Gorenstein合沖模的擴(kuò)張封閉性

楊星星

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 宿州 234000）

本文中，設(shè)R是左—右Noether 環(huán)，modR(modRop)表示由有限生成左R模（或右R模）組成的模范疇.眾所周知，合沖模類具有很好的性質(zhì)，對于任意正整數(shù)n，合沖模類都是函子有限的；另外，Auslander等［1］給出了諾特環(huán)上的合沖模與撓自由模的關(guān)系，并探討兩模類的擴(kuò)張封閉性；Huang［2］研究了相對合沖模類的擴(kuò)張封閉性；文［3］引入Gorenstein合沖模（以下簡稱G-合沖模）的概念，給出了G-合沖模類與撓自由模類的關(guān)系.本文探討G-合沖模類的擴(kuò)張封閉性（即：如果modR中正合列0 →A→B→C→0，若A，C是G-合沖模，則B是G-合沖模）.

先來回顧一些后面要用到的基本知識.

我們把HomR(M,R)表示為M?.對于一個左（或右）R模M，設(shè)：σM:M→M??為M的典范同態(tài)，如果σM是單態(tài)射，模M為無撓的；如果σM是同構(gòu)，模M為自反的.對于正整數(shù)k，模M∈modR為k-撓自由模，如果Exti R(TrM,R)=0，(1＜i≤k)，其中 TrM是模M的轉(zhuǎn)置［2］.易知：1- 撓自由模是無撓模，2- 撓自由模是自反模.本文用Tn(modR)表示由全體n-撓自由模組成的全子范疇.

定義1模M∈modR（或M∈modRop）被稱為Gorenstein 投射的（簡稱G- 投射），如果滿足（1）M是自反的.

定義2[4]對任意正整數(shù)n，模A∈modR,叫做左R模M的n-Gorenstein 合沖模，如果modR存在正合列 0 →A→Gn-1→ …G1→G0→M→0，其中所有的Gi都是G- 投射的.本文用G-Ωn(modR)表示全體n-Gorenstein合沖模組成的全子范疇，對偶地表示為G-Ωn(modRop).

定義3設(shè)M∈modR，i為任意非負(fù)整數(shù)，如果對任意 0≤j＜i，有ExtRj(M,R)=0，則稱模M的級數(shù)不小于i，記為GradeM≥i；如果對M的任意子模N都有GradeN≥i，則稱模M的強(qiáng)級數(shù)不小于i，記為s.GradeM≥i.

顯然，若s.GradeM≥i，則GradeM≥i，反之不成立.

引理4［5］下列陳述等價：

（1）對任意M∈modR，有GradeExtiR+1(M,R)≥i，其中1≤i≤k-1；

（2）對任意的1≤i≤k，有G-Ωi(modR)=Ti(modR).

下面給出G-Ω1(modR)的擴(kuò)張封閉的結(jié)論.

定理5對任意N∈G-Ω1(modR)，以下陳述等價：

（1）s.GradeExt1R(N,R)≥1；

（2）對 modR中的正合列 0 →L→M→N→0，若L∈G-Ω1(modR)，則M∈G-Ω1(modR).

證明（1）?（2），對正合列應(yīng)用典范同態(tài)σX:X→X??，則容易得到如下交換圖：

已知L，N∈G-Ω1(modR)，于是σL和σN都是單的，由交換圖可知：若f??:L??→M??是單的，則可得σM是單的.事實上，對正合列，函子擴(kuò)張后有如下正合列：

令K=co kerf?，顯然K為Ext1R(N,R)的子模，已知（1）中s.GradeExt1R(N,R)≥1，于是Hom(Ext1R(N,R),R)=0，即K?=0，于是有，得f??是單的，得證.

（2）?（1），設(shè)K為Ext1R(N,R)的任意子模，要證：s.gradeExt1R(N,R)≥1，只需證：K?=0 即可.因為Ext1R(N,R)∈ modRop，則K為Ext1R(N,R)的有限生成子模，已知（2）中的正合列 0 →L→fM→gN→ 0 通過函子擴(kuò)張以后有是正合的，因此,有下面的正合列交換圖：

由交換圖易知：K?=0，于是有s.GradeExt1R(N,R)≥1.

引理6［2］以下陳述等價：

（1）對任意M∈modR，s.GradeExt1R(M,R)≥i，(1＜i≤k)；

（2）對任意的1＜i≤k，有Ti(modR)是擴(kuò)張封閉的.

下面給出本文的主要定理：

定理7對正整數(shù)k，有1＜i≤k，以下陳述等價：

（2）G-Ωi(modR)是擴(kuò)張封閉的；

（3）G-Ωi(modR)是擴(kuò)張封閉的，且G-Ωi(modR)=Ti(modR).

證明（1）?（2）：由（1）中，則由引理 4 可得：G-Ωi(modR)=Ti(modR)，1＜i≤k.設(shè)：N∈Ti(modR)，于是N∈G-Ωi(modR)，且在 modR中存在正合列：0 →N→Gi-1→ …G0→M→0，其中所有的Gi都是G-投射模，那么：M∈G-Ω-i(modR).所以由（1）可得于是由引理6可得：對任意的1＜i≤k，有Ti(modR)是擴(kuò)張封閉的，從而G-Ωi(modR)是擴(kuò)張封閉的.

（2）?（3）：K=1 顯然，現(xiàn)設(shè)K≥2，利用數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)結(jié)論在 1＜i≤k-1 時成立，即有：G-Ωi(modR)=Ti(modR)且G-Ωi(modR)是擴(kuò)張封閉的，于是在modR中存在正合列：，其中所有的Gi都是G- 投射模，可得：Imfi∈G-Ωi(modR)=Ti(modR)，1＜i≤k-1，且有：，由G-Ωi(modR)在 1＜i≤k-1 是擴(kuò)張封閉的，可知在1＜i≤k-1時,有Ti(modR)是擴(kuò)張封閉的.由引理5有：對1＜i≤k-1,有：

再由引理4可得：

（3）?（1）：由于G-Ωi(modR)是擴(kuò)張封閉的，且G-Ωi(modR)=Ti(modR)，于是對1＜i≤k，Ti(modR)是擴(kuò)張封閉的，于是由引理5 可得：s.gradeExt1R(N,R)≥i，1＜i≤k，N∈modR，還由正合列 0 →N→Gi-1→ …G0→M→0 可知：s.gradeExtiR+1(M,R)≥i且M∈G-Ω-i(modR)，得證.

推論8對正整數(shù)k，有1＜i≤k，以下陳述等價：

（1）s.gradeExtiR+1(M,R)≥i，M∈modR；

（2）G-Ωi(modR)是擴(kuò)張封閉的；

（3）G-Ωi(modR)是擴(kuò)張封閉的，且G-Ωi(modR)=Ti(modR).

［1］AUSLANDER M，REITEN I.Syzygy module for Northerian rings［J］.Journal of Algebra，1996，183（1）：163-185.

［2］HUANG Z Y.Extension closure of relative syzygy module［J］.Science in China（Series A）,2003，46（5）：611-620.

［3］黃寵輝,譚良,蔡秋娥.Noether環(huán)上的Gorenstein合沖模［J］.南華大學(xué)學(xué)報，2008,22（3）：26-28.

［4］HUANG C H，HUANG Z Y.Gorenstein syzygy module［J］.Journal of Algebra,2010,324：3408-3419.

［5］AUSLANDER M，BRIDGER M.Stalble module theory［M］.Memoirs Amer Math Soc，Providence：AMS,1996.

［6］AUSLANDER M，REITEN I.K-Gorenstein algebras and syzygy module［J］.Pure and Appl：Algebra,1994，92（1）：1-27.