例析重力加速度測量的幾種方法

華中科技大學(xué)附屬中學(xué) ( 430074) 許 文

重力加速度g的測量，是高中物理的一個經(jīng)典拓展性力學(xué)實驗。該實驗有多種測量原理，每種測量原理又對應(yīng)著多種實驗設(shè)計方案，具有一定的可操作性與探究性。該實驗對培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生養(yǎng)成理論聯(lián)系實際、學(xué)以致用的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有著重要的意義。本文通過典型實例分析，總結(jié)重力加速度的幾種測量方法。

1 運動學(xué)法

在阻力很小的情況下，物體只受重力的作用從靜止開始下落的運動，是一種自由落體運動，其加速度即為重力加速度。測出物體下落的位移與時間，則可利用勻變速直線運動的規(guī)律求出重力加速度。但測量手段與數(shù)據(jù)處理有多種方法。

1.1 公式法

例1：如圖1所示，在自來水龍頭下面固定淺盤，測量出水龍頭口離淺盤的高度h。調(diào)節(jié)水龍頭，使得前一個水滴滴在淺盤上的同時，下一個水滴剛好開始下落。當(dāng)聽到某一水滴滴在盤上的聲音的同時，啟動秒表開始計時，并數(shù)“1”，以后每聽到一滴水聲，依次數(shù)“2、3、4…”，一直數(shù)到“n”時，按下秒表停止計時，讀出秒表的讀數(shù)t。則重力加速度的表達式為g=______。

圖1 例1圖示

點評：由于水滴下落過程中受到的空氣阻力很小，可以忽略不計，因此可認為水滴下落做自由落體運動，測出其下落的距離與時間，用自由落體運動公式可求出重力加速度的值。本題實驗設(shè)計方案利用身邊的器材，實驗過程操作簡便、可行。實驗的關(guān)鍵是測出一滴水下落的時間T，由于這個時間一般很小，本題設(shè)計的實驗方案中采用了測多滴水下落的時間再求平均值，有效地減小了測量的偶然誤差，提高了實驗的準(zhǔn)確度。

1.2 紙帶法

例2：如圖2(a)所示的裝置可以測量圓柱棒下落的加速度a。用細線懸掛著包有白紙且質(zhì)量為1.00 kg的圓柱棒，蘸有顏料的毛筆固定在電動機的飛輪上并隨之在額定轉(zhuǎn)速下勻速轉(zhuǎn)動。燒斷懸掛圓柱棒的細線后，圓柱棒豎直自由下落，毛筆就在圓柱棒外面的白紙上畫出記號，如圖(b)所示。設(shè)毛筆接觸棒時不影響棒的運動，測得記號之間的距離依次為d1=26.0 mm、d2=50.0 mm、d3=74.0 mm、d4=98.0 mm、d5=122.0 mm、d6=146.0 mm，已知電動機銘牌上標(biāo)有“1 200 r/min”字樣。則棒下落的加速度a=______(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)。

圖2 例2圖示

解析：由題意可知，毛筆畫相鄰兩個記號的時間間隔為電動機的轉(zhuǎn)動周期T，已知電動機銘牌上標(biāo)有“1200 r/min”字樣，即每秒轉(zhuǎn)20周，所以T=0.05 s。由逐差法計算得出棒下落的加速度a=

9.60 m/s2。

答案：9.60 m/s2。

點評：本實驗圓棒在下落過程中，毛筆與空氣對其的阻力較小可忽略不計，因此可認為圓棒做自由落體運動，其下落的加速度即為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取ｋ妱訖C帶動毛筆勻速運動，毛筆在圓棒外白紙上畫下的印跡與打點計時器在紙帶上打出的點跡相似，將處理紙帶問題的逐差法進行遷移求解加速度，有效的減小了實驗誤差。

1.3 圖像法

圖3 例3圖示

測量點0123456d/cm01.204.168.6014.5021.9030.85t/s00.040.080.120.160.200.24dt/(m·s-1)00.300.520.720.911.101.29

解析：不考慮空氣阻力，小球從光電門1到光電門2的做勻加速直線運動。

圖圖像

答案：9.62 m/s2。

點評：本實驗的測量手段與實驗數(shù)據(jù)的處理進行了創(chuàng)新。用光電門傳感器測量小球的運動時間可以減小傳統(tǒng)時間測量儀器(秒表、打點計時器等)的測量誤差；運用線性圖像法處理實驗數(shù)據(jù)，可以減小實驗的偶然誤差，使數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性得到提高。圖像的物理意義可結(jié)合相關(guān)的表達式進行分析。

2 動力學(xué)法

當(dāng)一個物體(或系統(tǒng))除受重力外還受其他力共同作用下做勻變速運動時，可以測量其運動的位移與時間，由運動學(xué)公式求出其加速度大小；再由牛頓運動定律列出其動力學(xué)方程，通過動力學(xué)方程求出重力加速度。

例4：如圖5(a)所示為阿特武德機的示意圖，它是早期測量重力加速度的器械，由英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家阿特武德于1784年制成。他將質(zhì)量同為M的兩重物用繩連接后，放在光滑的輕質(zhì)滑輪上，處于靜止?fàn)顟B(tài)。再在一個重物上附加一質(zhì)量為m的小重物，由于小重物的重力而使系統(tǒng)做初速度為零的勻加速運動。

圖5 例4圖示

(1)測出重物運動的距離h與對應(yīng)的時間t，則運動的加速度大小a=______。

點評：阿特伍德機是一種著名的力學(xué)實驗裝置，繩子兩端的物體下落(上升)的加速度總是小于自由落體的加速度g。同自由落體相比，下落相同的高度，所花費的時間要長，這使得實驗者有足夠的時間從容的觀測、研究，它可以用來研究勻變速運動規(guī)律與測量重力加速度。本題設(shè)計是由運動學(xué)公式求物體運動的加速度，再由動力學(xué)方程求重力加速度。為減小實驗誤差，通過多次測量，采用線性圖象法處理數(shù)據(jù)，這是一種值得掌握的實驗數(shù)據(jù)處理技巧。

3 能量法

當(dāng)一個物體或系統(tǒng)的機械能守恒時，通過測出其動能與重力勢能的變化量，利用機械能守恒建立方程，可以求出重力加速度。其測量手段與數(shù)據(jù)處理方法也有多樣。

例5：如圖6(a)所示，水平桌面上固定一傾角θ=30°的傾斜氣墊導(dǎo)軌，導(dǎo)軌上A點處有一帶長方形遮光片的滑塊，其總質(zhì)量為M，左端由跨過輕質(zhì)光滑定滑輪的細繩和一質(zhì)量為m的小球相連；遮光片兩條長邊與導(dǎo)軌垂直，導(dǎo)軌上B點有一光電門，可以測量遮光片經(jīng)過光電門時的擋光時間t，用d表示A點到光電門B處的距離，已知遮光片的寬度b很小，實驗時滑塊在A處由靜止開始運動。

圖6 例5圖示

(1)滑塊通過光電門時的速度v=______。

(用題給出的相關(guān)量符號表示)。

(2)測得M=m，改變A、B間的距離d，多次實驗，作出的v2-d圖像如圖6(b)所示，則重力加速度g=______m/s2

點評：對實驗器材或?qū)嶒灧椒右灾亟M，實現(xiàn)一個裝置多用，這是創(chuàng)新實驗設(shè)計的一個重要方面。本題用驗證機械能守恒定律的實驗裝置測重力加速度，將實驗的原理進行遷移，改進實驗測量手段與測量技術(shù)，采用線性圖像處理實驗數(shù)據(jù)，具有一定的探究性。

4 單擺法

測出單擺的擺長與振動周期，可利用單擺的周期公式測重力加速度。此實驗簡單易于操作，且重力加速度的測量值有較高的精度。

例6： 某同學(xué)做“用單擺測定重力加速度”的實驗，該同學(xué)在安裝好如圖7(a)所示的實驗裝置后，測得單擺的擺長為L，然后讓小球在豎直平面內(nèi)小角度擺動。當(dāng)小球某次經(jīng)過最低點時開始計時，在完成N次全振動時停止計時，測得時間為t。

圖7 例6圖示

(1)寫出測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊谋磉_式g=______(用題給測量的物理量和已知量的字母表示)。

(2)為減小實驗誤差，該同學(xué)又多次改變擺長L，測量多組對應(yīng)的單擺周期T，準(zhǔn)備利用T2-L的關(guān)系圖線求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎?。相關(guān)測量數(shù)據(jù)見表2。該同學(xué)在圖7(b)中已標(biāo)出第1、2、3、5次實驗數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)，請在圖7(b)中用符號“×”標(biāo)出與第4次實驗數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)點，并畫出T2-L關(guān)系圖線。根據(jù)繪制出的T2-L關(guān)系圖線，可求得g的測量值為______m/s2(計算結(jié)果保留三位有效數(shù)字)。

表2 測量數(shù)據(jù)

圖8 T2-L圖線

點評：用單擺測重力加速度實驗的關(guān)鍵是對單擺運動周期的測量。為減小測量誤差，應(yīng)從擺球通過最低位置時開始計時，測量多個全振動的時間再求平均值。用線性圖像處理實驗數(shù)據(jù)，可作T2-L圖像或L-T2圖像，根據(jù)圖像的物理意義求重力加速度的值。