再談拉格朗日中值定理的應(yīng)用

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一。巧用拉格朗日中值定理除了可以進(jìn)行等式的證明、函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)的探究外，還可以證明不等式、求參數(shù)的取值范圍、求極限等。其中不等式的證明，求參數(shù)的取值范圍是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，本文通過(guò)巧用拉格朗日中值定理證明不等式、求解參數(shù)的取值范圍，使我們感受到拉格朗日中值定理的使用價(jià)值、事物之間的內(nèi)在聯(lián)系與和諧統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞： 再談；拉氏定理；應(yīng)用

拉格朗日中值定理又稱之為拉氏定理，巧用拉氏定理的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助區(qū)間。拉格朗日中值定理是研究函數(shù)的重要工具，是聯(lián)系函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的紐帶，巧用拉氏定理可以解決不等式證明、求解參數(shù)的取值范圍等許多數(shù)學(xué)問題，因此拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有很重要的應(yīng)用價(jià)值。

一、 巧用拉氏定理證明不等式

例1已知x>0，求證： x 1+x

證明： 構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=ln（1+x），于是函數(shù)f（x）=ln（1+x）在閉區(qū)間[0，x]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，x）內(nèi)可導(dǎo)，于是依據(jù)拉氏定理在開區(qū)間（0，x）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（0<ξ

又因?yàn)閒（x）=ln（1+x），f（0）=ln1=0，f′（x）= 1 1+x ，f′（ξ）= 1 1+ξ ，所以ln（1+x）= x 1+ξ ；

又因?yàn)?<ξ

點(diǎn)評(píng)： 本例中，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)與輔助區(qū)間，根據(jù)所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，建立了和拉格朗日中值定理相聯(lián)系的橋梁，最后利用放縮法完成了證明。這不但充分體現(xiàn)出拉氏定理解決數(shù)學(xué)問題的價(jià)值所在，而且也充分體現(xiàn)出拉氏定理與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的完美交匯，淋漓盡致地展現(xiàn)出拉氏定理的數(shù)學(xué)之美。

二、 巧用拉氏定理求參數(shù)的取值范圍

例2已知函數(shù)f（x）=ex-e-x，對(duì)任意的x≥0，都有f（x）≥ax成立，請(qǐng)你求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解： 當(dāng)x=0時(shí)，f（x）≥0，ax=0，不論a取何值，f（x）≥ax恒成立；

當(dāng)x>0時(shí)，f（x）≥ax等價(jià)于a≤ f（x） x ，問題轉(zhuǎn)化為a≤ ex-e-x x 對(duì)任意x>0恒成立。

函數(shù)f（x）=ex-e-x在閉區(qū)間[0，x]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，x）內(nèi)可導(dǎo)，

所以函數(shù)f（x）=ex-e-x滿足拉氏定理的條件，

從而根據(jù)拉氏定理在開區(qū)間（0，x）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（0<ξ

又因?yàn)閒（x）=ex-e-x，f（0）=e0-e-0=1-1=0，f′（x）=ex+e-x，f′（ξ）=eξ+e-ξ，

所以ex-e-x=x（eξ+e-ξ），即eξ+e-ξ= ex-e-x x ，

當(dāng)ξ→0時(shí)，eξ+e-ξ→2，當(dāng)ξ>0時(shí)，根據(jù)均值不等式有eξ+e-ξ>2，

于是 ex-e-x x >2，所以a≤2；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]。

點(diǎn)評(píng)： 該例中，當(dāng)x>0時(shí)，利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，把問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y= ex-e-x x 的值域下界的問題。通過(guò)構(gòu)造輔助區(qū)間，根據(jù)拉氏定理，巧妙地確定出函數(shù)y= ex-e-x x （x>0）的值域下界就是函數(shù)y=ex+e-x（x>0）值域下界。最后利用極限思想和均值不等式求出了函數(shù)y=ex+e-x（x>0）值域下界，最終實(shí)現(xiàn)了利用拉氏定理求參數(shù)的取值范圍的目的，凸顯綜合性。

三、 巧用拉氏定理求極限

例3求極限lim x→0 （2x+3） ex-esinx x-sinx 。

解： 當(dāng)x>sinx時(shí)，構(gòu)造輔助區(qū)間為[sinx，x]，當(dāng)sinx>x時(shí)，構(gòu)造輔助區(qū)間[x，sinx]，再構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f（x）=ex。

當(dāng)x>sinx時(shí)，函數(shù)f（x）=ex在閉區(qū)間[sinx，x]上連續(xù)，在開區(qū)間（sinx，x）內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)sinx>x時(shí)，函數(shù)f（x）=ex在閉區(qū)間[x，sinx]上連續(xù)，在開區(qū)間（x，sinx）內(nèi)可導(dǎo)，

于是函數(shù)f（x）=ex滿足拉氏定理的條件，

從而據(jù)拉格朗日中值定理在x與sinx之間一定存在一點(diǎn)ξ，使得 f（x）-f（sinx） x-sinx =f′（ξ）；

又因?yàn)閒（x）=ex，f（sinx）=esinx，f′（x）=ex，f′（ξ）=eξ，

所以 ex-esinx x-sinx =eξ；

因?yàn)棣谓橛趚與sinx之間，

所以當(dāng)x→0時(shí)，sinx→0，ξ→0，

因此lim x→0 ex-esinx x-sinx =lim ξ→0 eξ=1。

綜上所述，lim x→0 （2x+3） ex-esinx x-sinx =lim x→0 （2x+3）·lim x→0 ex-esinx x-sinx =3·

lim x→0 ex-esinx x-sinx =3lim ξ→0 eξ=3。

點(diǎn)評(píng)： 解答本例的關(guān)鍵之處是根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)與輔助區(qū)間，恰當(dāng)合理的利用了拉氏定理，實(shí)現(xiàn)了極限的求解，變形的目標(biāo)在于湊出形式類似于拉氏定理的式子。本例不但有力地說(shuō)明拉氏定理的應(yīng)用靈活性，而且也有力地說(shuō)明事物之間的內(nèi)在聯(lián)系和完美統(tǒng)一。

拉格朗日中值定理是聯(lián)系函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的紐帶，是解決函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的重要數(shù)學(xué)工具。利用拉格朗日中值定理除了可以進(jìn)行等式的證明、函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)的探究外，還可以證明不等式、求參數(shù)的取值范圍、求極限等。巧用拉格朗日中值定理的關(guān)鍵之處在于依據(jù)拉格朗日中值公式構(gòu)造出輔助函數(shù)，構(gòu)造出輔助區(qū)間，這對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)具有重要的意義，讓我們明白了事物之間的內(nèi)在規(guī)律和辯證統(tǒng)一，讓我們科學(xué)的看世界。

作者簡(jiǎn)介： 鄭有禮，甘肅省武威市，甘肅省天?？h第二中學(xué)。