基于非線性累積損傷的隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命分析*

王 虎， 王 軻， 趙麗茹

(南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所 南京，210016)

引 言

隨機(jī)振動(dòng)疲勞是指結(jié)構(gòu)在受到隨機(jī)動(dòng)態(tài)、交變載荷作用下發(fā)生的疲勞破壞[1]。結(jié)構(gòu)在使用過程中長(zhǎng)期處于隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境中，局部結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的共振響應(yīng)，由此引起的疲勞破壞是結(jié)構(gòu)破壞的主要形式之一。因此，對(duì)隨機(jī)動(dòng)載荷激勵(lì)下典型結(jié)構(gòu)件進(jìn)行疲勞壽命分析具有重要意義。

預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)疲勞壽命的方法主要有頻域法和時(shí)域法兩種，基于功率譜密度(power spectral density,簡(jiǎn)稱PSD)的頻域法憑借方法簡(jiǎn)便、計(jì)算量小的特點(diǎn)得到了廣泛的應(yīng)用。使用頻域法預(yù)估結(jié)構(gòu)疲勞壽命，當(dāng)前采用較多的有Bendat窄帶分析法和Dirlik寬帶分析法[2]。這兩種方法都是基于Miner線性損傷理論，這一理論雖然形式簡(jiǎn)單、運(yùn)用方便，但未考慮載荷作用次序?qū)塾?jì)損傷的影響[3]，計(jì)算得到的壽命預(yù)估結(jié)果往往偏于危險(xiǎn)。為此，研究者們提出了修正Miner理論[4]和雙線性理論[5]，但結(jié)果仍不理想。直到非線性疲勞累積損傷理論發(fā)展起來[6]，才能較好地描述疲勞累積損傷特性，其不足之處是模型較復(fù)雜，理論性很強(qiáng)，因而難以應(yīng)用于壽命估算。筆者基于損傷曲線法提出了一種頻域修正方法，考慮了加載順序?qū)ζ趬勖挠绊?，一方面能夠更?zhǔn)確預(yù)估譜激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，另一方面易于工程應(yīng)用，為結(jié)構(gòu)抗振動(dòng)疲勞設(shè)計(jì)提供新的技術(shù)支撐。

1 振動(dòng)疲勞壽命分析理論

1.1 多軸應(yīng)力等效

結(jié)構(gòu)件在動(dòng)態(tài)載荷作用下一般處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)(即多軸狀態(tài))，在確定載荷下，采用Von Mises等效準(zhǔn)則將多軸應(yīng)力轉(zhuǎn)化為單軸應(yīng)力，再利用已有較為成熟的單軸疲勞分析理論預(yù)估結(jié)構(gòu)件壽命，無疑是一條簡(jiǎn)單而有效的途徑[7]。在頻譜范圍內(nèi)進(jìn)行Von Mises應(yīng)力等效，由于頻譜是以復(fù)向量的形式表達(dá)各頻段范圍內(nèi)的應(yīng)力分布，因此，在進(jìn)行應(yīng)力等效時(shí)不會(huì)出現(xiàn)時(shí)域內(nèi)部分相位信息和實(shí)際不相符的問題[8]。在平面應(yīng)力狀態(tài)下，頻域內(nèi)的Von Mises應(yīng)力等效表達(dá)式為

(1)

1.2 損傷曲線法

目前應(yīng)用較為廣泛的Bendat和Dirlik頻域壽命估算方法都是基于Miner線性累積準(zhǔn)則進(jìn)行推導(dǎo)的，它認(rèn)為材料在各個(gè)應(yīng)力水平下的疲勞損傷是獨(dú)立進(jìn)行的，總損傷可以線性疊加。對(duì)于一定水平的應(yīng)力循環(huán)，假設(shè)存在一個(gè)破壞壽命Nf，則可以得到一個(gè)循環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的損傷為1/Nf，那么當(dāng)∑1/Nf=1時(shí)，即可認(rèn)為材料發(fā)生了破壞。該理論形式簡(jiǎn)單、使用方便，但卻沒有考慮載荷間的干涉效應(yīng)，因而壽命預(yù)估結(jié)果與試驗(yàn)值相差較大。而非線性累積損傷理論認(rèn)為載荷歷程與損傷之間存在相互干涉作用，損傷累積速率隨著循環(huán)次數(shù)的增多而增大，與實(shí)際情況更為吻合，其中具有代表性的就是損傷曲線法[9]。

結(jié)構(gòu)損傷可以用瞬時(shí)裂紋長(zhǎng)度與最終裂紋長(zhǎng)度的比值來表示。引用Manson和Halford[5]在1981年提出的裂紋擴(kuò)展方程

(2)

其中：a0為初始裂紋長(zhǎng)度；af為最終斷裂的裂紋長(zhǎng)度；n,Nf分別為達(dá)到裂紋長(zhǎng)度a,af時(shí)外加載荷的循環(huán)次數(shù)；αf為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，計(jì)算方法如下

(3)

因此，結(jié)構(gòu)累積損傷D可以表示為

(4)

式(4)表示，當(dāng)累積損傷D=1(即a=af)時(shí)，結(jié)構(gòu)就會(huì)發(fā)生破壞。

考慮如圖1所示的二階高-低順序加載，其相應(yīng)的累積損傷模型如圖2所示。由圖2可看出，如果按幅值先高后低的順序加載即先沿著OA施加強(qiáng)度較高而壽命較短的載荷，然后再沿著A′B′施加強(qiáng)度較低而壽命較長(zhǎng)的載荷，循環(huán)比之和將小于1。相反，如果先沿著OA′施加應(yīng)力水平較低的載荷，然后再沿著AB施加應(yīng)力水平較高的載荷，則循環(huán)比之和大于1。因此，疲勞壽命的預(yù)測(cè)與加載順序有關(guān)。

圖1 二階高-低順序加載Fig.1 Two-step high-low sequence loading

圖2 非線性累積損傷Fig.2 Nonlinear damage accumulation

如圖2所示，兩個(gè)載荷水平在A點(diǎn)和A′點(diǎn)上的損傷相同，根據(jù)方程(4)可以得到循環(huán)比n1/N1,f和等效損傷循環(huán)比n2/N2,f之間的關(guān)系滿足方程

(5)

(6)

其中：n1，n2分別為在N1,f，N2,f壽命水平時(shí)的循環(huán)次數(shù)。

(7)

因此，另一個(gè)壽命水平(N2,f)的損傷曲線則可以表示為

(8)

對(duì)于多個(gè)壽命水平(N1,f,N2,f,…,Nn,f)，通過將最低壽命水平的損傷曲線作為基準(zhǔn)壽命Nref，可以快速構(gòu)建損傷曲線。各個(gè)壽命水平的應(yīng)力產(chǎn)生的累積損傷量為

(9)

(10)

(11)

其中：ni為在Ni,f壽命水平時(shí)的循環(huán)次數(shù);ni,eq為前i-1次加載的等效循環(huán)次數(shù)；Di為i次加載后的累積損傷，該值為1時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)破壞。

2 試 驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)件

簡(jiǎn)單試驗(yàn)件的尺寸和形狀如圖3所示，所使用材料為2024-O鋁合金，材料物理屬性如表1所示。試驗(yàn)件一端夾持在特定夾具上，利用振動(dòng)臺(tái)對(duì)其施加加速度隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ)激勵(lì)，同時(shí)為了縮短疲勞試驗(yàn)的時(shí)間，在試驗(yàn)件另一端加上配重塊，材料為Q235鋼。

圖3 試驗(yàn)件尺寸(單位：mm)Fig.3 The size of specimens(unit:mm)

材料彈性模量/GPa泊松比密度/(kg·m-3)2024-O61.80.332 780

2.2 有限元仿真

使用Hypermesh和Patran&Nastran軟件建立有限元模型如圖4所示，設(shè)置好相關(guān)參數(shù)后，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析并對(duì)照模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果修正模型，引入結(jié)構(gòu)阻尼。

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

采用模態(tài)法對(duì)模型在頻率10～650 Hz范圍內(nèi)進(jìn)行頻響分析：施加單位加速度載荷作用于基礎(chǔ)，計(jì)算得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)。然后輸入加速度平直激勵(lì)譜(頻率為10～650 Hz，幅值為0.015g2/Hz，均方根值(root mean square,簡(jiǎn)稱RMS)值為3.098g)，進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析，得到結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)云圖如圖5所示。提取危險(xiǎn)位置處的應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度(power spectral density,簡(jiǎn)稱PSD)曲線如圖6所示，RMS值為77.84 MPa。

圖5 應(yīng)力云圖Fig.5 Stress nephogram

圖6 危險(xiǎn)位置的應(yīng)力響應(yīng)PSD曲線Fig.6 The stress response PSD curves of dangerous location

2.3 頻域壽命估算結(jié)果

對(duì)試驗(yàn)件進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)疲勞試驗(yàn)，得到試驗(yàn)壽命結(jié)果[10]如表2所示。由于加工的試驗(yàn)件尺寸存在一定誤差、人工緊固螺栓不能保證約束狀態(tài)完全相同等原因，各試驗(yàn)件壽命結(jié)果存在一定的分散性。

表2 試驗(yàn)件壽命試驗(yàn)結(jié)果

基于Matlab編程實(shí)現(xiàn)了Dirlik法和Bendat法頻域壽命分析算法，結(jié)合危險(xiǎn)位置處的應(yīng)力響應(yīng)PSD曲線，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞壽命預(yù)估計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 試驗(yàn)件壽命預(yù)估結(jié)果

由表3可見，使用兩種頻域算法預(yù)估的疲勞壽命均比試驗(yàn)結(jié)果平均值偏高。究其原因，這兩種方法都是基于Miner線性損傷準(zhǔn)則的，沒有考慮加載順序?qū)ζ趬勖挠绊?。因此，筆者提出下述修正方法對(duì)預(yù)估結(jié)果進(jìn)行修正。

2.4 頻域壽命結(jié)果修正

非線性累積損傷準(zhǔn)則在以往的研究當(dāng)中都是用于時(shí)域算法的，得到了較為理想的結(jié)果，因此可以考慮將該準(zhǔn)則的基本思想引入到頻域算法中去。

根據(jù)Miner線性損傷準(zhǔn)則，不考慮加載順序時(shí)，若將預(yù)估的壽命結(jié)果平分為N段，每段時(shí)長(zhǎng)ΔT，則每次施加ΔT時(shí)長(zhǎng)的載荷將固定產(chǎn)生1/N的損傷量，N次加載后結(jié)構(gòu)破壞；然而當(dāng)考慮順序效應(yīng)影響時(shí)，根據(jù)損傷曲線法可知，第2次以后每次加載產(chǎn)生的損傷量均大于1/N，且隨著加載次數(shù)的增加，每次加載產(chǎn)生的損傷量越來越大。換言之，若想要使第2次以后每次加載產(chǎn)生的損傷量依然等于1/N，那么加載的載荷時(shí)長(zhǎng)應(yīng)該均小于ΔT，假設(shè)結(jié)構(gòu)從開始加載到破壞每產(chǎn)生1/N損傷所需的時(shí)間依次為ΔT(1),ΔT(2),…,ΔT(N)，則有ΔT(1)>ΔT(2)>…>ΔT(N)，其中ΔT(1)=ΔT，即產(chǎn)生同樣大小損傷量所需的載荷時(shí)長(zhǎng)會(huì)隨著加載次數(shù)的增加而減少。

當(dāng)ΔT足夠小時(shí)，可以假設(shè)前3次加載產(chǎn)生1/N損傷量所需的載荷時(shí)長(zhǎng)均為ΔT，即ΔT(1)=ΔT(2)=ΔT(3)=ΔT；而最后一次加載產(chǎn)生1/N損傷所需的時(shí)間為零，結(jié)構(gòu)瞬間破壞，即ΔT(N)=0。

通過將應(yīng)力響應(yīng)PSD曲線進(jìn)行時(shí)域模擬可以得到一個(gè)時(shí)長(zhǎng)ΔT的時(shí)域信號(hào)，根據(jù)損傷曲線法準(zhǔn)則，由式(9)～(11)可以計(jì)算得到每次加載該時(shí)域信號(hào)產(chǎn)生的損傷量。時(shí)長(zhǎng)ΔT的選取應(yīng)該適當(dāng)：過大則上述假設(shè)不成立，過小則隨機(jī)時(shí)域信號(hào)無法準(zhǔn)確反映數(shù)據(jù)特征。計(jì)算得到ΔT分別等于5,8,10,12,15,20 s時(shí)加載次數(shù)與單次加載產(chǎn)生損傷量之間的關(guān)系曲線，如圖7所示。

圖7 加載次數(shù)與單次加載產(chǎn)生損傷量的關(guān)系曲線Fig.7 The relation between the number of loading and the amount of damage produced by single loading

文中取ΔT=5 s，并嘗試通過指數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)該曲線進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖8所示。

圖8 曲線擬合結(jié)果Fig.8 Curve fitting result

可以看出，3次多項(xiàng)式足以滿足擬合要求，故文中采用3次多項(xiàng)式擬合上述曲線。不妨假設(shè)每產(chǎn)生1/N損傷所需的時(shí)間ΔT(i)隨加載次數(shù)的變化曲線也是一個(gè)3次多項(xiàng)式曲線，表達(dá)式為

ΔT(i)=a3i3+a2i2+a1i+a0

(12)

由前文假設(shè)可以確定式(12)的條件為

(13)

根據(jù)上述條件可以確定式(12)中a1,a2,a3,a44個(gè)參數(shù)，得出單次加載產(chǎn)生1/N損傷量所需載荷的時(shí)長(zhǎng)ΔT(i)隨加載次數(shù)的變化曲線如圖9所示。將N次加載的時(shí)域信號(hào)長(zhǎng)度疊加，即可得到修正后的壽命結(jié)果。即

(14)

圖9 ΔT(i)隨加載次數(shù)的變化曲線Fig.9 The relation between ΔT(i) and loading times

圖9中各部分面積可以表示為

(15)

其中：曲線AC與坐標(biāo)軸所圍成區(qū)域(1)的面積S1就是基于損傷曲線法理論修正后的壽命結(jié)果；而四邊形OABC的面積SOABC則表示基于Miner累積損傷準(zhǔn)則預(yù)估的壽命結(jié)果；區(qū)域(2)的面積S2為上述二者的差值，即采用線性準(zhǔn)則預(yù)估壽命時(shí)不考慮加載順序的影響所造成的誤差。

2.5 修正后的頻域壽命結(jié)果

按照上述修正方法對(duì)2.3節(jié)中通過兩種頻域算法預(yù)估的壽命結(jié)果進(jìn)行修正，分別得到ΔT(i)隨加載次數(shù)的變化曲線表達(dá)式為

(16)

將式(16)帶入到式(14)中可以得到修正后的疲勞壽命，并與疲勞試驗(yàn)結(jié)果平均值3 652.8 s進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表4所示。

表4 疲勞壽命修正結(jié)果

由表4可見，經(jīng)過壽命修正后的結(jié)果更接近于試驗(yàn)結(jié)果。初步驗(yàn)證了基于損傷曲線法的壽命結(jié)果修正方法有效可行。

3 工程算例

圖10 九宮格壁板有限元模型Fig.10 The finite element model of stiffened plate

某航空典型結(jié)構(gòu)件九宮格壁板的有限元模型如圖10所示，長(zhǎng)為1 000 mm，寬為800 mm，共劃分為10 020個(gè)有限元單元。該結(jié)構(gòu)振動(dòng)呈現(xiàn)固有頻率密集和動(dòng)態(tài)應(yīng)力多軸性的特點(diǎn)，而且破壞部位較為分散，在工程上很難做到準(zhǔn)確地預(yù)估和分析疲勞壽命。

模型加強(qiáng)筋和壁板均采用殼單元，二者之間的連接方式用RBE2的方式進(jìn)行模擬。結(jié)構(gòu)四周固定在特定夾具上，并施加垂直于壁板方向的加速度隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ)激勵(lì)，所使用的材料為2024-O鋁合金。

使用Patran&Nastran軟件，通過調(diào)整模型內(nèi)部連接關(guān)系和外部邊界條件，調(diào)用Nastran 103模態(tài)計(jì)算，得出前3階固有頻率如表5所示。

表5模態(tài)分析仿真結(jié)果

Tab.5 Simulation result of natural frequency Hz

在頻率范圍65～350 Hz內(nèi)對(duì)模型進(jìn)行頻響分析，輸入加速度平直激勵(lì)譜(頻率為65～350 Hz，幅值為0.990 3g2/Hz，RMS值為16.8 g)，進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析得到九宮格壁板應(yīng)力云圖如圖11所示。提取危險(xiǎn)部位(即九宮格壁板中心點(diǎn))x方向應(yīng)力響應(yīng)RMS值為30.8 MPa，處于試驗(yàn)所測(cè)得的27.2～32.6 MPa區(qū)間內(nèi)，驗(yàn)證了所建模型的準(zhǔn)確性。

圖11 九宮格壁板x方向應(yīng)力響應(yīng)云圖Fig.11 x directional stress response nephogram of stiffened plate

圖12 各分量方向應(yīng)力響應(yīng)PSD曲線 圖13 等效應(yīng)力響應(yīng)PSD曲線Fig.12 Stress response PSD curves of each component direction Fig.13 Equivalent stress response PSD curve

危險(xiǎn)部位各分量方向的應(yīng)力響應(yīng)PSD曲線如圖12所示，結(jié)合Von Mises等效準(zhǔn)則的使用，將多軸應(yīng)力轉(zhuǎn)化為單軸應(yīng)力，得到等效應(yīng)力響應(yīng)PSD曲線如圖13所示。然后利用Dirlik法和Bendat法進(jìn)行疲勞壽命預(yù)估計(jì)算并進(jìn)行結(jié)果修正，取ΔT=5 s，得出每產(chǎn)生1/N損傷所需的時(shí)間ΔT(i)隨加載次數(shù)的變化曲線表達(dá)式為

(17)

將上式帶入到式(14)中得到修正后的結(jié)果壽命，與疲勞試驗(yàn)所測(cè)得的壽命平均結(jié)果4 080 s進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表6所示。

表6 九宮格壁板壽命預(yù)估結(jié)果

由表6結(jié)果數(shù)據(jù)可知，采用線性準(zhǔn)則計(jì)算的結(jié)果遠(yuǎn)大于試驗(yàn)值，而基于損傷曲線法對(duì)壽命結(jié)果修正后計(jì)算精度明顯提高，得到了較為滿意的結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了新方法的可行性。

4 結(jié)束語

通過對(duì)線性累積損傷和非線性累積損傷的對(duì)比分析，筆者提出了一種可以提高壽命預(yù)估精度的新方法。該方法基于考慮加載順序的損傷曲線法這一非線性累積損傷模型，對(duì)兩種頻域分析結(jié)果進(jìn)行了修正，將非線性準(zhǔn)則的基本思想引入到了頻域算法中。相比于直接運(yùn)用非線性準(zhǔn)則預(yù)估結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，該方法更為簡(jiǎn)單，且使用方便。通過簡(jiǎn)單試驗(yàn)件和九宮格壁板的試驗(yàn)驗(yàn)證可知，使用新方法得到的壽命預(yù)估結(jié)果精度提高了30%以上，更為接近試驗(yàn)值，具有工程推廣價(jià)值。