摘 要:由麥卡錫博士的團隊創(chuàng)立的“4MAT理論”的核心是設計出一種遵循大腦運作的自然規(guī)律和學習科學本質(zhì)的教學模式,使其適用于不同學習風格的學習者,實現(xiàn)因材施教的高質(zhì)量教學。任何學習都要經(jīng)歷“為什么——是什么——應怎樣——該是否”組成的學習循環(huán)圈。教師可以通過“創(chuàng)設情境——形成概念——探討新知——融會貫通”四個環(huán)節(jié)來完成教學。函數(shù)零點存在性定理是進一步理解函數(shù)性質(zhì)的重要內(nèi)容。下面以函數(shù)零點存在性定理的教學為例,嘗試基于4MAT理論探尋一種適合不同學習風格者的教學設計,以期發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。
關鍵詞:4MAT;優(yōu)化數(shù)學;“函數(shù)零點存在性定理”
一、 教學設計過程
(一) 創(chuàng)設情境,回答“為什么”問題
教學開始時,教師不直接講授新知,而是創(chuàng)設問題情境讓學生討論。
問題1 函數(shù)f(x)=lnx+2x-6是否有零點?
上節(jié)課學過“函數(shù)圖象與x軸有交點等價于函數(shù)有零點”,大部分學生會想到畫圖象,但又很難畫出函數(shù)圖象。教師追問:我們知道函數(shù)y=x2-2x-3存在零點,它的圖象有什么特征?
設計依據(jù)與意圖:根據(jù)4MAT理論,此環(huán)節(jié)關注學生的直接體驗。通過讓學生動手畫圖并觀察,激發(fā)其對新舊知識聯(lián)系的好奇心,使學生了解為什么學習新知。
(二) 形成概念,回答“是什么”問題
通過觀察圖象,讓學生嘗試將函數(shù)圖象的特征用數(shù)學語言表達出來。啟發(fā)學生將零點所在區(qū)間縮小,觀察小區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象。引導學生發(fā)現(xiàn)零點所在區(qū)間的端點函數(shù)值都是一正一負,得到猜想:若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上,有f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點。這個猜想是否正確?
驗證猜想最好的方法是反例法,函數(shù)f(x)=1x在區(qū)間[-1,1]上有f(-1)·f(1)<0,但在(-1,1)上沒有零點。追問:反比例函數(shù)與二次函數(shù)有什么區(qū)別?在猜想中補充“圖象連續(xù)”,猜想是否成立?經(jīng)過驗證,完善后的猜想正是本節(jié)課要學習的函數(shù)零點存在性定理。需要注意的是:函數(shù)在區(qū)間[a,b]上,f(a)·f(b)<0是函數(shù)有零點的充分不必要條件,例如,函數(shù)y=x2雖然存在零點,但并不滿足定理。
設計依據(jù)與意圖:根據(jù)4MAT理論,此環(huán)節(jié)關注學生的抽象感知和反思加工。學生觀察圖象,并嘗試用數(shù)學語言表達新知,可以發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。教師在講解新知的過程中,滲透從特殊到一般的數(shù)學思想,并保持與學生的互動,使學生逐漸形成概念。
(三) 探討新知,回答“應怎樣”問題
雖然學生不會繪制問題1中的函數(shù)圖象,但只需在其定義域(0,+∞)上找到一個閉區(qū)間,使區(qū)間端點的函數(shù)值異號,根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得出函數(shù)存在零點。
問題2 函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)曲線,根據(jù)下表判斷函數(shù)在區(qū)間[1,6]上有幾個零點?
x123456
f(x)228-610-4-11
由這個問題學生會發(fā)現(xiàn)零點存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)存在零點,但不能判斷零點的個數(shù),通過幾何畫板作圖,發(fā)現(xiàn)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,函數(shù)在此區(qū)間上存在唯一零點。也就是說,要在零點存在性定理的基礎上結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),才能判斷出函數(shù)存在幾個零點。
設計依據(jù)與意圖:根據(jù)4MAT理論,此環(huán)節(jié)關注問題的解決。教師提出貼合學生知識基礎的問題,使學生在演練新知的同時進一步理解新知。
(四) 融會貫通,回答“該是否”問題
通過前三個環(huán)節(jié),學生已經(jīng)對新知有了自己的獨特理解。教師要給學生提供實踐和檢驗新知的機會。
問題3 函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)上有零點,如何找到這個零點?
利用幾何畫板作圖,發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在唯一零點。引導學生利用環(huán)節(jié)2中縮小區(qū)間的想法,嘗試將區(qū)間進一步縮小,遵循原則:將零點所在區(qū)間一分為二,使區(qū)間兩端點值逐漸逼近零點(利用二分法求解方程的近似解)。此時零點存在性定理不再是新知,它成為學習“二分法”的基礎,學習者開始將新知化為工具并用到新的學習中,正如學習循環(huán)圈所說,學習的最終結(jié)果是又回到了起點。
設計依據(jù)與意圖:根據(jù)4MAT理論,此環(huán)節(jié)關注挑戰(zhàn)和拓展。在學生掌握新知后,引導其拓寬視野,積極思考“假如……,那該會怎樣?”。具有挑戰(zhàn)性的應用可以使學生更好地掌握知識和創(chuàng)造性地應用知識。
二、 結(jié)論
本節(jié)課需要師生的高度配合,一方面為了更好地啟發(fā)引導,整節(jié)課以學生為主體,學生也要大膽表述自己的想法和質(zhì)疑;另一方面教師要根據(jù)學生的能力水平和思維方式存在的差異,提出具有層次性的問題,不斷滲透數(shù)形結(jié)合以及從特殊到一般等數(shù)學思想,力求發(fā)展學生的數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。
參考文獻:
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[2]章建躍.“方程的根與函數(shù)的零點”的教學[J].中國數(shù)學教育,2012:16-18.
作者簡介:
崔加奇,廣西壯族自治區(qū)桂林市,廣西師范大學。