基于分?jǐn)?shù)階PID控制器的地鐵列車優(yōu)化控制研究

張 馳，譚南林，周 挺，劉敏杰，單 輝

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044；2.常州市軌道交通發(fā)展有限公司，江蘇 常州 213022)

地鐵列車作為軌道交通的重要通行方式，運(yùn)輸能力大、運(yùn)行速度快，承擔(dān)了大部分的乘客運(yùn)輸任務(wù)。隨著我國(guó)城市化建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)其運(yùn)力也提出了更高的要求。列車自動(dòng)駕駛ATO系統(tǒng)利用車載固化信息和地面通信實(shí)現(xiàn)對(duì)列車牽引、制動(dòng)的控制，可使列車處于更佳的運(yùn)行狀態(tài)，提供更優(yōu)的區(qū)間運(yùn)行模式，提高旅客舒適度、行車密度和準(zhǔn)點(diǎn)率。列車控制算法是ATO系統(tǒng)的核心技術(shù)， 深入研究此項(xiàng)技術(shù)對(duì)我國(guó)開(kāi)發(fā)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的城市軌道交通列車控制系統(tǒng)具有重要意義。

目前，針對(duì)ATO系統(tǒng)的研究主要集中在列車運(yùn)動(dòng)模型建模和響應(yīng)追蹤控制器兩個(gè)方面。在列車運(yùn)動(dòng)模型建模上，文獻(xiàn)[1]根據(jù)動(dòng)力學(xué)原理建立模型，但這種模型忽略了控制力產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)過(guò)程。文獻(xiàn)[2]提出了面向控制的列車制動(dòng)模型。文獻(xiàn)[3-6]以此模型為基礎(chǔ)進(jìn)行自動(dòng)駕駛、精確停車和ATP限速下ATO控制算法研究，但未考慮到列車牽引制動(dòng)特性，使模型在列車高速狀態(tài)下誤差增大。為此，本文以該模型為基礎(chǔ)，進(jìn)一步引入列車牽引制動(dòng)特性以降低誤差。

另外，地鐵列車在運(yùn)行時(shí)受到的阻力負(fù)載隨著線路的情況、運(yùn)營(yíng)的情況和車輛的工況而變化。文獻(xiàn)[2]中的模型未定義基本阻力，影響了模型的精度。針對(duì)該問(wèn)題，列車模型參數(shù)識(shí)別大多采用最小二乘法。如文獻(xiàn)[7-8]應(yīng)用最小二乘法獲得磁懸浮列車對(duì)應(yīng)模型參數(shù)。最小二乘法可以快速收斂到真值，但對(duì)有色噪聲會(huì)產(chǎn)生偏差。文獻(xiàn)[9]采用極大似然法對(duì)高速列車的非線性模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，而極大似然法可能存在局部收斂，且需要先驗(yàn)知識(shí)。

在響應(yīng)控制器方面，出現(xiàn)了多種不同的控制方法。文獻(xiàn)[10]中的PID控制算法具有良好的控制精度，但是不能兼顧系統(tǒng)響應(yīng)的快速性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[11]中的模糊控制具有較好的魯棒性和快速性，但控制精度不高，且控制參數(shù)和控制規(guī)則的調(diào)整耗時(shí)耗力，不利于工程中的實(shí)施。文獻(xiàn)[12]中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法復(fù)雜，缺乏實(shí)時(shí)性。

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分理論和應(yīng)用研究成為熱點(diǎn)研究課題，它不僅是很好的建模工具，而且還可以從數(shù)學(xué)上精確證明系統(tǒng)的正確性。文獻(xiàn)[13]提出分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，并比較了分?jǐn)?shù)階PIλDμ與傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器在控制分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和整數(shù)階系統(tǒng)時(shí)的性能差別，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階控制器的潛在優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[14-15]討論了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器在運(yùn)動(dòng)控制中的應(yīng)用，通過(guò)積分誤差尋優(yōu)的方法設(shè)定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)。文獻(xiàn)[16]對(duì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ型控制器的應(yīng)用進(jìn)行了深入研究，使分?jǐn)?shù)階PIλDμ型控制器在工程領(lǐng)域可以得到很好的應(yīng)用。對(duì)于實(shí)際情況中的受控對(duì)象，文獻(xiàn)[17]提出可以根據(jù)期望的幅值裕量Am和相位裕量φm來(lái)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器。文獻(xiàn)[18]基于Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的反饋控制問(wèn)題。并且分?jǐn)?shù)階PIλDμ在文獻(xiàn)[19]中應(yīng)用到智能車控制，在文獻(xiàn)[20]應(yīng)用到導(dǎo)彈控制。

本文以地鐵列車為研究對(duì)象，建立更為完善的列車運(yùn)動(dòng)模型，從實(shí)際數(shù)據(jù)中用遺傳算法校準(zhǔn)得出列車的基本阻力參數(shù)。針對(duì)目標(biāo)曲線跟蹤控制問(wèn)題，依據(jù)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法對(duì)列車ATO建立了一套更加優(yōu)化的自動(dòng)駕駛控制算法。通過(guò)系統(tǒng)仿真以及與實(shí)際列車的運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果表明該算法能夠使ATO系統(tǒng)達(dá)到更優(yōu)的速度控制效果。

1 優(yōu)化列車運(yùn)動(dòng)模型

1.1 列車運(yùn)動(dòng)模型

在地鐵工程設(shè)計(jì)中，把運(yùn)行中的列車看作是全部質(zhì)量集中于重心的平移運(yùn)動(dòng)和某些部分進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(車輪、電機(jī))的剛體運(yùn)動(dòng)。地鐵列車的運(yùn)動(dòng)由ATO系統(tǒng)通過(guò)牽引制動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)控制，但ATO系統(tǒng)不能直接操縱列車動(dòng)力執(zhí)行機(jī)構(gòu)，如電機(jī)、內(nèi)燃機(jī)等。因此，構(gòu)建列車運(yùn)動(dòng)模型時(shí)必須考慮傳輸延時(shí)和響應(yīng)時(shí)間。

參照文獻(xiàn)[2]中的列車運(yùn)動(dòng)模型，如圖1所示。

圖1 列車運(yùn)動(dòng)模型

A(t)=F(u(t))=f×u(t)+e

(1)

式中：f和e為F(·)的系數(shù)。

然而，值得注意的是，A(t)和u(t)兩者之間并不是理想的線性關(guān)系，現(xiàn)有模型沒(méi)有考慮列車在不同速度及不同工況下?tīng)恳苿?dòng)能力的非線性特征。牽引和制動(dòng)特性曲線的確定受到以下條件的限制：車重和黏著系數(shù)，最大線路功率和電機(jī)顛覆轉(zhuǎn)矩。以南京地鐵一號(hào)線A型列車為例，載客質(zhì)量及列車質(zhì)量見(jiàn)表1，表1中定員載荷為6人/m2，超載為9人/m2，乘客每人質(zhì)量按60 kg計(jì)算，上述參數(shù)依照《地鐵車輛通用技術(shù)條件》進(jìn)行設(shè)定。

表1 載客質(zhì)量及列車質(zhì)量 t

各工況的列車牽引特性曲線和制動(dòng)特性曲線如圖2、圖3所示。

圖2 列車牽引特性曲線

圖3 列車制動(dòng)特性曲線

從列車牽引特性曲線和列車制動(dòng)特性曲線可以看出，大部分情況下，兩者都是在低速區(qū)間為常數(shù)值，高速區(qū)間有所降低。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將列車牽引特性和列車制動(dòng)特性都設(shè)定為分段函數(shù)，并根據(jù)曲線特征分別簡(jiǎn)化成一次或者二次函數(shù)。在AW0工況下?tīng)恳?/p>

F(v)=

(2)

在AW2和AW3工況下?tīng)恳?/p>

F(v)=

(3)

在AW0工況下制動(dòng)力為

F(v)=264 kN

(4)

在AW2和AW3工況下制動(dòng)力為

(5)

1.2 列車基本阻力辨識(shí)

列車基本阻力計(jì)算是列車牽引計(jì)算中的一個(gè)重要組成部分，其計(jì)算結(jié)果的合理性、準(zhǔn)確性對(duì)列車的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真具有重要意義。從實(shí)際線路中得到的基本阻力系數(shù)信息，對(duì)建立運(yùn)行時(shí)間模型、能耗模型有很大的幫助。

列車在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中所受到的阻力可以分為基本阻力和附加阻力。列車運(yùn)行時(shí)影響基本阻力的因素極為復(fù)雜，包括軸承類型、潤(rùn)滑油性質(zhì)、輪對(duì)轉(zhuǎn)速、車輪半徑和車輪踏面形狀等。因此，通常使用大量實(shí)驗(yàn)綜合出經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算。參照戴維斯公式，單位基本阻力ω0(N/kN)等于列車運(yùn)行速度的一元二次方程，即

ω0=a+bv+cv2

(6)

式(6)中的系數(shù)a、b、c需要辨識(shí)。系數(shù)的值對(duì)某一列車是確定的，但是隨著機(jī)車運(yùn)營(yíng)年限的增加，列車的機(jī)械阻力和氣動(dòng)阻力會(huì)發(fā)生改變，列車輪對(duì)與軌道的摩擦所形成的阻力也會(huì)發(fā)生變化。如果此時(shí)基本阻力運(yùn)算的系數(shù)還使用初始設(shè)定的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，對(duì)于模型的仿真計(jì)算將會(huì)引起較大誤差。

針對(duì)這一狀況及需求，本文采用現(xiàn)場(chǎng)采集的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)對(duì)基本阻力系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。由于獲取的數(shù)據(jù)量不足，不適用訓(xùn)練學(xué)習(xí)的算法進(jìn)行辨識(shí)。考慮到雖然現(xiàn)有車載記錄儀可以獲得地鐵列車實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中的牽引力、制動(dòng)力、速度等數(shù)據(jù)，但是精度不高，速度只能精確到千米每小時(shí)，行程只能精確到米。若采用最小二乘法算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象，易受噪聲影響，放大誤差。因此，本文選用遺傳算法對(duì)阻力參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

遺傳算法具有計(jì)算時(shí)間少、魯棒性高、收斂性好等優(yōu)點(diǎn)。時(shí)間乘以誤差絕對(duì)值積分(ITAE)的性能指標(biāo)是具有很好工程實(shí)用性和選擇性的控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。對(duì)基本阻力參數(shù)辨識(shí)應(yīng)用遺傳算法時(shí)，個(gè)體的適應(yīng)度是記錄儀采集到的速度值v(t)和距離值s(t)兩者的ITAE性能指標(biāo)的乘積，并對(duì)一定誤差范圍之內(nèi)的值進(jìn)行剔除，以減少采集精度對(duì)結(jié)果的影響。選取的適應(yīng)度函數(shù)為

(7)

2 基本阻力系數(shù)及分?jǐn)?shù)階PIλDμ算法

分?jǐn)?shù)階PID控制器引入了積分階次λ和微分階次μ兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，從而使得控制器參數(shù)的整定范圍變大，控制器能夠更靈活地控制受控對(duì)象，可以期望得到更好的控制效果。由文獻(xiàn)[13]提出的傳遞函數(shù)為

(8)

本文參照的分?jǐn)?shù)階微積分Riemann Liouville(RL)定義為

(9)

分?jǐn)?shù)階PIλDμ型控制器具有對(duì)被控系統(tǒng)的參數(shù)變化不敏感的特點(diǎn)。本文采用的列車運(yùn)動(dòng)模型加入了列車牽引制動(dòng)特性這一非線性特征，且列車運(yùn)動(dòng)本身還具有時(shí)滯性、非線性的特點(diǎn)，所以傳統(tǒng)方法并不能準(zhǔn)確反映列車的動(dòng)力學(xué)特性，而適用于分?jǐn)?shù)階PIλDμ型控制器來(lái)進(jìn)行控制。分?jǐn)?shù)階PIλDμ型控制器對(duì)非線性控制對(duì)象有很強(qiáng)的抑制力，可以較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性環(huán)節(jié)的控制。通過(guò)調(diào)整比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)、積分階次和微分階次這5個(gè)參數(shù)，可以使系統(tǒng)得到更加快速精確的控制效果，取得比常規(guī)控制器更優(yōu)的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性。在對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的實(shí)際應(yīng)用中，由于計(jì)算量大，限制了此算法的應(yīng)用，所以，基于Oustaloup算法這一數(shù)字實(shí)現(xiàn)，在幅頻特性及相頻特性均具有很好的近似。最終設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PID框圖如圖4所示，在比例積分微分環(huán)節(jié)之后加入了分?jǐn)?shù)階積分和分?jǐn)?shù)階微分環(huán)節(jié)。

圖4 分?jǐn)?shù)階PID仿真框圖

Oustaloup濾波器為

(10)

其中

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

3.1 模型建立

建模計(jì)算所依據(jù)的數(shù)據(jù)是通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)采集的南京地鐵一號(hào)線A型車行車數(shù)據(jù)。行車記錄儀對(duì)南京地鐵一號(hào)線采集到的部分實(shí)際數(shù)據(jù)如圖5所示。

圖5 行車記錄儀獲得的部分實(shí)際數(shù)據(jù)

A型車的列車編組為：=Tc*Mp*M=M*Mp*Tc=。其中：*為半永久式牽引桿；=為全自動(dòng)車鉤；Tc為有司機(jī)室的拖車；Mp為有司機(jī)室?guī)茈姽膭?dòng)車；M為無(wú)司機(jī)室的動(dòng)車。列車長(zhǎng)度為140 m，總牽引力為368 kN，最高運(yùn)行速度為80 km/h。根據(jù)前述的列車運(yùn)動(dòng)模型，對(duì)南京地鐵一號(hào)線的列車運(yùn)動(dòng)模型用MATLAB軟件進(jìn)行仿真，加入列車牽引制動(dòng)特性曲線。仿真研究的重點(diǎn)是列車AW2荷載狀態(tài)的技術(shù)指標(biāo)。將記錄儀采集到的AW2工況下一段數(shù)據(jù)運(yùn)用最小二乘法計(jì)算，得到的基本阻力結(jié)果為

ω0=2.955+0.014v+0.002 2v2

同樣，使用遺傳算法對(duì)基本阻力系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，適應(yīng)度為速度值和距離值兩者的ITAE性能指標(biāo)的乘積，并對(duì)基本阻力參數(shù)取值范圍加以限定，以減少迭代次數(shù)，適應(yīng)度變化曲線和種群均值變化曲線如圖6、圖7所示。

圖6 適應(yīng)度變化曲線

圖7 種群均值變化曲線

由圖7可以看出使用遺傳算法在迭代5次之后可得到滿足精度的適應(yīng)度，依此將列車運(yùn)行仿真模型中的基本阻力模塊設(shè)置為

ω0=5.1+0.039 1v+0.001 1v2

依據(jù)以上計(jì)算得出的參數(shù)，對(duì)兩種算法進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表2。

表2 最小二乘法和遺傳算法的對(duì)比

由表2可以看出，遺傳算法得到的結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)值更為貼近，可以作為實(shí)際列車的阻力修正參數(shù)。使用其他AW2工況區(qū)間數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，測(cè)得的ITAE性能指標(biāo)均在誤差范圍內(nèi)。對(duì)AW0工況區(qū)間數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，基本阻力結(jié)果為

ω0=1.095+0.364v+0.001 3v2

用遺傳算法得到的參數(shù)來(lái)完善模型，輸入實(shí)際的牽引制動(dòng)檔位和附加阻力值，將仿真得到的速度結(jié)果與實(shí)際運(yùn)行所采集到的速度值進(jìn)行比對(duì)，結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 列車運(yùn)動(dòng)模型下AW2工況的仿真速度曲線

圖9 列車運(yùn)動(dòng)模型下AW0工況的仿真速度曲線

由圖8、圖9可以看出，優(yōu)化后的列車運(yùn)動(dòng)模型在各種工況下都能夠很好地與實(shí)際采集到的數(shù)據(jù)相吻合，僅在低速時(shí)有一定的誤差。依據(jù)此算法模型，可以從實(shí)際線路速度狀態(tài)信息中得出更為準(zhǔn)確的列車基本阻力實(shí)際系數(shù)值。

3.2 分?jǐn)?shù)階PID控制算法結(jié)果

基于上述優(yōu)化的列車運(yùn)動(dòng)模型，研究列車的自動(dòng)控制算法?，F(xiàn)階段大部分列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的控制算法采用的是傳統(tǒng)PID控制或自適應(yīng)PID控制。為此，本文分別使用傳統(tǒng)PID控制方法和分?jǐn)?shù)階PID控制方法對(duì)列車速度進(jìn)行控制。由于最終控制目標(biāo)為多目標(biāo)，且部分目標(biāo)不易量化處理，所以使用傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)及遞進(jìn)方式更改控制參數(shù)，分別得到兩種控制方式的最優(yōu)解，在最優(yōu)解下的階躍響應(yīng)如圖10所示。

圖10 傳統(tǒng)PID和分?jǐn)?shù)階PID階躍響應(yīng)

從圖10可以看出，在25.8 s之前兩條曲線重合，此時(shí)兩者都是以最大牽引力加速。由于存在區(qū)間限速，兩者都不可以存在超調(diào)量。分?jǐn)?shù)階PID能夠更快地達(dá)到控制目標(biāo)，與此同時(shí)，傳統(tǒng)PID的穩(wěn)態(tài)誤差為0.03 km/h，分?jǐn)?shù)階PID的穩(wěn)態(tài)誤差為0.015 km/h，分?jǐn)?shù)階PID穩(wěn)態(tài)誤差更小，整體在階躍響應(yīng)中優(yōu)于傳統(tǒng)PID。傳統(tǒng)PID控制參數(shù)和分?jǐn)?shù)階PID控制參數(shù)見(jiàn)表3。

表3 控制器參數(shù)

以列車的運(yùn)行速度作為新建運(yùn)動(dòng)模型輸入量，使用傳統(tǒng)PID控制算法和分?jǐn)?shù)階PID控制算法分別進(jìn)行響應(yīng)追蹤?？紤]到ITAE能夠較好地抑制長(zhǎng)時(shí)間存在的誤差，瞬態(tài)響應(yīng)的振蕩性小，且對(duì)參數(shù)具有良好的選擇性和敏感性，將速度的ITAE性能指標(biāo)作為控制指標(biāo)。得到結(jié)果如圖11所示，可以看出采用分?jǐn)?shù)階PID控制算法對(duì)設(shè)定速度的控制品質(zhì)優(yōu)于傳統(tǒng)PID。

圖11 兩種算法的ITAE指標(biāo)

為了進(jìn)一步進(jìn)行比較，采用線路的列車限速曲線作為控制目標(biāo)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)階PID控制算法進(jìn)行控制，與實(shí)際的列車運(yùn)行曲線相對(duì)比，分?jǐn)?shù)階PID控制結(jié)果速度更快，用時(shí)更短，速度曲線如圖12所示。

圖12 速度曲線

分?jǐn)?shù)階PID控制算法通過(guò)調(diào)整參數(shù)，可以使其沒(méi)有超調(diào)量，在ATP設(shè)定的限速下運(yùn)行，快速達(dá)到目標(biāo)值，檔位切換平穩(wěn)等多個(gè)目標(biāo)同時(shí)得到滿足，檔位控制結(jié)果如圖13所示。

圖13 分?jǐn)?shù)階PID檔位控制結(jié)果

對(duì)分?jǐn)?shù)階PID控制算法參數(shù)進(jìn)行整定，結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 控制器參數(shù)

使用傳統(tǒng)PID控制算法時(shí)，無(wú)法找到同時(shí)滿足沒(méi)有超調(diào)量、速度無(wú)振蕩、時(shí)間盡量短、檔位切換平滑多目標(biāo)的參數(shù)，滿足前3個(gè)目標(biāo)的檔位控制結(jié)果如圖14所示。

圖14 傳統(tǒng)PID檔位控制結(jié)果

從檔位切換來(lái)看，傳統(tǒng)PID在精度提高的同時(shí)穩(wěn)定性就會(huì)下降。而分?jǐn)?shù)階PID在保證精度和速度沒(méi)有超調(diào)量的同時(shí)，降低了切換頻率，加速度變化較為平穩(wěn)，從而減少了頓挫，提高了乘坐舒適度。分?jǐn)?shù)階PID能夠克服變化帶來(lái)的不確定影響，從而提高系統(tǒng)的可靠性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)傳統(tǒng)的列車運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行改進(jìn)，加入列車牽引制動(dòng)特性，應(yīng)用遺傳算法對(duì)不同線路條件、車輛工況下的基本阻力系數(shù)進(jìn)行識(shí)別計(jì)算。新建立的模型誤差小，較現(xiàn)有的理想模型更貼近于實(shí)際的列車。在此基礎(chǔ)上，將分?jǐn)?shù)階PID控制方法應(yīng)用到上述列車運(yùn)動(dòng)模型中的ATO系統(tǒng)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用分?jǐn)?shù)階PID控制方法進(jìn)行列車速度控制時(shí)，能夠使速度跟隨更快，控制精度更高，同時(shí)減少了頓挫，提高了舒適度，總體性能優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制。

本文方法對(duì)列車的檔位控制仍有較大的提升空間，對(duì)列車基本阻力系數(shù)的辨識(shí)也可以使用不同的方法，如卡爾曼濾波。同時(shí)，分?jǐn)?shù)階PID控制算法中參數(shù)的選定也是未來(lái)研究的方向。