheric scatter transmission time signal

圖5為試驗(yàn)獲取的鐘差數(shù)據(jù)，采樣時(shí)長(zhǎng)為2 h，間隔為2 s，測(cè)量結(jié)果如圖所示。

圖5 觀測(cè)鐘差數(shù)據(jù)序列Fig.5 Sequence of clock error data

時(shí)間間隔計(jì)數(shù)器(Time Interval Counter，TIC)測(cè)得的鐘差主要受設(shè)備時(shí)鐘、多徑效應(yīng)以及系統(tǒng)自身熱噪聲等因素的影響。由于對(duì)流層散射多徑效應(yīng)具有隨機(jī)性和重復(fù)性的特性，圖6的鐘差序列不僅含有高頻的觀測(cè)隨機(jī)噪聲誤差，且含有低頻的系統(tǒng)性誤差，其中具有重復(fù)性的部分主要表現(xiàn)為低頻的系統(tǒng)性誤差。為了更好地利用觀測(cè)數(shù)據(jù)，取鐘差序列中的第0～300，300～600，600～900，900～1 200，1 200～1 500，1 500～1 800，1 800～2 100，2 100～2 400，2 400～2 700采樣點(diǎn)記為樣本A～I(xiàn)，然后再對(duì)相鄰樣本求取最大相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表2。

圖6 鐘差序列Fig.6 Clock difference sequence

樣本A-BB-CC-DD-EE-FF-GG-HH-I相關(guān)0.960.970.970.980.990.970.980.97

從表2中可以看出，樣本間的鐘差數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的相關(guān)性，這也進(jìn)一步說(shuō)明散射多徑效應(yīng)的重復(fù)性使得觀測(cè)鐘差序列中包含低頻系統(tǒng)誤差。為了能比較本文所提出的卡爾曼濾波算法的效果，采用db8小波對(duì)鐘差序列進(jìn)行強(qiáng)制消噪處理，將濾波后的鐘差序列作為多徑模型，用于之后卡爾曼濾波算法改正。多徑誤差改正模型的鐘差序列中已去除了高頻隨機(jī)噪聲，只包含低頻系統(tǒng)噪聲。圖6中b表示觀測(cè)鐘差序列，a表示經(jīng)db8小波消噪后的多徑誤差改正模型。為了使a和b能在同一圖中顯示，將a的鐘差序列沿縱軸向上平移了5個(gè)單位。

采用兩種方案對(duì)觀測(cè)鐘差序列進(jìn)行處理。方案一：采用卡爾曼濾波算法對(duì)觀測(cè)鐘差序列樣本A～I(xiàn)進(jìn)行濾波；方案二采用本文提出的增廣參數(shù)卡爾曼濾波改進(jìn)算法對(duì)觀測(cè)鐘差序列樣本A～I(xiàn)進(jìn)行多路徑系統(tǒng)誤差改正，同時(shí)更新多徑誤差改正模型。限于篇幅，這里只給出了樣本A～D中連續(xù)的50個(gè)采樣點(diǎn)的結(jié)果，圖7表示兩種方案的濾波結(jié)果，圖8表示方案二中增廣參數(shù)卡爾曼濾波估計(jì)的系統(tǒng)誤差序列圖。

圖7 兩種方案濾波結(jié)果圖Fig.7 Filtering results of two schemes

圖8 方案二中系統(tǒng)誤差估計(jì)序列圖Fig.8 Sequence diagram of system error estimate in scheme 2

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出的增廣參數(shù)卡爾曼濾波算法的精度，采用均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)來(lái)比較濾波前后的準(zhǔn)確性，采用阿倫方差(Allan Error, AE)進(jìn)行比較兩種模型濾波前后鐘差的穩(wěn)定性，即：

(15)

(16)

表3 不同模型誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.3 Statistical results of different model errors ns

分析圖6—圖8和表3中的計(jì)算結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：

1)小波濾波和Kalman濾波均能抑制多徑噪聲，且Kalman濾波結(jié)果要略好于小波濾波結(jié)果。從表3中的RMSE統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，經(jīng)過(guò)小波或Kalman濾波后的鐘差仍含有較大的噪聲，這主要是低頻系統(tǒng)噪聲的影響，同時(shí)也說(shuō)明小波濾波和Kalman濾波能濾除隨機(jī)噪聲，但對(duì)系統(tǒng)性誤差的抑制效果較差。

2)從表3中AE的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，頻率穩(wěn)定性由濾波前的E-11量級(jí)，提升到方案二的E-13量級(jí)，符合試驗(yàn)中使用的銣原子鐘頻率穩(wěn)定度的量級(jí)標(biāo)準(zhǔn)。這表明本文提出的基于增廣參數(shù)Kalman濾波方法能有效地抑制多徑效應(yīng)帶來(lái)的噪聲抖動(dòng)，提高系統(tǒng)精度和穩(wěn)定性。

3)結(jié)合圖7、圖8和表3中的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，經(jīng)過(guò)方案二算法濾波后的鐘差較濾波前的精度提升了50%以上，這表明基于增廣參數(shù)Kalman算法能有效地抑制系統(tǒng)中由對(duì)流層散射多徑效應(yīng)帶來(lái)的多徑噪聲誤差。此外，基于Kalman濾波的多徑抑制算法實(shí)時(shí)性較好，能滿足TWT3系統(tǒng)實(shí)時(shí)快速時(shí)間同步的需求。

4 結(jié)論

本文提出了抑制對(duì)流層散射多徑噪聲的算法，該算法利用一階AR函數(shù)模型對(duì)系統(tǒng)誤差建模，并將其增廣狀態(tài)向量，有效地抑制了多徑系統(tǒng)中系統(tǒng)噪聲的干擾，通過(guò)設(shè)計(jì)對(duì)流層散射時(shí)鐘信號(hào)傳輸試驗(yàn)對(duì)算法進(jìn)行檢驗(yàn)，仿真和計(jì)算結(jié)果表明了該算法的準(zhǔn)確性和可靠性。該方法能有效抑制系統(tǒng)噪聲的干擾，同時(shí)在提升TWT3系統(tǒng)同步精度的工程實(shí)現(xiàn)方面具有重要意義。