基于改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的盲源分離方法

褚鼎立，陳 紅，宣章健

(國防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院， 安徽 合肥 230037)

0 引言

盲源分離(Blind Signal Separation,BSS)是20世紀(jì)出現(xiàn)的新研究領(lǐng)域，在對(duì)源信號(hào)和傳輸通道幾乎沒有可利用信息的情況下，僅從觀測(cè)到的混合信號(hào)中提取或恢復(fù)源信號(hào)各分量的一種信號(hào)處理方法[1]。盲信號(hào)分離，本質(zhì)上就是一種信號(hào)處理方式，適用于各個(gè)信息領(lǐng)域，其中包括無線通信、圖像處理、語音識(shí)別等。當(dāng)前，盲信號(hào)分離受到各國學(xué)者的關(guān)注和討論，已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，尤其在信號(hào)處理、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面[2]，具有極為重要的研究價(jià)值。

盲處理的方法是依據(jù)一定的獨(dú)立性準(zhǔn)則構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)的無監(jiān)督學(xué)習(xí)方法。針對(duì)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算法方法，文獻(xiàn)[3]提出了隨機(jī)梯度法，由于算法需要對(duì)矩陣求逆，計(jì)算量大，當(dāng)矩陣奇異時(shí)，計(jì)算不穩(wěn)定；文獻(xiàn)[4]提出了自然梯度法，相較于隨機(jī)梯度法更穩(wěn)定，但計(jì)算量仍很大，收斂性有待改進(jìn)[5]；文獻(xiàn)[6]提出了FastICA方法，計(jì)算量更少，但存在對(duì)初始值敏感的問題，導(dǎo)致算法不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[7]提出基于粒子群算法的盲分離方法，該方法不易陷入局部極值，但參數(shù)設(shè)置較多、收斂速度較慢，針對(duì)粒子群算法存在的問題，本文對(duì)鯨魚優(yōu)化算法[8]進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用于盲源分離。

1 盲分離問題描述

假設(shè)：x(t)是n個(gè)未知的相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號(hào)s(t)的線性組合，即：

x(t)=As(t)

(1)

式(1)中，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T，A為m×n階未知混合矩陣。由于A和s未知，盲分離要通過特定算法來實(shí)現(xiàn)x(t)的處理，從而獲得n×m階的分離矩陣，用W表示，使得輸出信號(hào)：

y(t)=Wx(t)=WAs(t)

(2)

就是s(t)的估計(jì)值。

由于s(t)和A未知，盲源分離依據(jù)條件和要求，將s(t)從觀測(cè)信號(hào)x(t)中將源信號(hào)分離出來，使得最終分離出的信號(hào)無限逼近于源信號(hào)s(t)，即通過分離矩陣W來實(shí)現(xiàn)盲源分離。一些混合信號(hào)中含有噪聲成分，在處理這類信號(hào)的過程中，可以將混合信號(hào)和噪聲區(qū)別開來，分別看作是不同路信號(hào)。

為了保證盲源分離的可能性，需要一些假設(shè)條件，通常為[9]：

1) 滿秩混合矩陣A，源信號(hào)數(shù)不得超過觀測(cè)信號(hào)數(shù)(即n≤m)。

2)基于統(tǒng)計(jì)要求，各源信號(hào)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)假設(shè)也是合理的。

3)至多有一個(gè)信號(hào)是高斯分布。

在缺乏源信號(hào)和信息通道的情況下，經(jīng)過盲分離的信號(hào)并不能確定幅值和排列順序，這一特征稱為模糊性。模糊性雖然存在，但是卻并不會(huì)影響最終結(jié)果[10]。

根據(jù)大數(shù)定理，多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和趨向于高斯分布。因此，如果觀測(cè)信號(hào)是源信號(hào)的線性組合，那么源信號(hào)的非高斯性比觀測(cè)信號(hào)的非高斯性更強(qiáng)。根據(jù)這個(gè)原理，可以通過對(duì)分離信號(hào)的非高斯性判斷來確定其相互獨(dú)立性[11]。分離信號(hào)非高斯性越大，其分離效果越好。

由于粒子群算法存在參數(shù)復(fù)雜、收斂速度慢等問題，本文提出利用改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的算法，旨在進(jìn)一步提升對(duì)線性瞬時(shí)混疊信號(hào)的分離性能和收斂速度。

2 基于改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的盲分離

2.1 鯨魚優(yōu)化算法

鯨是世界上最大的哺乳動(dòng)物，它的大腦構(gòu)造同人腦相似，都具有梭形細(xì)胞，該細(xì)胞具有情感表達(dá)、行為判斷等功能，使得鯨魚與其他生物不同。座頭鯨捕食時(shí)會(huì)群聚在一起，吐出一串串泡泡，形成一張泡泡網(wǎng)，合作捕食。2016年，Mirjalili S等學(xué)者[8]從座頭鯨捕食行為中獲得靈感，設(shè)計(jì)出一種新型算法，即鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA),該算法具備一定的自然靈感。具體來說，上述算法對(duì)座頭鯨的捕食行為進(jìn)行模仿，采取“螺旋氣泡網(wǎng)”策略，即逐步縮小捕食范圍、更新捕食位置，具備結(jié)構(gòu)簡便、調(diào)節(jié)參數(shù)減少等優(yōu)勢(shì)。算法數(shù)學(xué)模型有三種：一是包圍獵物，二是發(fā)泡網(wǎng)攻擊，三是搜索捕食。每次位置更新時(shí)，每個(gè)個(gè)體按照一定的準(zhǔn)則選擇其中一種更新方式。下面是三種更新方式的介紹。

2.1.1包圍獵物

座頭鯨能夠識(shí)別獵物的位置并包圍他們。由于最優(yōu)位置的搜索空間不是預(yù)先知道的，WOA算法假設(shè)當(dāng)前最佳的候選解是目標(biāo)獵物位置或最接近目標(biāo)獵物的位置，在定義最佳代理之后，其他搜索代理將向最佳代理靠近，其位置更新的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

X(j+1)=X(j)-A·D

(3)

D=|C·X*(j)-X(j)|

(4)

式(3)、式(4)中，A和C為系數(shù)變量；X*(j)為當(dāng)前最佳鯨魚位置；X(j)表示當(dāng)前鯨魚位置；j表示迭代次數(shù)。

計(jì)算系數(shù)變量A和C：

A=2a×r-a

(5)

C=2r

(6)

2.1.2發(fā)泡網(wǎng)攻擊

為了模擬座頭鯨吐氣泡捕食行為，數(shù)學(xué)模型為：

1)收縮包圍：即減少式(5)中的a值。在這個(gè)過程中，A的取值范圍是[-a,a]，一旦這個(gè)范圍發(fā)生變動(dòng)，a也會(huì)相應(yīng)的改變，若A在[-1,1]范圍內(nèi)，鯨魚的目標(biāo)位置將確定在當(dāng)前位置和獵物位置之間，這表現(xiàn)出座頭鯨的局部搜索能力。

2)螺旋式位置更新：通過計(jì)算得鯨群個(gè)體和獵物的準(zhǔn)確具體，并將螺旋式數(shù)學(xué)模型引入：

X(j+1)=D′eblcos(2πl(wèi))+X*(j)

(7)

(8)

式(7)、式(8)中，D′為表示的是第i頭鯨當(dāng)前最佳位置和獵物之間的距離，b為對(duì)數(shù)螺旋形狀常數(shù)；l是[-1,1]上的隨機(jī)數(shù)。

座頭鯨在捕殺獵物時(shí)不僅以螺旋形狀游向獵物，還要收縮包圍圈，以50%的概率作為閾值來更新鯨魚位置。公式為：

(9)

式(9)中，p為[0,1]上的隨機(jī)數(shù)。

2.1.3搜索捕食

座頭鯨除了選擇氣泡網(wǎng)法搜索策略之外，隨機(jī)搜索捕食也是一種重要手段。實(shí)際上，鯨群個(gè)體可以在彼此的距離范圍內(nèi)，隨機(jī)捕食獵物。所以，若果A超出[-1,1]范圍，距離數(shù)據(jù)D隨機(jī)更新，鯨為了找尋獵物，就會(huì)偏離原本的目標(biāo)獵物，使得捕食能力提高，使得WOA有一定的全局搜索性能。公式為：

D=|C·Xrand-X(j)|

(10)

X(j+1)=Xrand-A·D

(11)

式(10)、式(11)中，Xrand為當(dāng)前鯨群中隨機(jī)個(gè)體的位置。

2.2 自適應(yīng)權(quán)重

慣性權(quán)重在粒子群算法中有重要作用，權(quán)重較大時(shí)，算法可以搜索較大的區(qū)域，收斂速度會(huì)加快；權(quán)重較小時(shí)，搜索更加精細(xì)，不易錯(cuò)過最優(yōu)解。

受文獻(xiàn)[12]的啟發(fā)，對(duì)鯨魚優(yōu)化算法引入自適應(yīng)權(quán)重，權(quán)值計(jì)算公式如下：

(12)

式(12)中，j為當(dāng)前迭代次數(shù)，M為最大迭代次數(shù)。文獻(xiàn)[12]將權(quán)重引入到式(3)，如下所示：

X(j+1)=ω·X(j)-A·D

(13)

筆者認(rèn)為此法欠妥，若將權(quán)重因子引入到鯨魚的當(dāng)前位置上，不符合智能優(yōu)化的初衷，故將其與距離數(shù)據(jù)D結(jié)合，可以通過迭代的次數(shù)來調(diào)整收斂的速度，改進(jìn)公式如下

X(j+1)=X(j)-ω·A·D

(14)

由于自適應(yīng)權(quán)重對(duì)局部搜索作用明顯，而式(3)和式(7)都是用于進(jìn)行局部搜索的，所以將權(quán)重也同時(shí)引入到式(7)中，如下所示

X(j+1)=ω·D′eblcos(2πl(wèi))+X*(j)

(15)

2.3 分離原理

為分離混合信號(hào)x(t)，本文選擇通過引入自適應(yīng)權(quán)重的WOA算法，來計(jì)算式(2)中的W。根據(jù)隨機(jī)變量間的獨(dú)立性準(zhǔn)則，確定盲源分離方法，求得分離矩陣W，常用的有最小互信息準(zhǔn)則、信息最大化準(zhǔn)則、非高斯最大化準(zhǔn)則等。在此，以文獻(xiàn)[13]給出的四階累積量(峰度)準(zhǔn)則來建立目標(biāo)函數(shù)，采用分離信號(hào)峰度作為信號(hào)分離的度量。

隨機(jī)變量yi的峰度可表示為

(16)

如果K(yi)>0，信號(hào)yi(t)滿足超高斯分布的條件；如果K(yi)=0，信號(hào)yi(t)滿足高斯分布的條件；如果K(yi)<0，信號(hào)yi(t)滿足亞高斯分布的條件。綜合來說，非高斯性和峰度的絕對(duì)值之間成正比。所以，峰度最大，也就意味著超高斯信號(hào)的存在，足以說明信號(hào)分離效果理想；峰值最小，也就意味著亞高斯信號(hào)的存在，信號(hào)具有分離的可能性。

對(duì)n=2的二維混合模型進(jìn)行分析和說明，可以通過峰度信息來判定分離信號(hào)的有效性。假設(shè)源信號(hào)為方差等于1的非高斯信號(hào)，用s=[s1,s2]表示，s1,s2為隨機(jī)變量，設(shè)其峰度為K(s1)>0,K(s2)>0;對(duì)x進(jìn)行中心化、白化處理；基于此，以分離信號(hào)y=Wx為方差有限信號(hào)為假設(shè)前提,不妨設(shè)E(yyT)=I；則分離信號(hào)的第i個(gè)分量為

yi=Wix=WiAs=us=ui1s1+ui2s2

(17)

式(17)中，Wi為分離矩陣W的第i行。根據(jù)峰度的性質(zhì)，可知

(18)

為了實(shí)現(xiàn)超高斯和亞高斯信號(hào)的分離，選擇分離信號(hào)峰度的絕對(duì)值作為分離的度量：

(19)

定義目標(biāo)函數(shù)為

(20)

在E(yyT)=I的條件下，

(21)

前文的假設(shè)“分離信號(hào)y=Wx為方差有限信號(hào)”是有必要的，在模糊性的影響下，盲源分離并不能獲得準(zhǔn)確的信號(hào)幅度，分離矩陣W中的全部元素同時(shí)擴(kuò)大k數(shù)，分離信號(hào)y也得到相同倍數(shù)的擴(kuò)大，但盲源分離信號(hào)依然準(zhǔn)確，此時(shí)的K(y)擴(kuò)大倍數(shù)卻是k4倍。由此說明，若是沒有上述假設(shè)的限制，式(19)沒有最大值。假設(shè)E(yyT)=I，在均值、白化的處理之下，可知E(xxT)=I，使得

E(yyT)=E(WxxTWT)=E(WWT)=I

(22)

定義了代價(jià)函數(shù)式(20)之后，為了求得J(W)的極小值，采用改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法來對(duì)代價(jià)函數(shù)式(20)進(jìn)行優(yōu)化。

2.4 算法步驟

分離矩陣W為一正交陣，對(duì)于一個(gè)正交陣，可表示成一系列旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積，以n=3為例，W可表示為：

(23)

式(23)中，θ1,θ2,θ3∈[0,2π)它們分別代表3個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)角度。

以信號(hào)峰度為目標(biāo)函數(shù)，基于改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的盲源分離方法步驟如下(以n=3為例)：

1)收集并采樣觀測(cè)信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行中心化、預(yù)白化處理。

2)WOA算法參數(shù)初始化。將旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)角度θ=[θ1,θ2,θ3]作為鯨魚個(gè)體的位置信息X=[X1,X2,X3]，在求解空間[0,2π)內(nèi)，隨機(jī)確定鯨魚位置并初始化WOA參數(shù)，包括種群數(shù)目N、最大迭代次數(shù)M、對(duì)數(shù)螺旋形狀常數(shù)b、隨機(jī)數(shù)l、當(dāng)前迭代次數(shù)j及算法終止條件。

3)通過式(20)，計(jì)算適應(yīng)度Fit(W)=J(W)，找到并保存群體中最佳鯨魚個(gè)體位置X*。

4)若j≤M，更新a、A、C、l和p。

5)當(dāng)p<0.5時(shí)，若A<1，通過式(14)，重新確定鯨魚位置；如果A≥1，需要在當(dāng)前群體范圍內(nèi)隨機(jī)確定鯨魚個(gè)體位置Xrand，通過式(11)，更新當(dāng)前鯨魚位置。

6)如果p≥0.5，通過式(15)重新確定鯨魚個(gè)體位置。

7)通過式(20)，計(jì)算出個(gè)體適應(yīng)度Fit(W)，確定群體中最佳鯨魚個(gè)體X*。如果算法滿足終止條件，就到步驟8)；反之，令j=j+1，重復(fù)步驟4)～7)，直到滿足條件為止。

8)輸出最優(yōu)個(gè)體位置X*并通過式(23)計(jì)算分離矩陣W。

9)利用得到的分離矩陣W通過式(2)估計(jì)出源信號(hào)。

3 仿真驗(yàn)證

本節(jié)基于Matlab2014a平臺(tái)仿真驗(yàn)證并分析基于改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的盲信號(hào)分離性能。仿真實(shí)驗(yàn)如下。

實(shí)驗(yàn)一：無噪情況下，采用三路仿真信號(hào)作為源信號(hào)，采樣頻率為3 000 Hz，共使用500個(gè)采樣點(diǎn)。三路仿真信號(hào)分別為符號(hào)函數(shù)、幅度調(diào)制信號(hào)、正弦信號(hào)，當(dāng)t從1遍歷到500時(shí)，生成信號(hào)如下：

它們的峰度分別為-2.000 0，-0.050 3，-0.375 0，三路信號(hào)瞬時(shí)混合，混疊矩陣取為：

在分離混合信號(hào)時(shí)，選擇鯨魚優(yōu)化算法，鯨魚的種群數(shù)目取30，迭代次數(shù)取50，鯨魚位置信息區(qū)間為[0,2π),為了證明鯨魚算法的效果，與基于粒子群算法的盲源分離做了對(duì)比實(shí)驗(yàn)，為了方便比較，粒子數(shù)取為30，迭代次數(shù)也為50，兩個(gè)學(xué)習(xí)因子都設(shè)為0.8，仿真結(jié)果如圖1—圖5所示。

圖1 源信號(hào)Fig.1 Source signals

圖2 混合信號(hào)Fig.2 Mixed signals

圖3 分離信號(hào)(改進(jìn)鯨魚算法)Fig.3 Separated signals(WOA)

圖4 分離信號(hào)(粒子群算法)Fig.4 Separated signals(PSO)

圖5 算法收斂曲線Fig.5 Algorithm convergence curve

由圖1、圖3、圖4可見，分離信號(hào)存在幅度和排列順序的不確定性，但這不影響分離效果。從圖5的收斂曲線對(duì)比圖中可以看出，經(jīng)過18步迭代，鯨魚算法的適應(yīng)度已經(jīng)收斂，而且從收斂曲線上看出收斂速度非?？?；而粒子群算法在25步左右才收斂，收斂速度相對(duì)鯨魚算法，相對(duì)較慢。

選擇相似系數(shù)ζij作為指標(biāo)，判斷分離效果：

(24)

實(shí)驗(yàn)二：加噪情況下，為了驗(yàn)證不同信噪比對(duì)提出算法分離性能的影響，設(shè)置蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)信號(hào)同實(shí)驗(yàn)一，對(duì)混合信號(hào)作加噪處理，信噪比線性變化范圍從-10 dB以步長5到40 dB，每個(gè)信噪比下進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn)，以串音誤差(PI)作為觀測(cè)值，100次實(shí)驗(yàn)取平均值作為當(dāng)前信噪比下的串音誤差，并與粒子群算法進(jìn)行對(duì)比。

串音誤差PI定義如下：

(25)

式(25)中，gij是矩陣G第i行第j列的元素，G=WVA，V是混合信號(hào)的白化矩陣，PI值越接近0說明算法分離精度越高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6。

圖6 盲分離性能隨信噪比的變化情況Fig.6 Blind separation performance versus SNR

從圖6可見，隨著輸入信噪比的升高，本文算法與粒子群算法的計(jì)算誤差逐漸降低，在信噪比低于20 dB時(shí)變化尤為明顯，此時(shí)，本文算法的計(jì)算精度更高，分離效果更明顯；在信噪比高于20 dB后，兩種算法的計(jì)算精度趨于一致，都有很好的分離性能。

4 結(jié)論

本文提出了基于改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的盲源分離方法。該方法利用獨(dú)立性準(zhǔn)則，以混合信號(hào)的峰度作為目標(biāo)函數(shù)，用鯨魚優(yōu)化算法代替常規(guī)的粒子群算法，并引入自適應(yīng)權(quán)重，加快收斂速度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)瞬時(shí)混疊信號(hào)的盲分離，有效地避免了粒子群算法參數(shù)復(fù)雜、收斂速度慢的問題。仿真對(duì)比結(jié)果表明，本文方法簡單高效，分離精度和收斂速度相較于粒子群算法有明顯優(yōu)勢(shì)，在更低信噪比下也有良好的分離效果，適用于盲信號(hào)分離，可為盲信號(hào)處理提供一種新的研究思路與方法。